1、第一课时向量的数量积预习课本P8386，思考并完成下列问题1平面向量的数量积的定义是什么？2平面向量数量积的运算律有哪些？3如何通过平面向量的数量积求向量的模？4两向量垂直时，平面向量的数量积为多少？1平面向量的数量积(1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .(2)我们规定：零向量与任一向量的数量积为0.点睛两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定2两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，如图所示作a，b，则AOB称为向
2、量a与b的夹角(2)范围：0180.(3)当0时，a与b同向；当180时，a与b反向(4)当90时，则称向量a与b垂直，记作ab.3平面向量数量积的性质及运算律(1)数量积性质当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；aa|a|2或|a|.(2)数量积的运算律abba；(a)ba(b)(ab)ab；(ab)cacbc.点睛数量积的运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(ab)ca(bc)，这是因为ab，bc都是实数，(ab)c与向量c方向相同或相反a(bc)与向量a方向相同或相反，而a与c不一定共线4向量数量积的几何意义(1)设a，b是两个非零向
3、量，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影，它是数量(2)数量积ab的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积1已知|a|5，|b|8，且a与b的夹角150，则ab_.答案：202两个单位向量a，b的夹角为，则a2ab_.答案：3已知|a|9，|b|6，ab54，则a与b的夹角为_答案：1354已知a，b为非零向量，且(a3b)(a3b)0，则_.答案：3向量数量积的运算典例已知|a|3，|b|6，当ab，ab，a与b的夹角是60时，分别求ab.解当ab时，若a与b同向，则它们的夹角0，ab|a|b|cos 036118；若a与b反向，则它们的夹角180
4、，ab|a|b|cos 18036(1)18；当ab时，它们的夹角90，ab0；当a与b的夹角是60时，有ab|a|b|cos 60369.平面向量数量积的求法(1)首先确定两个向量的模及向量的夹角，这是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算活学活用已知|a|3，|b|4，a与b的夹角为120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)(2ab)(a3b)解：(1)ab|a|b|cos 120346.(2)a2b2|a|2|b|232427.(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos 1203|b|22325343
5、4260.与向量的模有关的问题典例已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.计算：|ab|，|4a2b|.解由已知得，ab4816.因为|ab|2a22abb2162(16)6448，所以|ab|4.因为|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768.所以|4a2b|16.求向量的模的思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，可以实现实数运算与向量运算的相互转化活学活用已知向量a，b，AOB60，且|a|b|4.求|ab|，|ab|，|3ab|.解：因为ab|a|b|cosAOB4
6、48，所以|ab|4，|ab|4，|3ab|4.两个向量的夹角问题典例设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角解因为|n|m|1且m与n夹角是60，所以mn|m|n|cos 6011.|a|2mn| ，|b|2n3m| ，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为，则cos .又0，所以，故a与b的夹角为.向量的数量积公式ab|a|b|cos 不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角，即cos .在根据已知三角函数值求角时，要注意角的范围的确定此外，要注意若两非零向量a，b的夹角为锐角ab0且ab|a|b|；两非零向量a，b的夹角为钝角
7、ab0且ab|a|b|.活学活用已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2，be22e1的夹角解：设a，b的夹角为，单位向量e1，e2的夹角为60，e1e2|e1|e2|cos 60.ab(e1e2)(e22e1)e1e2e2e2e1e2e2ee1e212，|a|，|b| .cos .0，.层级一学业水平达标1a，b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|_. 解析：因为ab|a|b|cos 120，所以|5ab|2(5ab)225a2b210ab2591049，所以|5ab|7.答案：72已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为_解析：根据向量数量积
8、的意义，ab|a|b|cos 4cos 2及0，可得.答案：3已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为120，则(a2b)(a3b)_.解析：由题意，得ab|a|b|cos 12012，则(a2b)(a3b)a26b2ab62642(12)48.答案：484已知a，b是非零向量，且(a2b)a，(b2a)b，则a与b的夹角是_解析：由(a2b)a0及(b2a)b0，得a2b22|a|b|cos ，所以，cos ，.答案：5已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|_.解析：|2ab|2(2ab)24a24abb28，所以|2ab|2.答案：26在四边形ABCD中，且0，则四边形A
9、BCD形状为_解析：因为，即一组对边平行且相等，0，即对角线互相垂直，所以，四边形ABCD为菱形答案：菱形7已知|a|1，|b|2，|c|4，a与c的夹角为90，b与c的夹角为60，则(ab)c_.解析：(ab)cacbc|b|c|cos 60244.答案：48在平行四边形ABCD中，3，则线段AC的长为_解析：由题意得0，整理得()0，即0，又()3，即23.答案：9已知向量a，b满足|a|12，|b|15，|ab|25，求|ab|.解：因为|ab|2a2b22ab1221522ab252，所以2ab256.所以|ab|2a2b22ab122152256113.所以|ab|.10已知a，b是
10、非零向量，若a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直试求：a与b的夹角解：由条件知所以由得46ab23b20，所以b22ab.将它代入得a22ab，所以|a|b|.所以由b22ab可知|b|22|a|b|cos ，所以cos ，所以60.即所求向量a，b的夹角为60.层级二应试能力达标1已知|a|2，|b|3，若ab，则ab_.解析：当ab时，则a与b的夹角为0或180.若0，则ab|a|b|6；若180，则ab|a|b|6.答案： 62在ABC中，|3, |4, C30，则_.解析：因为与夹角为18030150，故cos 1506.答案：63已知向量a与b的夹角为120，且|a|b|4，那
11、么b(2ab)_.解析：ab|a|b|cos 1208，b(2ab)2abb216160.答案：04若非零向量，满足|，则，的夹角为_解析：因为|，所以()2()2，即222222，所以0，所以，的夹角为90.答案：905设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2 _.解析：由abc0得cab.又(ab)c0，所以(ab)(ab)0，即a2b2.则c2(ab)2a2b22aba2b22，所以，|a|2|b|2|c|24. 答案：46已知ABC中，若，则ABC是_形解析：由，得()()，即，所以，0，所以，()0，则0，即，所以ABC是直角三角形答案：
12、直角三角形7已知|a|2|b|2，且向量a在向量b方向上的投影为1.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？解：(1)|a|2|b|2，|a|2，|b|1.又a在b方向上的投影为|a|cos 1，ab|a|b|cos 1.cos ，.(2)(a2b)bab2b2123.(3)ab与a3b互相垂直，(ab)(a3b)a23abba3b24313740，.8在ABC中，c，a，b，且abbcca，判断ABC的形状. 解：在ABC中，易知0，即abc0，因此acb，abc，从而两式相减可得b22abc22acc2b2.因为abcaac，所以2b22c2，即|b|c|.同理可得|a|b| ，故|，即ABC是等边三角形