1、仿真模拟练（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合A1,2,3,4,5，BxN|(x1)(x4)0，则AB()A2,3B1,2,3C2,3,4D1,2,3,4解析：因为BxN|(x1)(x4)0xN|1x0时，yln xx2，则y2x，当x时，y2x0，yln xx2单调递增，排除C.选A.答案：A7中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为()A1.2B1.6C1.8D2.4解析：该几何体是一个组合体，左
2、边是一个底面半径为的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4x、3、1的长方体，组合体的体积VV圆柱V长方体2x(5.4x)3112.6(其中3)，解得x1.6.故选B.答案：B8已知函数f(x)则不等式f(x)5的解集为()A1,1B(，2(0,4)C2,4D(，20,4解析：当x0时，3log2x5，解得x4，故00，b0)的右焦点为F(c,0)，圆F：(xc)2y2c2，直线l与双曲线C的一条渐近线垂直且在x轴上的截距为a.若圆F被直线l所截得的弦长为c，则双曲线的离心率为()A.B.C2D3解析：不妨设直线l的方程为y(xa)，即axbya20，圆F被直线l所截得的弦长为c，圆心F到直线
3、l的距离为 ，即，化简得c23ac2a20，即(ca)(c2a)0，c2a，e2.答案：C11已知函数f(x)Asin(x)(A0，0,0)的部分图象如图所示，且f()1，则cos()AB.CD.解析：由图易得A3，函数f(x)的最小正周期T4，解得2，所以f(x)3sin(2x)，又因为点在函数图象上，所以f3sin(2)3，解得22k，kZ，解得2k，kZ，又因为00，所以2，则cos ，故选C.答案：C12设函数f(x)(e是自然对数的底数)，若f(2)是函数f(x)的最小值，则a的取值范围是()A1,6B1,4C2,4D2,6解析：当x2时，对函数f(x)a10的单调性进行研究，求导后
4、发现f(x)在(2，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，即函数f(x)在x2时的最小值为f(e)；当x2时，f(x)(xa)2e是对称轴方程为xa的二次函数，欲使f(2)是函数的最小值，则2a6，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上)13已知过点(2,4)的直线l被圆C：x2y22x4y50截得的弦长为6，则直线l的方程为_解析：由题意得圆C的标准方程为(x1)2(y2)210，因为直线l被圆C截得的弦长为6，所以圆心(1,2)到直线l的距离d 1，当直线l的斜率不存在时，直线方程为x2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxb，则圆
5、心(1,2)到直线l的距离d1 ，又因为直线l过点(2,4)，所以42kb ，联立，解得所以直线l的方程为yx，即3x4y100.综上，直线l的方程为x2或3x4y100.答案：x2或3x4y10014已知实数x，y满足，则目标函数zxy的最小值为_解析：依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线xy0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2,3)(直线2xy10与xy50的交点)时，zxy取得最小值1.答案：115过抛物线C：y22px(p0)的焦点且斜率为2的直线与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为2，则p的值为_解析：设点A(x
6、1，y1)，B(x2，y2)由题意得抛物线的焦点坐标为，所以直线AB的方程为y2，与抛物线的方程联立，消去x得y2pyp20，则则由题意得点M的坐标为，因为以AB为直径的圆经过点M，所以x1x2(x1x2)y1y22(y1y2)40，将y1y2，y1y2，x1x2，x1x2的值代入解得p4.答案：416若函数f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.解析：若a1，有a24，a1m，此时a2，m，此时g(x)为减函数，不合题意若0a1，有a14，a2m，故a，m，检验知符合题意答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应
7、写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知向量m，n，设函数f(x)mn.在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，f(A).(1)求角A的大小；(2)若a3，且cos(BC)cos A4sin2C.求c的大小解析：(1)m，n，f(x)mnsin cos cos2sin xcos xsin.f(A)，sin.又0A，A.(2)cos(BC)cos A4sin2 C，cos(BC)cos(BC)4sin2C，2sin Bsin C4sin2 C.sin C0，sin B2sin C.由正弦定理，得b2c.由余弦定理，得a2b2c22bccos A，即94c2c24c
8、2，解得c.18. (本小题满分12分)如图，平面PAD平面ABCD，ABCD是边长为2的菱形，PAPD，且APD90，DAB60.(1)若线段PC上存在一点M，使得直线PA平面MBD，试确定M点的位置，并给出证明；(2)在第(1)问的条件下，求三棱锥C-DMB的体积解析：(1)当M为线段PC的中点时，直线PA平面MBD.证明如下：取线段PC的中点M，连接MD，MB，连接AC、BD相交于点O，连接OM.ABCD是菱形，O为AC的中点，又M为PC的中点，OMPA.OM平面MBD，PA平面MBD，PA平面MBD.(2)PAPD，取AD中点N，PNAD.又平面PAD平面ABCD，PN平面ABCD.A
9、PD90，AD2，PNAD1，又M为PC的中点，M到平面ABCD的距离hPN.ABCD是边长为2的菱形，DAB60，SBCD22.VC-DMBVM-BCDSBCDh.19(本小题满分12分)全世界越来越关注环境保护问题，辽宁省某监测站点于2016年8月某日起连续x天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下：空气质量指数/(g/m3)05051100101150151200201250空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染天数2040y105(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气质量指数分别为51100和151200的监测数据中，用分层抽
10、样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“2天空气都为良”发生的概率解析：(1)0.00450，x100.2040y105100，y25.0.008，0.005，0.002，0.001.(2)在空气质量指数为51100和151200的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为51100的4天分别记为a，b，c，d；将空气质量指数为151200的1天记为e，从中任取2天的基本事件分别为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个，其中事件A“2天空气都为良”包含的基本事件为(a，b)，(
11、a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6个，所以事件A“2天空气都为良”发生的概率是P(A).20(本小题满分12分)已知函数f(x)aln x(aR)(1)若h(x)f(x)2x，当a3时，求h(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)有唯一的零点，求实数a的取值范围解析：(1)h(x)的定义域为(0，)，h(x)2，令h(x)0，得h(x)的单调递减区间是和(1，)(2)问题等价于aln x有唯一的实根显然a0，则关于x的方程xln x有唯一的实根构造函数(x)xln x，则(x)1ln x.令(x)1ln x0，得xe1.当0xe1时，(x)e1时，(x)0，(x)
12、单调递增所以(x)的极小值为(e1)e1.如图，作出函数(x)的大致图象，则要使方程xln x有唯一的实根，只需直线y与曲线y(x)有唯一的交点，则e1或0，解得ae或a0.故实数a的取值范围是e(0，)21(本小题满分12分)已知椭圆1(ab0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，离心率e，短轴长为2.(1)求椭圆的方程；(2)如图，点A为椭圆上的一动点(非长轴端点)，AF2的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求ABC面积的最大值解析：(1)由题意得2b2，解得b1，e，a2b2c2，a，c1，故椭圆的标准方程为y21.(2)当直线AB的斜率不存在时，不妨取A(1，)，B(1，
13、)，C(1，)，故SABC2；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，联立方程得，化简得(2k21)x24k2x2k220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x2，|AB|2，点O到直线kxyk0的距离d，O是线段AC的中点，点C到直线AB的距离为2d，SABC|AB|2d(2)2 2 .综上，ABC面积的最大值为.请考生在下面2题中任选一题作答，作答时请写清题号22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为2sin .(1)写出直线l的普
14、通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若点P的坐标为(3，)，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|PB|的值解析：(1)由(t为参数)得直线l的普通方程为xy30.又由2sin 得圆C的直角坐标方程为x2y22y0，即x2(y)25.(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3t)2(t)25，即t23t40，由于(3)24420，故可设t1，t2是上述方程的两实数根，则又直线l过点(3，)，A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|PB|t1|t2|3.23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲设函数f(x)|x|x|.(1)当a1时，求不等式f(x)的解集；(2)若对任意
15、a0,1，不等式f(x)b的解集为空集，求实数b的取值范围解析：(1)当a1时，f(x)等价于|x1|x|.当x1时，不等式化为x1x，无解；当1x0时，不等式化为x1x，解得xf(x)max.因为f(x)|x|x|xx|，当且仅当x时取等号所以f(x)max.因为对任意a0,1，不等式f(x)b的解集为空集，所以bmax.以下给出二种思路求g(a)的最大值思路一：令g(a)，所以g2(a)121()2()22，当且仅当，即a时等号成立所以g(a)max.所以b的取值范围为(，)思路二：令g(a).因为0a1，所以可设acos2(0)则g(a)cos sin sin，当且仅当时等号成立，所以b的取值范围为(，)
