1、第四讲 简易逻辑湖南省洞口县第一中学 肖丹枫【基本概念】命题：可以判断真假的语句叫做命题； 开语句：无法确定真假的语句叫做开语句；逻辑联结词：“或、且、非”等叫做逻辑联结词；全称量词与全称命题：“对所有的”、“对一切”等短语在逻辑中通常叫做全称量词，含有全称量词的命题叫做全称命题；存在量词与特称命题：“存在一个”、“至少有一个”、“有的”等短语在逻辑中通常叫做存在量词，含有存在量词的命题叫做特称命题；简单命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；复合命题：由简单命题与逻辑连接词构成的命题叫做复合命题.【考点回顾】考点1 简易逻辑之命题的否定“非”命题是对原命题结论的否定，一个命题经过使用逻辑联结
2、词“非”，就构成一个复合命题“非”（记作“”）称为命题的否定，“非”叫做命题的非命题，也叫做命题P的否定.“非”形式的复合命题的真值与原命题P的真值为一真一假，一假一真，构成一对矛盾命题，但“非P”绝不是“是”与“不是”的简单演译.简易逻辑一节中涉及到命题的否定无外乎下面几种类型：(1). 单称命题的否定即简单命题的否定；(2).存在性命题的否定；(3). 全称性命题的否定；(4). 复合命题“且”、“或”、“若则”的否定.1. 简单命题的否定在简易逻辑中的最简单命题形式“是”，它的否定是“不是”或“并非是”；其中是一个特定对象.例 写出下列命题的否定. (1) 是有理数；(2) 菱形的对角线
3、互相垂直；(3) 3的平方数是正数； 解：(1) 的否定：不是有理数；(2) 的否定：菱形的对角线不互相垂直；(3) 的否定：3的平方数不是正数.2. 含量词命题的否定 全称量词用符号“”表示，存在量词用符号“”表示； 一般地，全称命题：，有成立；其命题的否定为：，使不成立.特称命题：，使成立；其命题的否定为：，有不成立.具体操作就是在命题中，把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定.即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.例 写出下列命题的否定. (1) 所有自然数的平方是正数； (2) 任何实数都是方程
4、的根；(3) 对任意实数，存在实数，使；(4) 有些质数是奇数.解：(1)的否定：有些自然数的平方不是正数；(2)的否定：存在实数不是的根； (3)的否定：存在实数,对所有实数，有；(4)的否定：所有的质数都不是奇数. 解题中会遇到省略了“所有、任何、任意”等量词的简化形式，如“若，则”.在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式.例 写出下列命题的否定. (1) 若， 则； (2) 若，则方程有实数根； (3) 可以被5整除的整数，末位是0；(4) 被8整除的数能被4整除； (5) 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等. 解 (1)的否定
5、：存在实数，虽然满足但或者说：存在小于或等于2的数， 满足.（原命题完整表达：对任意的实数x, 若，则）；(2)的否定：存在一个，使方程无实数根.（原命题完整表达：对任 意实数，若，则有实数根.）； (3)的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.(4)的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原命题完整表达：所有能被8整除的数都能被4整除) (5)的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等.（原命题完整表达：任意一个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等.）由此看来，要准确表达含量词命题的否定，就要求我们掌握好一些词语的否定如下表： 词语是都
6、是大于小于且词语否定不是不都是小于等于大于等于或词语必有一个所有x成立所有x不成立至多有一个至少有n个词语否定一个也没有存在一个x不成立存在一个x成立至少有两个至多有n-1个3. 复合命题“且”，“或”形式的否定给定命题、，用联结词“且”来构成的复合命题“且”叫做命题、的合取命题（也叫联言命题），记作；用联结词“或”来构成的复合命题“或” 叫做命题、的析取命题（也叫选言命题），记作().复合命题的真值表：(“1”表示真，“0”表示假)()()()11110000100110010101100100001111从表可知：()与 的真值相同；()与 的真值相同，故它们分别是等价命题，因而我们认为“
7、且”的否定为“非或非”；“或”的否定为“非P且非q”.用符号语言表示：()=； ()=.从而可知命题“”和“()”的否定是既否定命题、，又否定联结词.例 写出下列命题的否定(1) ；(2) 既是奇函数又是偶函数；(3) 5是10的约数且是15的约数；(4) 或；(5) 都是0解：(1)的否定：且；（原命题属于型）；(2)的否定：不是奇函数或不是偶函数； （原命题属于）；(3)的否定：5不是10的约数或5不是15的约数；(4)的否定：且；(5) 的否定：“不都是0”或“或”4. 复合命题“若则”形式的否定“若则”（记作）型命题的否定实质上较复杂，但在中学数学里所研究的命题都是具有实质性蕴涵关系的
8、命题，是具有真假性的命题，不能区分真假性的命题不作研究. 当语句和能判断其真假时就成为命题，那么“若则”就是逻辑中的蕴涵关系，其否定形式不妨用真值表来解决(用“1”表示真，“0”表示假)：()110100101011010100001100从表可知，“若则”的否定命题真值性与命题“且非”相同，故是等价命题.我们就此认为：命题“若则”的否定为“且非“，且习惯表达为“虽然，却非”的形式，或是“尽管，然而非”.用符号语言表示：()=；例 写出下列命题的否定. (1)若， 则全为0；(2)若或，则；(3)若集合B真包含集合A，则集合A包含于集合B.解：(1)的否定：虽然，但是和不全为0；(2)的否定：
9、虽然或，但；(3)的否定：尽管集合B真包含集合A，然而集合A不包含于集合B. 注：有些学生把答案写成：(1)若，则和不全为0；(2)若或， 则 ，是不对的.误把命题“若则”的否定认为是“若则”，即为.实际上，原命题与否定命题应属于矛盾命题，而“若则”与“若则”成对立关系的命题；另一方面从真值表可知，当P为假时，它们的真值都为真，故不可成为矛盾命题，因此；如“若2是奇数，则7是奇数”与“若2是奇数，则7不是奇数”都为真命题.考点2命题的否定与否命题的区别一、任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题，而否命题仅针对命题“若则”提出来的； 二、命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假
10、，一假一真，而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假； 三、原命题“若则”的形式，它的否定命题在前面已讲过，而它的否命题为“若非，则非”既否定条件又否定结论. 例 写出下列命题的否定命题与否命题，并判断其真假性.(1)若，则；(2)若，则；(3)正方形的四条边相等； (4)已知为实数，若有非空实解集，则.解：(1)的否定：存在，使得且成立；假命题否命题：对于任意的，若，则； 真命题(2)的否定：存在，使得且成立；真命题否命题：对于任意的，若，则；假命题(3)的否定：存在一个四边形，尽管它是正方形，但四条边中至少有两条边不相等；假命题否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；假
11、命题(4)的否定：存在两个实数，使得有非空实解集且成立；假否命题：已知为实数，若没有非空实解集，则；真命题 考点3 充分条件与必要条件1. 定义：对命题“若则”而言，当它是真命题时，是的充分条件，是的必要条件；当它的逆命题为真时，是的充分条件，是的必要条件；两种命题均为真时，称是的充要条件.2. 在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论；其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件.3. 当和互为充要时，体现了命题等价转换的思想.4. 要理解“充分条件”“必要条件”的概念，当“若则”形式的命题为真时，就记作，称是的
12、充分条件，同时称是的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假5. 要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”等6. 数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质7. 从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件8. 证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).例（2008安徽卷）是方程至少有一个负数根的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解
13、：当，得a1时方程有根。aB是的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3. 命题p：存在实数m，使方程x2mx10有实数根，则“非p”形式的命题是A.存在实数m，使得方程x2mx10无实根 B.不存在实数m，使得方程x2mx10有实根C.对任意的实数m，使得方程x2mx10有实根D.至多有一个实数m，使得方程x2mx10有实根4. 命题“存在R，0”的否定是. A.不存在R, 0 B.存在R, 0 C.对任意的R, 0 D.对任意的R, 05. 有下列四个命题“若xy0，则x、y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x22xq0
14、有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题。其中真命题为A. B. C. D.6. 若p是q的必要不充分条件，则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件 第卷（非选择题 共5道填空题6道解答题）二.简答题 7. 若把命题“AB”看成一个复合命题，那么这个复合命题的形式是 ，其中构成它的两个简单命题分别是 _。8. 用符号“”与“”表示含有量词的命题: （1）实数的平方大于等于0_（2）存在一对实数 x,y，使2x3y30成立 。9. 函数y=ax2+bx+c(a0)过原点的充要条件是_.三.解答题10. 已知ka-1a1的解集为R.
15、当命题p.q有且只有一个正确时，求实数k的取值范围。11. 求证：ABC是等边三角形的充要条件是a2b2c2abacbc。这里a.b.c是ABC的三条边。12. 已知命题”同时为假命题，求x的值。13. 已知A：|5x-2|3，B：0,则非A是非B的什么条件？并写出解答过程.第一章 简易逻辑单元检测题参考答案（仅供参考）一、选择题123456CCBDCA二.填空题7. pq ; p: A=B , q : 8. （1）（2），使2x3y30成立 9. c=0三.解答题10. 将已知条件转化为等价的简单不等式.首先研究q:因为x+|x2k|=,所以x+|x2k|的最小值是2k.因为x+|x2k|1
16、的解集为R.所以2k1,k.结合ka-1a1,a0知q正确时，k1.q不正确时，-10.反之k0,所以p正确时，0k1, p不正确时，1k0.综上知，当p正确且q不正确时,0k.当p不正确且q正时,k.所以k的取值范围是0k.11. (必要性)ABC是等边三角形，且a.b.c是其三边a=b=ca2+b2+c2=ab+ac+bc （充分性）a2+b2+c2=ab+ac+bc (a2+b2)+ （a-c）2+ (b-c)2=0(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0a=b=ca.b.c是ABC的三边ABC是等边三角形综上所述，ABC是等边三角形的充要条件是a2b2c2abacbc12. 同时为假命题，所以为真，为假。故13. 解法一:化简A、B得A：x|x-或x1,B：x|x-5或x1.AB但BA，B是A的充分不必要条件.它的逆否命题:非A是非B的充分不必要条件.解法二:化简A、B得A:x|x-或x1,B:x|x-5或x1.非A：x|-x1，非B：x|-5x1.非A非B,非A是非B的充分不必要条件.
