1、高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网【高考再现】热点一、频率分布直方图的绘制与应用1（2012 年高考（辽宁理）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”.()根据已知条件完成下面的 2 2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?()将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.
2、若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望()E X 和方差()D X.附:22112212211212(),n n nn nn n n n+=【解析】(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而 22 列联表如下:高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网由 22 列联表中数据代入公式计算,得:因为 3.0303.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为 14,由题意,从而 X 的分布列为:2（2012 年高考（广东理）(
3、概率统计)某班 50位高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是:)40,50、)50,60、)60,70、)70,80、)80,90、90,100.()求图中 x 的值;()从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为,求 的数学期望.【方法总结】频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时，一般是采取组中值乘以各组的频率的方法热点二热点二热点二热点二、茎叶图
4、的应用1（2012 年高考（陕西理）从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲,x乙,中位数分别为 m甲,m乙,则高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网热点三、离散型随机变量的均值与方差1（2012 年高考（上海理）设4432110102D.B1D=2D.C1D2D.D1D与2D的大小关系与1x、2x、3x、4x 的取值有关.解析)(2.0543211xxxxxE+=t,2221(2.0 xxE+=+232xx+243xx+254xx+215xx+)=t,高考资源网（）您身边的高考专家版权所
5、有高考资源网2（2012 年高考（天津理）现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.()求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率:()求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:()用,X Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=|XY,求随机变量 的分布列与数学期望 E.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网(3)的所有可能的取值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,
6、0A 与4A 互斥,故2130484017(0)(),(2)()(),(4)()()278181PP APP AP APP AP A=+=+=所以 的分布列为024p82740811781随机变量 的数学期望8401714802427818181E=+=.3（2012 年高考（浙江理）已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和.()求 X 的分布列;()求 X 的数学期望 E(X).4（2012 年高考（重庆理）(本小题满分 13 分,()小问
7、5 分,()小问 8 分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.()求甲获胜的概率;()求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网综上知,有分布列123P232919从而,221131233999E=+=(次)5（2012 年高考（四川理）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B,系统 A 和 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 110和 p.()若在任意时刻至少有一个系统不
8、发生故障的概率为 4950,求 p 的值;()设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求 的概率分布列及数学期望 E.解析(1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么1-P(C)=1-101 P=5049,解得 P=51 4 分高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网所以,随机变量 的概率分布列为:0123P1000110002710002431000729故随机变量 X 的数学期望为:E=0102710007293100024321000271100010=+.6（2012 年高考（陕西理）某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相
9、独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率;(2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网7（2012 年高考（山东理）先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 34,命中得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 23,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.()求该射手恰好命中一次得的概率;()求该射手的总
10、得分 X 的分布列及数学期望 EX.【解析】:()367323141)31(43122=+=CP;()5,4,3,2,1,0=X高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网91323141)2(,121)31(43)1(.361)31(41)0(1222=CXPXPXP,31)32(43)5(,91)32(41)4(,31323143)3(2212=XPXPCXPX012345P36112191319131EX=0 361+1121+2 91+3 31+4 91+5 31=12531241=.8（2012 年高考（江西理）如图,从 A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0)
11、,B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量 V(如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积 V=0).(1)求 V=0 的概率;(2)求 V 的分布列及数学期望.【解析】9（2012 年高考（江苏）设 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时,0=;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1=.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网(1)求概率(0)P =;(2)求 的分布列,并求其数学
12、期望()E .(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或2,其中距离为2 的共有 6 对,212661(2)=6611PC=,416(1)=1(0)(2)=1=1111 11PPP=.随机变量 的分布列是:012()P 411611111其数学期望6162()=12=111111E+.10（2012 年高考（湖南理）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9 至12件13至16件17 件及 以上顾 客 数(人)x3025y10结算时间(分 钟/人)11.522.53已知这 100 位顾客中的
13、一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.()确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望;()若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率.(注:将频率视为概率)【解析】(1)由已知,得 251055,35,yxy+=+=所以15,20.xy=该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网153303251(1),(1.5),(2),10020100101004p
14、 Xp Xp X=201101(2.5),(3).100510010p Xp X=X 的分布为X11.522.53P3203101415110X 的数学期望为33111()11.522.531.920104510E X=+=.11（2012 年高考（湖北理）根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如下表:历 年 气 象 资 料 表 明,该 工 程 施 工 期 间 降 水 量 X 小 于 300,700,900 的 概 率 分 别 为0.3,0.7,0.9.求:()工期延误天数Y 的均值与方差;()在降水量 X 至少是300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率.降
15、水量 X300X 300700X700900X900X 工期延误天数Y02610高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网所以Y 的分布列为:12（2012 年高考（大纲理）(注意:在试题卷上作答无效)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次轮换,每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率;(2)表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 的期
16、望.()由题意0,1,2,3=.123(0)()0.6 0.6 0.40.144PP A A A=;123123123(1)()PP A A AA A AA A A=+0.40.60.40.60.40.40.60.60.6=+=0.408;Y02610P0.30.40.20.1高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网(2)0.352P =;123(3)()0.4 0.4 0.60.096PP A A A=所以0.4082 0.3523 0.0961.4E=+=13（2012 年高考（安徽理）某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是 A类型试题,则使用后该试题回库,并增补
17、一道 A 类试题和一道 B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是 B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有 nm+道试题,其中有n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题,以 X 表示两次调题工作完成后,试题库中 A 类试题的数量.()求2Xn=+的概率;()设mn=,求 X 的分布列和均值(数学期望).【方法总结】正确求出分布列是求均值和方差的前提，有时善于使用公式()()E aXbaE Xb+=+，2()()D aXba D X+=可简化计算。【考点剖析】一明确要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性高考资
18、源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网2.了解两点分布和超几何分布的意义，并能进行简单的应用.三规律总结基础梳理1频率分布直方图(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的频率分布估计总体的分布；另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)作频率分布直方图的步骤求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)决定组距与组数将数据分组列频率分布表画频率分布直方图(3)在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示各小长方形的面积总和等于 1.4样本方差与标准差设样本的元素为 x1，x2，xn，样本的平均数为 x，(1)样本方差：s21n(x1 x
19、)2(x2 x)2(xn x)2(2)样本标准差：高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网s1n(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2.两个异同(1)众数、中位数与平均数的异同众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量由于平均数与每一个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质.众数考查各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题某些数据的变动对中位数可能没有影响中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中当一组数据中的个别数据变动较
20、大时，可用中位数描述其集中趋势【基础练习】1.(教材习题改编教材习题改编教材习题改编教材习题改编)设随机变量 XXXX 的分布列如下：XXXX1111222233334444PPPP111166661111333311116666pppp则 pppp 为()A.A.A.A.11116666B.B.B.B.11113333C.C.C.C.22223333D.D.D.D.111122222（经典习题）抛掷 2 颗骰子，所得点数之和记为 X，那么 X4 表示的随机试验结果是()高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网A2 颗都是 4 点B1 颗是 1 点，另一颗是 3 点C2 颗都是 2 点
21、D1 颗是 1 点，另 1 颗是 3 点，或者 2 颗都是 2 点3（经典习题经典习题经典习题经典习题）若随机变量 XXXX 的分布列 PPPP(xxxxiiii)iiii2222aaaa(iiii1111、2222、3)3)3)3)，则 PPPP(xxxx2)2)2)2)()A.A.A.A.11119999B.B.B.B.11116666C.C.C.C.11113333D.D.D.D.111144444（经典习题）设随机变量 X 等可能取值 1,2,3，n，如果 P(X，12ss（B）12xx，12ss（C）12xx，12ss（D）12xx3.(浙江省2012 届重点中学协作体高三第二学期高
22、考仿真试题理)甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是 12，三人都做对的概率是 124，三人全做错的概率是 14，已知乙做对这道题的概率大于丙做对这道题的概率。设三人中做对这道题的人数为，则随机变量 x 的数学期望=E4.（宁波四中 2011 学年第一学期期末考试理）已知某随机变量 的概率分布列如右表，其中0,0 xy，随机变量 的方差12D=，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网5(北京市西城区 2012 届高三下学期二模试卷理)（本小题满分 13 分）甲、乙两人参加某种选拔测试在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是 53，乙能答对其中的5道题规定每次考试都从备
23、选的10 道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减 5分，至少得15分才能入选（）求乙得分的分布列和数学期望；（）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率6(河北唐山市 2012 届高三第三次模拟理)（本小题满分 12 分）金融机构对本市内随机抽取的 20 家微小企业的产业结构调整及生产经营情况进行评估，根据得分将企业评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，金融机构将根据等级对企业提供相应额度的资金支持。（1）在答题卡上作出频率分布直方图，并由此估计该市微小企业所获资金支持的均值；（2）从上述 20 家企业中随机抽抽取 2 家，设这 2 家企业获得资金支持的总额 为
24、 X 千万元，求 X 的分布列和均值 E（X）。7(2012201220122012 年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三）理)(本小题满分 12 分）某幼儿园为训练孩子的数字运算能力，在一个盒子里装有标号为 1,2,3,4,5 的卡片各 2 张，让孩子从盒子里任取 3 张卡片，按卡片上最大数字的 9 倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用 X 表示取出的 3 张卡片上的最大数字.(I)求取出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率；(II)求随机变量 x 的分布列及数学期望；高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网(III)若孩子取出的卡片的计分超过 30 分，就得到奖励，求孩子得到
25、奖励的概率.9(襄阳五中高三年级第一次适应性考试理)（本题满分 12 分)某科技公司遇到一个技术难题，成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励，已知此技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为，被乙小组攻克的概率为，（）设为“攻关期满时获奖的攻关小组数”，求的分布列及 E；（）设为“攻关期满时的获奖小组数与没有获奖的攻关小组数差的平方”，记“函数7()2xf x=在定义域内单调递减”为事件 C，求事件 C 的概率。二能力拔高1.【2011 学年浙江省第二次五校联考理】甲、乙两个篮球队进行比赛，比赛采用 5 局 3 胜制（即先胜
26、 3 局者获胜）若甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率分别为 23 和 13，记需要比赛的场次为，则 E 高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网4.(2012 东城区普通高中示范校高三综合练习（二）理)（本小题满分 13 分）某中学选派 40 名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：培训次数123参加人数51520（1）从这 40 人中任意选 3 名学生，求这 3 名同学中至少有 2 名同学参加培训次数恰好相等的概率；（2）从 40 人中任选两名学生，用 X 表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量 X的分布列及数学期望 EX.高考资源网（）您
27、身边的高考专家版权所有高考资源网6(河北省唐山市 20112012 学年度高三年级第二次模拟考试理)（本小题满分 12 分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的 8 场比赛中得分统计的茎叶图如下：（I）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（II）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过 15 分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的 2 场比赛中甲、乙两名队员得分均超过 15 分次数 X 的分布列和均值7(中原六校联谊 2012 年高三第一次联考理)（本小题满分 12 分）某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的
28、笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示。三提升自我1.（2012 年高三教学测试（二）理)甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏开始时每人拥有 3 张卡片，每一次“出手”（双方同时）：若分出胜负，则负者给对方一张卡片；若不分胜负，则不动卡片规定：当一人拥有 6 张卡片或“出手”次数达到 6 次时游戏结束设游戏结束时“出手”次数为，则=EEEE2.（台州 2012 高三调研试卷理）高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网3.(北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习（二）理)（本小题共 13 分）某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时 2 元（不足
29、1 小时的部分按 1 小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为2141，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为4121，；两人租车时间都不会超过三小时.（）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求 的分布列与数学期望 E.5(2012洛阳示范高中联考高三理)（本小题满分12分）某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门
30、科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：根据上表：高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量 的分布列和数学期望。7（长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学 2020202012121212 届第三次模拟理）理）理）理）(本小题12 分)“剪刀、石头、布”游戏的规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”“石头”胜“
31、剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，如果所出的拳相同，则为和局现甲乙二人通过“剪刀、石头、布”游戏进行比赛()设甲乙二人每局都随机出“剪刀”、“石头”、“布”中的某一个，求甲胜乙的概率；（）据专家分析，乙有以下的出拳习惯：第一局不出“剪刀”；连续两局的出拳方法一定不一样，即如果本局出“剪刀”，则下局将不再出“剪刀”，而是选“石头”、“布”中的某一个假设专家的分析是正确的，甲根据专家的分析出拳，保证每一局都不输给乙在最多局的比赛中，谁胜的局数多，谁获胜游戏结束的条件是：一方胜局或赛满局，用表示游戏结束时的游戏局数，求的分布列和期望高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网【原创预测】1.如图是湖北省教育厅实施“课内比教学，课外访万家”活动中，七位评委为某位参加教学比武的数学教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为_;方差为_
