1、课时跟踪检测（十三） 小题考法直线与圆A组107提速练一、选择题1已知直线l：yk(x)和圆C：x2(y1)21，若直线l与圆C相切，则k()A0B.C.或0 D.或0解析：选D因为直线l与圆C相切，所以圆心C(0,1)到直线l的距离d1，解得k0或k，故选D.2(2018宁波十校高三5月适应性考试)已知直线l过圆(x1)2(y2)21的圆心，当原点到直线l距离最大时，直线l的方程为()Ay2 Bx2y50Cx2y30 Dx2y50解析：选D设圆心为M，则M(1,2)当l与OM垂直时，原点到l的距离最大作出示意图如图，kOM2，l的斜率为.直线l的方程为y2(x1)，即x2y50.3直线l：y
2、kx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，则“k1”是“|AB|”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A依题意，注意到|AB|等价于圆心O到直线l的距离等于，即有，k1.因此，“k1”是“|AB|”的充分不必要条件4若三条直线l1：4xy3，l2：mxy0，l3：xmy2不能围成三角形，则实数m的取值最多有()A2个 B3个 C4个 D6个解析：选C三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点若l1l2，则m4；若l1l3，则m；若l2l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m1或.故实数m的取值最多有4个，故选C.5
3、(2018温州模拟)在直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)，B(2,0)，过A的直线交x轴于点C(a,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，则a()A. B.C1 D.解析：选B设直线AC的倾斜角为，直线AB的倾斜角为，即有tan tan 2.又tan ，tan ，所以，解得a.6与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程是()A(x2)2(y2)22B(x2)2(y2)22C(x2)2(y2)22D(x2)2(y2)22解析：选D由题意知，曲线方程为(x6)2(y6)2(3)2，过圆心(6,6)作直线xy20的垂线，垂线方程为yx，则所求的最小圆
4、的圆心必在直线yx上，又圆心(6,6)到直线xy20的距离d5，故最小圆的半径为，圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x2)2(y2)22.7(2018长沙模拟)若直线(21)x(2)y20(R)被圆C：(x1)2y24所截得的弦为MN，则|MN|的最小值是()A. B2C2 D4解析：选C直线方程(21)x(2)y20(R)可化为(2xy1)(x2y2)0(R)，若则所以直线恒过圆C：(x1)2y24内的定点P(0，1)，当直线(21)x(2)y20(R)与直线CP垂直时，|MN|最小，此时|MN|222.故选C.8(2018合肥质检)设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(
5、0,3)且与圆C交于A，B两点，若|AB|2，则直线l的方程为()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90解析：选B由题可知，圆心C(1,1)，半径r2.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x0，计算出弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为ykx3，由弦长为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有1，解得k，所以直线l的方程为yx3，即3x4y120.综上，直线l的方程为x0或3x4y120，故选B.9两个圆C1：x2y22axa240(aR)与C2：x2y22by1b20(bR)恰有三条公切线，则ab的最小值为(
6、)A3 B3C6 D6解析：选B两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(xa)2y24，圆C2：x2(yb)21，所以C1(a,0)，C2(0，b)，213，即a2b29.由2，得(ab)218，所以3ab3，当且仅当“ab”时等号成立所以ab的最小值为3.10若圆(x3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1，则半径r的取值范围是()A(4,6) B4,6C(4,5) D(4,5解析：选A设直线4x3ym0与直线4x3y20之间的距离为1，则有1，m3或m7.圆心(3，5)到直线4x3y30的距离等于6，圆心(3，5)到直线4x3y70的距离等于4
7、，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.二、填空题11直线l：xy230(R)恒过定点_，P(1，1)到直线l的距离的最大值为_解析：直线l：xy230(R)，即(y3)x20，令解得直线l恒过定点(2,3)不妨记Q(2,3)，则P(1,1)到直线l的距离的最大值为|PQ|.答案：(2,3)12若直线l1：yxa和直线l2：yxb将圆(x1)2(y2)28分成长度相等的四段弧，则a2b2_.解析：由题意得直线l1和l2截圆所得弦所对的圆心角相等，均为90，因此圆心到两直线的距离均为r2，即2，得a2b2(21)2(12)218.答案：1813已知点M(2,1)及圆x2y24，则过M点的
8、圆的切线方程为_，若直线axy40与该圆相交于A，B两点，且|AB|2，则a_.解析：若过点M的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x2，经验证满足条件若切线斜率存在，可设切线方程为yk(x2)1，由圆心到直线的距离等于半径得2，解得k，故切线方程为y(x2)1，即3x4y100.综上，过M点的圆的切线方程为x2或3x4y100.由，得a.答案：x2或3x4y10014已知C的方程为x22xy20，直线l：kxyx2k0与C交于A，B两点，当|AB|取最大值时，k_；当ABC的面积最大时，k_.解析：圆的方程可化为(x1)2y21，圆心C(1,0)，半径为1，当直线过圆心时，弦AB为直径，|AB|
9、最大，此时k1.设ACB，则SABC11sin sin ，当90时，ABC的面积最大，此时圆心到直线的距离为，由d，解得k0或k6.答案：10或615已知圆O：x2y2r2与圆C：(x2)2y2r2(r0)在第一象限的一个公共点为P，过点P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同两点A，B(异于P点)，且OAOB，则直线OP的斜率是_，r_.解析：两圆的方程相减得，4x40，则点P的横坐标x1.易知P为AB的中点，因为OAOB，所以|OP|AP|PB|，所以OAP为等边三角形，所以APO60，因为ABx轴，所以POC60，所以直线OP的斜率为.设P(1，y1)，则y1，所以P(1，)，代入圆O，解得
10、r2.答案：216(2018浦江模拟)设A是直线yx4上一点，P，Q是圆C：x2(y2)217上不同的两点，若圆心C是APQ的重心则APQ面积的最大值为_解析：如图，圆心C是APQ的重心，ACPQ，设C到PQ的距离为x，则PQ2，则A到PQ的距离为3x，SPAQ23x3x3.当且仅当x，即x时等号成立APQ面积的最大值为.答案：17定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合(x，y)|0；(x，y)|xy|6；(x，y)|0x2(y)21其中是开集的是_(请写出所有符合条件的序号)解析：集合(x，y)|0)与圆x2y24交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|，那
11、么k的取值范围是()A(，) B，)C，2) D，2)解析：选C当|时，O，A，B三点为等腰三角形AOB的三个顶点，其中OAOB2，AOB120，从而圆心O到直线xyk0(k0)的距离为1，即1，解得k；当k时，|，又直线与圆x2y24有两个不同的交点，故2，即k0)设条件p：0r1，即0r1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1；当2r1，即r1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1；当02r1，即1r2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当2r0，即r2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当0r21，即2r1，即r3时，直线与圆相交，此时圆上有4个
12、点到直线的距离为1.综上，当0r3时，圆C上至多有2个点到直线xy30的距离为1；由圆C上至多有2个点到直线xy30的距离为1可得0r3.故p是q的充要条件，故选C.4已知圆C：x2y22x4y10的圆心在直线axby10上，则ab的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B把圆的方程化为标准方程得，(x1)2(y2)24，圆心坐标为(1,2)，根据题意可知，圆心在直线axby10上，把圆心坐标代入直线方程得，a2b10，即a12b，则ab(12b)b2b2b22，当b时，ab有最大值，故ab的取值范围为.5已知点A(3,0)，若圆C：(xt)2(y2t4)21上存在点P，使|PA|2|PO
13、|，其中O为坐标原点，则圆心C的横坐标t的取值范围为_解析：设点P(x，y)，因为|PA|2|PO|，所以2，化简得(x1)2y24，所以点P在以M(1,0)为圆心，2为半径的圆上由题意知，点P(x，y)在圆C上，所以圆C与圆M有公共点，则1|CM|3，即1 3，开方得15t214t179.不等式5t214t160的解集为R；由5t214t80，得t2.所以圆心C的横坐标t的取值范围为.答案：6设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_解析：由题意可知M在直线y1上运动，设直线y1与圆x2y21相切于点P(0,1)当x00即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(1，0)符合要求；当x00时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有OMNOMP，故要存在OMN45，只需OMP45.特别地，当OMP45时，有x01.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为1,1答案：1,1
