1、 真题演练集训 1设直线l1，l2分别是函数f(x)图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是()A(0,1) B(0,2)C(0，) D(1，)答案：A解析：不妨设P1(x1，ln x1)，P2(x2，ln x2)，由于l1l2，所以1，则x1.又切线l1：yln x1(xx1)，l2：yln x2(xx2)，于是A(0，ln x11)，B(0,1ln x1)，所以|AB|2.联立解得xP.所以SPAB2xP，因为x11，所以x12，所以SPAB的取值范围是(0,1)，故选A.2已知点A(1,0)，B(1,0)，C(
2、0,1)，直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A. (0,1) B. C. D. 答案：B解析：如图所示，点F在线段AB上时，可求得E，则SEFBSABC，整理得a，由可解得b；如图所示，当点F在点A左侧时，可求得E，G，则S四边形ABEGSBEFSAFGSABC，整理可得a22b24b1，由可解得1b或1b1(舍去)综上可得，b的取值范围为，故选B.3在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_答案：3解析：由曲线yax2过点P(2，5)可得54a.又y2ax，所以在
3、点P处的切线斜率4a.由解得a1，b2，所以ab3.4设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_答案：5解析：直线xmy0与mxym30分别过定点A，B，A(0,0)，B(1,3)当点P与点A(或B)重合时，|PA|PB|为零；当点P与点A，B均不重合时，P为直线xmy0与mxym30的交点，且易知此两直线垂直，APB为直角三角形，|PA|2|PB|2|AB|210，|PA|PB|5，当且仅当|PA|PB|时，上式等号成立 课外拓展阅读 直线过定点及直线的距离最值问题专题一直线过定点问题直线l的方程中除去x，y还有其他字母(称
4、为参数)，若直线l过一个定点P，求定点P的坐标时，通常对参数分别取两个具体的值，将所得的两个方程联立得方程组，由方程组的解可得定点P的坐标已知两直线a1xb1y10和a2xb2y10的交点为P(2,3)，求过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1a2)的直线方程由两直线过定点得出系数之间的关系，从而得出直线方程因为点P(2,3)在已知直线上，所以2a13b110,2a23b210，所以2(a1a2)3(b1b2)0，即，所以所求直线方程为yb1(xa1)所以2x3y(2a13b1)0，即2x3y10.点P(2,1)到直线mxy30(mR)的最大距离是_解法一：点P(2,1)到直线mx
5、y30(mR)的距离d，则设f(m)d244，下面求(mR)的最大值设34mt，则m.当m0，则4，当且仅当t，即t5时等号成立；当m时，0；当m时，t1，当且仅当t，即t5时等号成立综上可得，(mR)的最大值为4，所以点P(2,1)到直线mxy30(mR)的最大距离是2.解法二：对于直线l：mxy30(mR)，令m0，则有y30；令m1，则有xy30，解方程组得则直线l经过定点Q(0，3)，如图所示由原题答图知，当PQl时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值，此时|PQ|2，所以点P(2,1)到直线l的最大距离是2.2方法探究受思维定式的影响，很容易想到解法一，这种方法看起来可行，但是在
6、具体求解时很繁琐，解法二应用数形结合的思想，方便简捷，是最优解法，值得学习和借鉴专题二有关直线的距离最值问题已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)(1)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大 (1)设A关于直线l的对称点A(m，n)，则解得故A(2,8)P为直线l上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，则点P就是直线AB与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为(2,3)(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当A，
7、B，P三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，则点P就是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为yx2，解得故所求的点P的坐标为(12,10)已知点A(3,1)，在直线yx和y0上各找一点M和N，使AMN的周长最短，并求出最短周长由点A(3,1)及直线yx，可求得点A关于yx的对称点为点B(1,3)，同样可求得点A关于y0的对称点为点C(3，1)，如图所示则|AM|AN|MN|BM|CN|MN|BC|，当且仅当B，M，N，C四点共线时，AMN的周长最短，为|BC|2.由B(1,3)，C(3，1)可得，直线BC的方程为2xy50.由得故点M的坐标为.对于2xy50，令y0，得x，故点N的坐标为.故在直线yx上找一点M，在y0上找一点N，可使AMN的周长最短，最短周长为2.领悟整合在直线l上找一点P到两定点A，B的距离之和最小，则点P必在线段AB上，故将l同侧的点利用对称转化为异侧的点；若点P到两定点A，B的距离之差最大，则点P必在AB的延长线或BA的延长线上，故将l异侧的点利用对称性转化为同侧的点(A，B为点A，B关于l的对称点)
