1、新20版练B1数学人教A版5.1任意角和弧度制第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制第1课时任意角考点1角的概念的理解问题1.(2019人大附中单元测评)把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是()。A.120B.-120C.240D.-240答案：D解析：按顺时针方向旋转形成的角是负角,排除A,C;又由题意知旋转的角度是240,排除B。故选D。2.(2019黑龙江哈尔滨师大附中高一月考)期末考试,数学科从上午8时30分开始,考了2小时,从考试开始到考试结束分针转过了()。A.360B.720C.-360D.-720答案：D解析：因为分针转一圈(即1小时)是-360,所以从考试开始
2、到考试结束分针转过了-720。故选D。3.(2019江西临川一中单元测评)设集合A=|为锐角,B=|为小于90的角,C=|为第一象限角,D=|为小于90的正角,则下列等式中成立的是()。A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D答案：D解析：集合A中锐角满足090;而集合B中90,可以为负角;集合C中满足k360k360+90,kZ;集合D中满足090。故A=D。4.(2019湖北巴东高一月考)下列说法正确的是()。A.第一象限的角一定是正角B.三角形的内角不是锐角就是钝角C.锐角小于90D.终边相同的角相等答案：C解析：-355是第一象限的角,但不是正角,所以A错误;三角形的内角可能是90,所
3、以B错误;锐角小于90,C正确;45与405角的终边相同,但不相等,所以D错误。故选C。考点2终边相同的角的公式的应用问题5.(2019北京海淀人大附中高一上期末)设集合M=|=45+k90,kZ,N=|=90+k45,kZ,则集合M与N的关系是()。A.MN=B.MNC.NMD.M=N答案：C解析：对于集合M,=45+k90=45+2k45=(2k+1)45,即M=|=(2k+1)45,kZ;对于集合N,=90+k45=245+k45=(k+2)45,即N=|=(k+2)45,kZ=|=n45,nZ。2k+1表示所有的奇数,n表示所有的整数,NM,故选C。6.(2019福建闽侯第四中学高一期
4、末)下面各组角中,终边相同的是()。A.390,690B.-330,750C.480,-420D.3 000,-840答案：B解析：-330=-360+30,750=720+30,-330角与750角的终边相同。7.(2019武汉高一调考)若=n360+,=m360-,m,nZ,则,终边的位置关系是()。A.重合B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称答案：C解析：由=n360+,nZ可知与是终边相同的角,由=m360-,mZ可知与-是终边相同的角。因为与-两角终边关于x轴对称,所以与两角终边关于x轴对称。8.(2019长沙一中单元检测)与2 017角终边相同的最小正角是角。图5-1-
5、1-1答案：217解析：因为与2 017角终边相同的角是2 017+k360(kZ),所以当k=-5时,与2 017角终边相同的最小正角是217角。9.(2019南京二中单元测评)已知角的终边在图5-1-1-1中阴影所表示的范围内(不包括边界),那么。答案：|n180+30n180+150,nZ解析：在0360范围内,终边落在阴影内的角满足30150或210330,所以所有满足题意的角的集合为|k360+30k360+150,kZ|k360+210k360+330,kZ=|2k180+302k180+150,kZ|(2k+1)180+30(2k+1)180+150,kZ=|n180+30n18
6、0+150,nZ。考点3角所在的象限的判定问题10.(2019河南郑州高一上期末)若=k180+45,kZ,则终边所在的象限是()。A.第一、三象限B.第一、二象限C.第二、四象限D.第三、四象限答案：A解析：由题意知=k180+45,kZ。当k=2n+1,nZ时,=2n180+180+45=n360+225,nZ,其终边在第三象限;当k=2n,nZ时,=2n180+45=n360+45,nZ,其终边在第一象限。综上,终边所在的象限是第一或第三象限。11.(2019江西高安中学高一上期末)给出下列四个结论:-15角是第四象限角;185角是第三象限角;475角是第二象限角;-350角是第一象限角
7、。其中正确的个数为()。A.1B.2C.3D.4答案：D解析：-15角是第四象限角;因为180185270,所以185角是第三象限角;因为475=360+115,90115180,所以475角是第二象限角;因为-350=-360+10,所以-350角是第一象限角。所以四个结论都是正确的。12.(2019四川资阳高一期末)若角的终边在y轴的负半轴上,则角-150的终边在()。A.第一象限B.第二象限C.y轴的正半轴上D.x轴的负半轴上答案：B解析：因为角的终边在y轴的负半轴上,所以=k360+270(kZ),所以角-150=k360+270-150=k360+120(kZ),所以-150的终边在
8、第二象限。故选B。13.(2019南昌一中模块训练)若角是第三象限角,则角2的终边所在的区域是如图5-1-1-2所示的区域(不含边界)()。图5-1-1-2A.B.C.D.答案：A解析：是第三象限角,k360+180k360+270(kZ),k180+902 k180+135(kZ)。当k=2n(nZ)时,n360+902n360+135,nZ,其终边在区域内;当k=2n+1(nZ)时,n360+2702n360+315,nZ,其终边在区域内。角2的终边所在的区域为。14.(2019太原模块统考)已知角2的终边在x轴的上方,那么角是()。A.第一象限角B.第一或第二象限角C.第一或第三象限角D
9、.第一或第四象限角答案：C解析：因为角2的终边在x轴的上方,所以k3602k360+180,kZ,则有k180k180+90,kZ。故当k=2n,nZ时,n360n360+90,nZ,为第一象限角;当k=2n+1,nZ时,n360+180n360+270,nZ,为第三象限角。故选C。考点4任意角的综合问题15.(2019山东师大附中高一期末)下列角的终边位于第二象限的是()。A.420B.860C.1 060D.1 260答案：B解析：420=360+60,终边位于第一象限;860=2360+140,终边位于第二象限;1 060=2360+340,终边位于第四象限;1 260=3360+180
10、,终边位于x轴非正半轴。故选B。16.(2019青岛高一调考)与-420角终边相同的角是()。A.-120B.420C.660D.280答案：C解析：与-420角终边相同的角为n360-420(nZ),当n=3时,n360-420=660。故选C。17.(2019西安高一统考)已知A=第一象限角,B=锐角,C=小于90的角,那么A,B,C的关系是()。A.B=ACB.BC=CC.ACD.A=B=C答案：B解析：A=第一象限角=x|k360xk360+90,kZ,B=锐角=x|0x90,C=小于90的角=x|x90,由此可得:A错误,B正确,C,D错误。故选B。18.(2019东北三校高一联考)
11、与-463角终边相同的角可表示为()。A.k360+463(kZ)B.k360+103(kZ)C.k360+257(kZ)D.k360-257(kZ)答案：C解析：因为-463=257+(-2)360,所以与-463角终边相同的角可表示为k360+257(kZ)。故选C。19.(2019南昌高一模块统考)如果角的终边在第三象限,那么3的终边一定不在()。A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B解析：为第三象限角,k360+180k360+270,kZ,k120+603k120+90,kZ。分别取k=0,1,2,3,可得3的终边分别在第一、第三、第四、第一、象限,均不过第二象限;
12、取k=-1,-2,-3,时,3的终边分别在第四、第三、第一、象限,均不过第二象限,故3的终边一定不在第二象限,故选B。20.(2019南京模块统考)已知角,的终边关于直线x+y=0对称,且=-60,则=。答案：-30+k360,kZ解析：-60角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45+15=-30,=-30+k360,kZ。21.(2019西北大附中月考)写出终边在直线y=-3x上的角的集合。答案：解:终边在射线y=-3x(x0)上的角的集合是S1=|=120+k360,kZ;终边在射线y=-3x(x0)上的角的集合是S2=|=300+k360,kZ。因此,终边在直线y=-3x上的角
13、的集合是S=S1S2=|=120+k360,kZ|=300+k360,kZ=|=120+2k180,kZ|=120+(2k+1)180,kZ=|=120+n180,nZ。故终边在直线y=-3x上的角的集合是S=|=120+n180,nZ。【点拨】求终边在给定直线上的角的集合,常用分类讨论的思想,即对x分情况讨论,最后再进行合并。22.(2019哈尔滨三中周练)在与10 030角终边相同的角中,求满足下列条件的角:(1)最大的负角;答案：由-360k360+10 0300得-10 390k360-10 030,解得k=-28,故所求的最大负角为=10 030-28360=-50。(2)最小的正角
14、;答案：由0k360+10 030360得-10 030k360-9 670,解得k=-27,故所求的最小正角为=10 030-27360=310。(3)在360720范围内的角。答案：由360k360+10 030720,kZ,解得k=-26。故在360720范围内的角为=-26360+10 030=670。23.(2019武汉二中月考)已知是第二象限角,试确定2,2的终边所在的位置。答案：解:因为是第二象限角,所以k360+90k360+180,kZ,所以2k360+18022k360+360,kZ,所以2的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上。因为k360+90k360+180,
15、kZ,所以k180+452k180+90,kZ。当k=2n,nZ时,n360+452n360+90,即2的终边在第一象限;当k=2n+1,nZ时,n360+2252n360+270,即2的终边在第三象限。所以2的终边在第一或第三象限。24.(2019衡水中学单元检测)如图5-1-1-3所示,写出终边落在阴影部分的角的集合。图5-1-1-3答案：解:设终边落在阴影部分的角为,角的集合由两部分组成。|k360+30k360+105,kZ。|k360+210k360+285,kZ。角的集合应当是集合与的并集,即S=|k360+30k360+105,kZ|k360+210k360+285,kZ=|2k
16、180+302k180+105,kZ|(2k+1)180+30(2k+1)180+105,kZ=|n180+30n180+105,nZ。25.(2019西南大学附中单元检测,)如图5-1-1-4,点A在半径为1且圆心在原点的圆上,且AOx=45,点P从点A处出发,按逆时针方向匀速沿单位圆旋转,已知点P在1 s内转过的角度为(0180),经过2 s第一次到达第三象限,经过14 s又回到出发点A,求,并判断其终边所在的象限。图5-1-1-4答案：解:由题意,得14+45=n360+45(nZ),所以=n1807(nZ)。又因为1802+45270,即67.5112.5,所以n=3或n=4。所以=5
17、407或=7207。易知0540790,907207180,所以的终边在第一象限或第二象限。26.(2019深圳中学单元测评)如图5-1-1-5,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过角,黑蚂蚁每秒爬过角(其中,0180),如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求角,的度数。图5-1-1-5答案：解:根据题意可知14,14均为360的整数倍,故可设14=m360,mZ,14=n360,nZ。由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,又由0180,知022360,进而知9022180,即4590,45=
18、m718090,45=n718090,74m72,74n72。,mn,又m,nZ,m=2,n=3,=3607,=5407。第2课时弧度制考点1弧度制概念的理解问题1.(2019银川一中单元测评)下列说法正确的是()。A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D.用弧度表示的角都是正角答案：A解析：对于A,根据弧度的定义知,“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”,故A正确;对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误;对于C,不在同圆或等圆中,1弧度的圆心角所对的弧长是不等的,故C错误;对于D,
19、用弧度表示的角也可以不是正角,故D错误。2.(2019南昌二中月考)下列说法中,错误的是()。A.半圆所对的圆心角是 radB.周角的大小等于2C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度答案：D解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确,D错误。3.(2019重庆第一中学高一上期末)一条弦长等于半径,则此弦所对圆心角的弧度数为()。A.6B.3C.12D.13答案：B解析：因为弦长等于半径,所以弦和两半径构成等边三角形,所以弦所对圆心角为60,即3 rad。4.(2019安徽滁州高一上期末)时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的
20、弧度为()。A.143B.-143C.718D.-718答案：B解析：显然分针在1时到3时20分这段时间里,顺时针转过了73周,转过的弧度为73(-2)=-143。5.(2019天津红桥区高一上期末)在半径为12 mm的圆上,长度为48 mm的弧所对的圆心角的弧度数为。答案：4解析：由题意可得:L=48 mm,R=12 mm。设圆心角为(02)。L=R,=LR=4812=4(rad)。6.(2019东北师大附中单元测评)圆的半径变为原来的3倍,而所对弧长不变,则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的。答案：13解析：设原来圆的半径为r,弧长为l,弧所对的圆心角为(02),则现在的圆的半径为3r,
21、弧长为l,设弧所对的圆心角为(02),于是l=r=3r,=13。考点2弧度与角度的互化问题7.(2019合肥二中月考)下列转化结果错误的是()。A.6730化成弧度是38B.-103化成角度是-600C.-150化成弧度是-76D.12化成角度是15答案：C解析：对于A,6730=67.5180=38,正确;对于B,-103=-103180=-600,正确;对于C,-150=-150180=-56,错误;对于D,12=12180=15,正确。8.(2019广西贺州高一上期末)角2912的终边所在的象限是()。A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：A解析：因为2912=2+512
22、,角512是第一象限角,所以角2912的终边所在的象限是第一象限。9.(2019石家庄二中单元检测)已知两角和为1弧度,且两角差为1,则这两个角的弧度数分别是。答案：12+360,12-360解析：设两个角的弧度数分别为x,y。因为1=180rad,所以x+y=1,x-y=180,解得x=12+360,y=12-360,所以所求两角的弧度数分别为12+360,12-360。10.(2019青岛模块测评)已知=15,=10,=1,=105,=712,则,的大小关系为。答案：=解析：方法一(化为弧度):=15=15180=12,=105=105180=712。显然12101712,故=。方法二(化
23、为角度):=10=10180=18,=157.30,=712180=105。显然151857.30105,故=。考点3弧度制下终边相同的角的公式的应用问题11.(2019山西大同模块统考)把-114表示成+2k(kZ)的形式,使|最小的值是()。A.-34B.-4C.4D.34答案：A解析：-114=-2-34,-114与-34是终边相同的角,且此时-34=34是最小的。12.(2019河南新乡高一上期末)若角与角x+4有相同的终边,角与角x-4有相同的终边,则与间的关系为()。A.+=0B.-=0C.+=2k(kZ)D.-=2k+2 (kZ)答案：D解析：=x+4+2k1(k1Z),=x-4
24、+2k2(k2Z),-=2+2(k1-k2)(k1Z,k2Z)。k1Z,k2Z,k1-k2Z。-=2+2k(kZ)。13.(2019黄冈高一调考)若角的终边落在如图5-1-2-1所示的阴影部分内,则角的取值范围是()。图5-1-2-1A.6,3 B.23,76 C.23,76 D.2k+23,2k+76(kZ)答案：D解析：阴影部分的两条边界分别是角23和角76的终边,所以的取值范围是2k+23,2k+76(kZ)。14.(2019四川绵阳高一调研)若3=2k+3(kZ),则2的终边在()。A.第一象限B.第四象限C.x轴上D.y轴上答案：D解析：3=2k+3(kZ),=6k+(kZ),2=3
25、k+2(kZ)。当k为奇数时,2的终边在y轴的非正半轴上;当k为偶数时,2的终边在y轴的非负半轴上。综上,2的终边在y轴上,故选D。15.(2019江苏无锡模块统考)若角的终边与85角的终边相同,则在0,2)内终边与角4的终边相同的角是。答案：25,910,75,1910解析：=85+2k,kZ,4=25+k2,kZ。当k=0,1,2,3时,4=25,910,75,1910且40,2。16.(2019宁波高一调考)若角的终边与6角的终边关于直线y=x对称,且(-4,4),则=。答案：-113,-53,3,73解析：由题意,角与3角的终边相同,则3+2=73,3-2=-53,3-4=-113。考
26、点4弧度制下的扇形面积公式的应用问题17.(2019江苏连云港高二期末)若扇形的半径变为原来的2倍,弧长增加到原来的2倍,则()。A.扇形的面积不变B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增加到原来的2倍D.扇形的圆心角增加到原来的2倍答案：B解析：设原来的扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为,则变化后的扇形的半径为2r,弧长为2l,圆心角为,l=r,2l=2r,所以=。即扇形的圆心角不变。18.(2019兰州一中月考)已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为()。A.2B.4C.6D.8答案：C解析：设扇形所在圆的半径为R,则2=124R2,R2=1,R=1。扇形的弧长为41=4,
27、扇形的周长为2+4=6。故选C。19.(2019西安一中月考)扇形周长为6 cm,面积为2 cm2,则其圆心角的弧度数是()。A.1或5B.1或2C.2或4D.1或4答案：D解析：设扇形的半径为r cm,圆心角为(02),则2r+r=6,12r2=2。解得r=1,=4或r=2,=1。20.(2019湖北武汉调研)如图5-1-2-2,圆的半径为5,则圆内阴影部分的面积是()。图5-1-2-2A.17536 B.12518 C.256 D.349答案：A解析：40=40180=29,30=30180=6,S=12r229+12r26=17536。21.(2019江西九江一中月考)一个扇形OAB的面
28、积是1 cm2,它的周长是4 cm,求圆心角的弧度数和弦长AB。答案：解:设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,圆心角为(02),则12lr=1,l+2r=4,解得r=1,l=2,圆心角=lr=2 rad。如图,过点O作OHAB,垂足为点H,则AOH=1 rad。AH=1sin 1=sin 1(cm),AB=2sin 1(cm)。考点5弧度制的综合应用问题22.(2019广西贺州高一上期末质量检测)终边在直线y=3x上,且在-2,2)内的角构成的集合为。答案：-53,-23,3,43 解析：如图,在坐标系中画出直线y=3x,可以发现它与x轴的夹角是3,在0,2)内,终边在直线y=3x上的角有
29、两个:3,43;在-2,0)内满足条件的角有两个:-23,-53,故满足条件的角构成的集合为-53,-23,3,43。23.(2019湖北黄冈高一调考)集合A=n2,nZ=2n23,nZ,B=23n,nZ=n+2,nZ,则A与B的关系为。答案：BA解析：方法一:集合A,B中角的终边,如图所示。所以BA。方法二:=n2,nZ=|=k,kZ=k+2,kZ;=2n3,nZ=|=2k,kZ=2k23,kZ。比较集合A,B的元素知,B中的元素都是A中的元素,但A中元素=(2k+1)(kZ)不是B中的元素,所以BA。24.(2019东北师大附中单元测评)如图5-1-2-3,动点P,Q从点A(4,0)出发,
30、沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒转3弧度,点Q按顺时针方向每秒转6弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间及P,Q点各自走过的弧长。图5-1-2-3答案：解:依题意知圆的半径为4,设P,Q第一次相遇时所用的时间是t s,则3t+-6t=2,解得t=4,即P,Q第一次相遇时所用的时间为4 s。P点走过的弧长为434=163,Q点走过的弧长为234=83。25.(2019启东中学单元测评)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10。(1)求弦AB所对的圆心角(0)的大小;答案：因为圆O的半径为10,弦AB的长为10,所以AOB为等边三角形,所以=AOB=3。(2)求圆心角所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S。答案：因为=3,所以l=r=103,S扇形=12lr=1210310=503。又因为SAOB=12101032=253,所以S=S扇形-SAOB=503-253=503-32。
