1、第三单元 因数和倍数一、因数和倍数1.在整数除法中,如果商是整数且没有余数,那么被除数就是除数和商的倍数,除数和商就是被除数的因数。用字母表示:如果ab=c(a、b、c都是不为0的自然数),那么b、c就是a的因数,a就是b、c的倍数,因数和倍数是相互依存的。2.因数和倍数的关系。因数和倍数是两个不同但又互相依存的概念,二者不能单独存在,既不能单独说谁是倍数,也不能说单独说谁是因数,应该说谁是谁的倍数,谁是谁的因数。3.求一个数的因数的方法。(1)列乘法算式找:把这个数写成两个整数相乘的形式,算式中的每个整数都是这个数的因数。(2)列除法算式找:用这个数分别除以大于等于1且小于等于它本身的所有整
2、数,所得的商是整数且无余数时,这些除数和商就是这个数的因数。4.表示一个数的因数的方法:列举法,集合法。5.一个数的因数的特点:一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它的本身。6.找一个数的倍数的方法。(1)列乘法算式找:用这个数依次与非0自然数相乘,所得的积就是这个数的倍数。(2)列除法算式找:哪些非0自然数除以这个数的商是整数且没有余数,这些非0自然数就是这个数的倍数。7.表示一个数的倍数的方法:列举法,集合法。8. 2的倍数的特征:个位上是0、2、4、6、8的数,都是2的倍数。9. 5的倍数的特征:个位上是0或5的数,都是5的倍数。10.同时是2和5的倍数的特征:个
3、位上是0的数,就同时是2和5的倍数。11.一个数的倍数的特点:一个数的倍数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。12.偶数:在自然数中,是2的倍数的数叫作偶数。在自然数中最小的偶数是0,没有最大的偶数。13.偶数的表示方法:如果用a表示自然数,那么偶数可以用2a表示。14.奇数:在自然数中,不是2的倍数的数叫作奇数。在自然数中最小的奇数是1,没有最大的奇数。15.奇数的表示方法:如果用a表示自然数,那么奇数可以用2a+1表示。16.3的倍数的特征:一个数的各位上的数字的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。二、质数与合数1.质数:一个数只有1和它本身两个因数,这个数叫作质数(也叫素数)。2
4、.一个数除了1和它本身,还有别的因数,这个数叫作合数。3.自然数的个数是无限的,质数与合数的个数也是无限的,没有最大的质数,也没有最大的合数。4. 1既不是质数,也不是合数,最小的质数是2,最小的合数是4。5.如果按照一个数的因数个数把自然数(0除外)分类,那么自然数可以分成3类。(1)1(只有1个因数)(2)质数(只有2个因数)(3)合数(至少有3个因数)6.如果按照一个数是不是2的倍数,把自然数分类,可以分成2类。(1)奇数(不是2的倍数)(2)偶数(是2的倍数)三、公因数1.几个数公有的因数,叫作这几个数的公因数;其中最大的一个,叫作这几个数的最大公因数。2.求两个数的最大公因数的方法。
5、(1)列举法:先分别找出两个数的因数,再从中找出它们的公因数,最后找出最大的一个。(2)筛选法:先找出两个数中较小数的因数,再从中圈出较大数的因数,最后找出最大的一个。(3)用短除法来求最大公因数。举例:用18和24公有的质因数按从小到大的顺序去除这两个数,除到这两个数的商只有公因数1为止,然后把所有的除数相乘,所得的积就是18和24的最大公因数,即23=6。3.最大公因数的表示方法。如:4和6的最大公因数是2,可记作:(4,6)=2。4.求两个数的最大公因数的特殊情况。(1)成倍数关系的两个数,最大公因数是较小数。(2)只有公因数1的两个数的最大公因数是1。四、公倍数1.几个数公有的倍数,叫
6、作这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫作这几个数的最小公倍数。2.求最小公倍数的方法。(1)先分别找出两个数各自的倍数,再从中找出它们的公倍数,最后找出最小的一个。(2)试除法:先找出两个数中较大数的倍数,再用较大数的倍数按从小到大的顺序依次除以较小数,第一个能被整除的数就是这两个数的最小公倍数。(3)用短除法来求最小公倍数。举例:用18和24公有的质因数按从小到大的顺序去除这两个数,除到这两个数的商只有公因数1为止,然后把所有的除数和所得的商相乘,所得的积就是18和24的最小公倍数,即2334=72。3.最小公倍数的表示方法。如:4和6的最小公倍数是12,可记作:4,6=12。4.公倍数的表
7、示方法。(1)列举法。举例:4的倍数有4、8、12、16、20、246的倍数有12、18、24、30、364和6的公倍数有12、24其中最小的一个是12。(2)集合法。4的倍数6的倍数 4和6的公倍数5.求两个数的最小公倍数的特殊情况。(1)当两个数成倍数关系时,最小公倍数是比较大的数;当两个数只有公因数1时,这两个数的积就是它们的最小公倍数。(2)连续的两个自然数的最小公倍数就是它们的积;连续的两个偶数的最小公倍数是它们的积除以2,连续的两个奇数的最小公倍数是它们的积。重点提示:在自然数中,0是一个特殊的数。0乘任何数都等于0,所以0是任何一个非0自然数的倍数,任何非0自然数都是0的因数,因
8、此,在研究因数和倍数时,我们所说的数指的是不包括0的自然数。知识巧记:因数和倍数,单独不存在,互相来依靠,永远不分开。重点提示:一个非0自然数既是它本身的倍数,又是它本身的因数。易错题:判断:在自然数中,最小的奇数是1,最小的偶数是2。( )。错解分析:没有注意自然数0,0是最小的偶数。正确答案:重点提示:偶数+偶数=偶数偶数+奇数=奇数奇数+奇数=偶数重点提示:2既是质数又是偶数。重点提示:1只有1个因数1,所以1既不是质数,也不是合数。方法提示:判断一个数是合数还是质数,关键看它含有因数的个数。重点提示:每个数的因数的个数是有限的,因此两个数或多个数的公因数的个数也是有限的。易错题:两个数的最大公因数是1,最小公倍数是35,这两个数是( C)。A.5和7B.15和20C.35和5错解分析:虽然35和5的最小公倍数是35,但它们的最大公因数是5而不是1。重点提示:两个数的公倍数的个数是无限的,其中每个公倍数都是最小公倍数的倍数。思想方法提示:用集合法表示公倍数,体现了集合思想。
