1、第一节直线方程考试要求：1理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2掌握直线方程的几种形式，能根据两条直线的斜率及直线方程判定这两条直线平行或垂直一、教材概念结论性质重现1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0(2)范围：直线的倾斜角的取值范围为01802斜率公式(1)我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即 ktan (2)倾斜角是90的直线没有斜率，倾斜角不是90的直线都有斜率(3)如果直线经过两点P1(
2、x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)，则直线P1P2的斜率k斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换就是说，如果分子是y2y1，那么分母必须是x2x1；反过来，如果分子是y1y2，那么分母必须是x1x23直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)斜率k存在斜截式ykxb斜率k存在两点式x1x2，y1y2，即不与坐标轴平行或重合的直线截距式1ab0，即不垂直于坐标轴，不过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)所有的直线都适用(1)求直线方程时，若不能判断直线是否具有斜率，应对斜率存在与不存在加以讨论(2)“截距式”中截距不是距离，而是直
3、线与坐标轴交点的相应坐标在用截距式时，应先判断截距是否为0若不确定，则需分类讨论二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(3)不经过原点的直线都可以用1表示()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()2直线xy10的倾斜角的大小为()A30 B60 C120 D150A解析：直线xy10的斜率为k，故tan 因为0180，所以30故选A3如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k
4、2，k3，则()Ak1k2k3 Bk3k1k2Ck3k2k1 Dk1k3k2D解析：直线l1的倾斜角1为钝角，故k13，所以0k3k2，因此k1k3k2故选D4若A(2,3)，B(3，2)，C三点在同一条直线上，则m的值为()A2 B2 C DD解析：因为A，B，C三点在同一条直线上，所以kABkAC，所以，解得m故选D5倾斜角为120，在x轴上的截距为1的直线方程是_xy0解析：因为直线的倾斜角为120，所以斜率k又由题意知直线过点(1,0)，所以直线方程为y(x1)，即xy0考点1直线的倾斜角和斜率基础性1直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是()A BC DB解析：直线2xcos y
5、30的斜率k2cos 由于，所以cos ，因此k2cos 1，设直线的倾斜角为，则有tan 1，由于0，)，所以，即倾斜角的变化范围是2若ab0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是_解析：kPQ0，又倾斜角的取值范围为0，)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为3已知点A(2，3)，B(3，2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为_(，4解析：如图所示，kPA4，kPB要使直线l与线段AB有交点，则有k或k41注意倾斜角与斜率之间的函数关系：ktan ，求倾斜角或斜率范围时，可结合图象解题2当直线逆时针旋转倾向于与y轴重合或平行时，斜率越来越大，且趋近于；
6、当直线顺时针旋转倾向于与y轴平行或重合时，斜率越来越小，且趋近于考点2求直线的方程综合性已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在的直线方程为x2y50求：(1)AC所在直线的方程；(2)点B的坐标解：(1)因为ACBH，所以设AC所在直线的方程为2xyt0把A(5,1)代入直线方程2xyt0中，解得t11所以AC所在直线的方程为2xy110(2)设B(x0，y0)，则AB的中点为联立得方程组化简得解得故B(1，3)求直线方程的方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已
7、知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程1过点(4,0)，倾斜角的正弦值为的直线方程为_x3y40或x3y40解析：由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为，则sin (0，)，从而cos ，则ktan 故所求直线的方程为y(x4)或y(x4)，即x3y40或x3y402已知在ABC中，A(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线方程分别为x2y10和y10，求ABC各边所在的直线方程 解：设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点(图略)因为点B在中线y10上， 所以设点B的坐标为(xB,1)因为点D为AB的中点，点A的坐标为(1,3)，所以点D的坐标为因为点D在中线
8、CD：x2y10上，所以2210，所以xB5，所以点B的坐标为(5,1)因为点C在直线x2y10上，所以设点C的坐标为(2t1，t)所以AC的中点E的坐标为因为点E在中线BE：y1上，所以1，所以t1所以点C的坐标为(3，1)，所以ABC各边所在直线的方程为AB：x2y70，BC：x4y10，AC：xy20考点3直线方程的应用应用性考向1求与最值有关的直线方程已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点求当在两坐标轴上截距之和取得最小值时直线l的方程解：设直线l的方程为1(a0，b0)，则1，所以ab(ab)33232故ab的最小值为32，此时，求得b1
9、，a2此时，直线l的方程为1，即xy20本例中的条件不变，求当AOB的面积最小时直线l的方程解：设直线l的方程为1(a0，b0)，则1因为2ab2，当且仅当，即a4，b2时，AOB的面积Sab有最小值为4此时，直线l的方程是1，即x2y40求解与最值有关的直线方程问题的一般步骤(1)设出直线方程，建立目标函数(2)利用基本不等式、一元二次函数求解最值，得出待定系数(3)写出直线方程考向2由直线方程求参数值或范围已知直线l：kxy13k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不过第一象限，求k的取值范围(1)证明：直线l的方程可化为y1k(x3)，故无论k取何值，直线l必过定点(3,1
10、)(2)解：令x0，得y3k1，即直线l在y轴上的截距为3k1由题意知解得k故k的取值范围是由直线方程求参数的值或取值范围的注意事项(1)注意寻找等量关系或不等关系注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合不等关系求解(2)含参的二元一次方程表示过定点的直线，定点常作为隐含条件应用于解题过程中1已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 a_解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2a，直线l2的横截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a4又0a2，所
11、以当a时，四边形的面积最小2直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点若|PA|PB|最小，求l的方程解：设直线l的方程为ykxb(k0)因为点P(1,4)在直线l上，有4kb，解得b4k，所以直线l的方程为ykx4k所以A，B(0,4k)，所以，(1，k)，所以|PA|PB|448，所以当k，即k1时，|PA|PB|有最小值，最小值是8，这时l的方程为xy50已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程四字程序读想算思面积的最小值及直线l的方程1面积的表达式2以谁为变量用适当的
12、变量表示面积S，并求最小值和直线方程转化与化归直线过定点1Sah2Sabsin C3点的坐标作变量4斜率作变量1Sab122S1221均值不等式2三角函数的性质思路参考：设出直线的截距式方程，利用基本不等式求出ab的最小值，即可求出直线方程，得到面积的最小值解：设直线方程为1(a0，b0)将点P(3,2)代入得12，得ab24从而SABOab12，当且仅当时等号成立，这时k从而所求直线方程为2x3y120所以ABO的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x3y120思路参考：设出截距式方程，利用三角函数的有界性求出面积的最值，进而求出直线方程解：设直线方程为1(a0，b0)，将点P(3,2)的坐标代入得1令sin2，cos2，则a，b，所以SABOab因为0b，b0)，则1，所以abab2ba2，于是ab8，所以|OA|OB|ab8，即|OA|OB|的最小值为8，当且仅当a2b，即a4，b2时取得等号故所求直线的方程为x2y40(2)显然直线的斜率存在，设其方程为y1k(x2)(k0)，则A，B(0，12k)所以|PA|PB|4，当且仅当k2，即k1时取等号，所以|PA|PB|的最小值为4时，直线的方程为xy30
