1、第五节指数与指数函数考试要求：1了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质2了解指数函数的实际意义，了解指数函数的概念3能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点一、教材概念结论性质重现1n次方根(1)根式的概念一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*当有意义时，叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数(2)a的n次方根的性质()na当n为奇数时，a当n为偶数时，|a|2有理数指数幂幂的有关概念正数的正分数指数幂：a()m (a0，m，nN*，n1)正数的负分数指数幂：a(a0，m，nN*，n1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指数幂的运算性
2、质,arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的概念一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R形如ykax(k1)，yaxk(kR且k0，a0且a1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数4指数函数的图象与性质0a1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)，即x0时，y1当x1；当x0时，0y0时，y1；当x0时，0y1减函数增函数二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)()na()(2)(1)(1)()(3)函数yax是R上的增函数()(4)函数y
3、2x是指数函数()(5)若am0，且a1)，则m0，且a1)的图象经过点P，则f(1)_解析：由题意知a2，所以a，所以f(x)，所以f(1)5若函数y(a21)x在R上为增函数，则实数a的取值范围是_a或a1，解得a或a0，则下列等式成立的是()A(2)24B2a3C(2)01D(a)4D解析：对于A，(2)2，故A错误；对于B,2a3，故B错误；对于C，(2)01，故C错误；对于D，(a)4，故D正确2(多选题)已知aa13，在下列各选项中，其中正确的是()Aa2a27Ba3a318CaaDa2ABD解析：在选项A中，因为aa13，所以a2a2(aa1)22927，故A正确；在选项B中，因
4、为aa13，所以a3a3(aa1)(a21a2)(aa1)(aa1)233618，故B正确；在选项C中，因为aa13，所以(aa)2aa125，且a0，所以aa，故C错误；在选项D中，因为a3a318，且a0，所以a3a3220，所以a2，故D正确3已知a0，b0，化简：_解析：原式22131014计算：(0.002)10(2)10_解析：原式500110102011解决这类问题要优先考虑将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算在运算过程中要先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数，如果底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数2这类问题的运算结果
5、不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要力求统一考点2指数函数的图象及应用综合性(1) (2021海南中学模拟)已知函数f(x)42ax1(a1且a1)的图象恒过点P，则点P的坐标是()A(1,6)B(1,5)C(0,5)D(5,0)A解析：当x1时，f(1)6，与a无关，所以函数f(x)42ax1的图象恒过点P(1,6)故选A(2)若函数y|2x1|的图象与直线yb有两个公共点，则b的取值范围为_(0,1)解析：作出曲线y|2x1|的图象与直线yb如图所示由图象可得b的取值范围是(0,1)在本例(2)中，若将条件中的“有两个公共点”，改为“有一个公共点”，则结果如何？b
6、1或b0解析：作出曲线y|2x1|的图象与直线yb如图所示由图象可得b的取值范围是b1或b0指数函数图象的应用问题的求解方法(1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解(2)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x1与图象的交点进行判断1(多选题)在同一坐标系中，关于函数y3x与y的图象的说法正确的是()A关于y轴对称B关于x轴对称C都在x轴的上方D都过点(0,1)ACD解析：在同一坐标系中，作出y3x与y的图象(略)，知两函数的图象关于y轴对称，A项正确由指数函数的性质，知选项CD正确2若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_
7、1,1解析：作出曲线|y|2x1的图象，如图所示，要使该曲线与直线yb没有公共点，只需1b13已知实数a，b满足等式，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab其中可能成立的有_(填序号)解析：函数y1与y2的图象如图所示由得，ab0或0ba或ab0故可能成立，不可能成立考点3指数函数的性质及应用应用性考向1比较大小(1)已知a2，b4，c25，则()AbacBabcCbcaDca4b，c2554a，所以ba0，且a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_解析：当a1时，易知f(x)在1,0上单调递增，则即无解当0a1时，易知f(x)在1,0上单调递减，则即解得所以ab(2)若函数f(
8、x)有最大值3，则a_1解析：令h(x)ax24x3，y因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此有解得a11研究指数函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致2研究复合函数的单调性，要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决1已知a()，b2，c9，则()AbacBabcCbcaDcabA解析：a()22，b2，c93由23，得a，得ab，所以cab故选A2(2021柳州高三月考)已知函数yf(x)的定义域为R，yf(x1)为偶函数，对任意x1，x2，当x1x21时，f(x)单调递增，则关于a的不等式
9、f(9a1)f(3a5)的解集为()A(，1)B(，log32)C(log32,1)D(1，)B解析：因为函数yf(x)的定义域为R，yf(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)，所以函数yf(x)关于x1对称因为函数yf(x)在1，)为增函数，所以函数yf(x)在(，1为减函数不等式f(9a1)f(3a5)等价于|9a11|9a3a69a或3a60)得到：t2t60或t2t60当t2t60时，无解当t2t60时，(t3)(t2)0，解得t2，即3a2，alog323已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为()A9,81B3,9C1,9D1，)C解析：
10、由f(x)的图象过定点(2,1)可知b2因为f(x)3x2在2,4上单调递增，所以f(x)minf(2)3221，f(x)maxf(4)3429故选C4若函数f(x)(2a1)x32，则yf(x)的图象恒过定点_；又f(x)在R上是减函数，则实数a的取值范围是_(3，1)解析：对于函数f(x)(2a1)x32，令x30，得x3，则f(x)(2a1)02121，可得yf(x)的图象恒过定点(3，1)又函数f(x) (2a1)x32 在R上是减函数，故有02a11，求得 acbBabcCcabDbca四字程序读想算思比较大小比较大小的方法是什么？式子变换转化与化归a, b, c均为幂值的形式1利用
11、函数单调性2通过中间量比较大小3作差或商比较1构造函数2统一幂指数3化为根式形式注意分数指数幂的等价变形以及运算法则思路参考：构造指数函数，利用单调性求解A解析：先比较b与c的大小，构造函数y因为0，所以b1，且a，c均大于0，所以ac，所以acb故选A思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小A解析：因为a，b，c为正实数，且a5，b5，c5，所以a5c5b5，即acb故选A思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小A解析：因为a，b，c，所以acb故选A1本题给出了三种比较指数幂大小的方法，解法1是构造函数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法2与解法
12、3比较类似，都是对a，b，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小可得出a，b，c的大小特别是解法3，结构较为简洁，转化为同次根式迅速求解2基于新课程标准，解决比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数幂的运算法则等知识解决比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养函数yF(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)ax与幂函数g(x)xb“拼接”而成(1)求F(x)的解析式；(2)比较ab与ba的大小；(3)若(m4)b(32m)b，求m的取值范围解：(1)依题意得解得所以F(x)(2)因为ab，ba，指数函数y在R上单调递减，所以，即abba(3)由(m4)(32m)，得解得m，所以m的取值范围是
