1、第1讲合情推理与演绎推理最新考纲1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知 识 梳 理1.合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎
2、推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.()解析(1)类比推理的结论不一定正确.(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较
3、为合适.(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.答案(1)(2)(3)(4)2.数列2，5，11，20，x，47，中的x等于()A.28 B.32 C.33 D.27解析523，1156，20119，推出x2012，所以x32.答案B3.正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A.结论正确 B.大前提不正确C.小前提不正确 D.全不正确解析f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提不正确.答案C4.(2015陕西卷)观察下列等式111据此规律，第n个等式可为_.解析第n个等式左边共有2n项且等
4、式左边分母分别为1，2，2n，分子为1，正负交替出现，即为1；等式右边共有n项且分母分别为n1，n2，2n，分子为1，即为.所以第n个等式可为1.答案15.(选修22P84A5改编)在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则b1b2b3bn_.答案b1b2b3b17n(n17，nN*)考点一归纳推理【例1】 (1)(2016山东卷)观察下列等式：12；23；34；45；照此规律，_.(2)(2017潍坊模拟)观察下列式子：1，1，1，根据上述规律，第n个不等式应该为_.解析(1)观察前4个等式，由归纳推理可
5、知n(n1).(2)根据规律，知不等式的左边是n1个自然数的平方的倒数的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n个不等式应该为1.答案(1)(2)1b0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线1(a0，b0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是_.解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2的切线方程分别是1，1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，故有1，1，这说明P1(x1，y1)
6、，P2(x2，y2)在直线1上，故切点弦P1P2所在的直线方程是1.答案116.(2017郑州模拟)如图所示，一回形图，其回形通道的宽和OB1的长均为1，且各回形线之间或相互平行、或相互垂直.设回形线与射线OA交于A1，A2，A3，从点O到点A1的回形线为第1圈(长为7)，从点A1到点A2的回形线为第2圈，从点A2到点A3的回形线为第3圈，依此类推，第8圈的长为_.解析第1圈的长为2(12)17，第2圈的长为2(34)115，第3圈的长为2(56)123，则第n圈的长为2(2n1)2n18n1，当n8时，第8圈的长度为88163.答案63第2讲直接证明与间接证明最新考纲1.了解直接证明的两种基
7、本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点.知 识 梳 理1.直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示文字语言因为所以或由得要证只需证即证2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件
8、下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(2)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.()(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.()解析(1)分析法是从要证明的结论出发，
9、逐步寻找使结论成立的充分条件.(2)应假设“ab”.(3)反证法只否定结论.答案(1)(2)(3)(4)2.要证a2b21a2b20，只要证明()A.2ab1a2b20B.a2b210C.1a2b20D.(a21)(b21)0解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.答案D3.若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()A.ac2abb2C.解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.答案B4.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3axb0没有实根B.方程x3
10、axb0至多有一个实根C.方程x3axb0至多有两个实根D.方程x3axb0恰好有两个实根解析因为“方程x3axb0至少有一个实根”等价于“方程x3axb0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3axb0没有实根”.答案A5.在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_.解析由题意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC为等边三角形.答案等边三角形考点一综合法的应用【例1】 (2017东北三省三校模
11、拟)已知a，b，c0，abc1.求证：(1)；(2).证明(1)()2(abc)222(abc)(ab)(bc)(ca)3，.(2)a0，3a10，(3a1)24，33a，同理得33b，33c，以上三式相加得493(abc)6，.规律方法用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性、求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱.【训练1】 已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SBSD，SA1.(1)求证：S
12、A平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由.(1)证明由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，SA平面ABCD.(2)解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD.BCAD，BC平面SAD，BC平面SAD.而BCBFB，平面FBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，假设不成立.不存在这样的点F，使得BF平面SAD.考点二分析法的应用【例2】 已知a0，证明：a2.证明要证a2，只需证(2).因为a0，所以(2)0，所以只需证，即2(2)84，只需证a2.因为a
13、0，a2显然成立，所以要证的不等式成立.规律方法(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.【训练2】 ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明要证，即证3也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22acos 60，即b2c
14、2a2ac，故c2a2acb2成立.于是原等式成立.考点三反证法的应用【例3】 等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(1)解由已知得解得d2，故an2n1，Snn(n).(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r).(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，pr，(pr)20.pr，与pr矛盾.数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.规律方法(1)当一个命题的
15、结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.(2)用反证法证明不等式要把握三点：必须否定结论；必须从否定结论进行推理；推导出的矛盾必须是明显的.【训练3】 (2017济南质检)若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a2)，使函数h(x)是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在.求出a，b的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题设得g(x)(x1)21，其图象的对称轴为x1，区间1，b在对称轴的右边，所以函数在区间1，b上单调递增.由“四维光军”函数的定
16、义可知，g(1)1，g(b)b，即b2bb，解得b1或b3.因为b1，所以b3.(2)假设函数h(x)在区间a，b(a2)上是“四维光军”函数，因为h(x)在区间(2，)上单调递减，所以有即解得ab，这与已知矛盾.故不存在.思想方法分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.易错防范1.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论.2.在使
17、用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.若a，bR，则下面四个式子中恒成立的是()A.lg(1a2)0 B.a2b22(ab1)C.a23ab2b2 D.1，a，b，则以下结论正确的是()A.ab B.a0(m1)，即ab.答案B4.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证a”索的因应是()A.ab0 B.ac0C.(ab)(ac)0 D.(ab)(ac)0解析由题意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20
18、(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案C5.已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|40，2.答案27.用反证法证明命题“a，bR，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_.答案都不能被5整除8.下列条件：ab0，ab0，b0，a0，b0成立，即a，b不为0且同号即可，故能使2成立.答案三、解答题9.若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明a，b，c(0，)，0，0，0.又上述三个不等式中等号不能同时成立.abc成立.上式两边同时取常用对数，得lglg abc，lglglglg
19、 alg blg c.10.设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列.(2)解当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾.综上，当q1时，数列Sn是等差数列；当q1时，数列Sn不是等差数列.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知函数f
20、(x)，a，b是正实数，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为()A.ABC B.ACBC.BCA D.CBA解析，又f(x)在R上是减函数，ff()f.答案A12.设a，b，c均为正实数，则三个数a，b，c()A.都大于2 B.都小于2C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2解析a0，b0，c0，6，当且仅当abc1时，“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案D13.如果abab，则a，b应满足的条件是_.解析ab(ab)(ab)(ba)()(ab)()2().当a0，b0且ab时，()2()0.abab成立的条件是a0，b0且ab.答案a0，b0且ab14.(
21、2015安徽卷)设nN*，xn是曲线yx2n21在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列xn的通项公式；(2)记Tnxxx，证明：Tn.(1)解y(x2n21)(2n2)x2n1，曲线yx2n21在点(1，2)处的切线斜率为2n2，从而切线方程为y2(2n2)(x1).令y0，解得切线与x轴的交点的横坐标xn1，所以数列xn的通项公式xn.(2)证明由题设和(1)中的计算结果知，Tnxxx.当n1时，T1.当n2时，因为x，所以Tn.综上可得，对任意的nN*，均有Tn.第3讲数学归纳法及其应用最新考纲1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知 识 梳
22、理1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.2.数学归纳法的框图表示诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式
23、，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.()解析对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由nk到nk1，有可能增加不止一项.答案(1)(2)(3)(4)2.(选修22P99B1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()A.1 B.2 C.3 D.4解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n3.答案C3.已知f(n)，则()A.f(n)中共有n项，当n2时，f(2)B.f(n)中共有n1项，当n2时，f(2)C.f(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)D.f(n)中共有n2n1项，当n2
24、时，f(2)解析f(n)共有n2n1项，当n2时，故f(2).答案D4.用数学归纳法证明11)，第一步要证的不等式是_.解析当n2时，式子为12.答案10，且b1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*).证明：对任意的nN*，不等式成立.(1)解由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0，且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)证明由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所证不等式为.当n1时，左式，右式，左式右式，所以结论成
25、立.假设nk时结论成立，即，则当nk1时，要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由基本不等式可得成立，故成立，所以当nk1时，结论成立.根据可知，nN*时，不等式成立.规律方法应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.【训练2】 求证：ln(n1)，nN*.证明当n1时，ln 2，结论成立.假设当nk(k1，kN*)时结论成立，即ln(k1).那么，当n
26、k1时，ln(k1).下面证明ln(k1)0)，则f(x)0，f(x)在(0，)上递增，f(x)f(0)0，0，f0，即ln0，即ln0，ln(k2)ln(k1)0，即ln(k1)ln(k2).当nk1时，不等式也成立.根据可知，0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明(1)中的猜想.(1)解当n1时，由已知得a11，即a2a120.a11(a10).当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(a20).同理可得a3.猜想an(nN*).(2)证明由(1)知，当n1，2，3时，通项公式成立.假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即a
27、k.由于ak1Sk1Sk，将ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1时通项公式成立.根据可知，对所有nN*，an成立.规律方法(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性.(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.【训练3】 设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)ag(x)恒成
28、立，求实数a的取值范围.解由题设得，g(x)(x0).(1)由已知，g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可猜想gn(x).下面用数学归纳法证明.当n1时，g1(x)，结论成立.假设nk时结论成立，即gk(x).那么，当nk1时，gk1(x)g(gk(x)，即结论成立.根据可知，结论对nN*成立.(2)已知f(x)ag(x)恒成立，即ln(1x)恒成立.设(x)ln(1x)(x0)，则(x)，当a1时，(x)0(仅当x0，a1时等号成立)，(x)在0，)上单调递增.又(0)0，(x)0在0，)上恒成立，a1时，ln(1x)恒成立(仅当x0时等号成立).当a1时，对x(0，a1有(x
29、)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x0，使(x)(n2，nN*)”的过程中，由“nk”变到“nk1”时，左边增加了()A.1项 B.k项 C.2k1项 D.2k项解析左边增加的项为共2k项，故选D.答案D4.对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立.(2)假设当nk(kN*)时，不等式k1成立，当nk1时，(k1)1.当nk1时，不等式成立，则上述证法()A.过程全部正确B.n1验得不正确C.归纳假设不正确D.从nk到nk1的推理不正确解析在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法.答案D5.用数学归纳法证明123n
30、2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()A.k21B.(k1)2C.D.(k21)(k22)(k1)2解析当nk时，左端123k2.当nk1时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，故当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k1)2.故选D.答案D二、填空题6.设Sn1，则Sn1Sn_.解析Sn11，Sn1.Sn1Sn.答案7.数列an中，已知a12，an1(nN*)，依次计算出a2，a3，a4，猜想an_.解析a12，a2，a3，a4.由此，猜想an是以分子为2，分母是以首项为1，公差为6的等差数列.an.答案8.凸n多边形有f(n)条对角线.则凸(n1)边形的
31、对角线的条数f(n1)与f(n)的递推关系式为_.解析f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1.答案f(n1)f(n)n1三、解答题9.用数学归纳法证明：12(nN*，n2).证明(1)当n2时，12，命题成立.(2)假设nk时命题成立，即12.当nk1时，12222，命题成立.由(1)(2)知原不等式在nN*，n2时均成立.10.数列an满足Sn2nan(nN*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想.(1)解当n1时，a1S12a1，a11；当n2时，a1a2S222a2，a2；当n3时，a1a2a3S323a3，a3；当n4时，a1a2a3a
32、4S424a4，a4.由此猜想an(nN*).(2)证明当n1时，a11，结论成立.假设nk(k1且kN*)时，结论成立，即ak，那么nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.ak1.所以当nk1时，结论成立.由知猜想an(nN*)成立.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017昆明诊断)设n为正整数，f(n)1，经计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述结果，可推测出一般结论()A.f(2n) B.f(n2)C.f(2n) D.以上都不对解析因为f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以当n1时，有f(2
33、n).答案C12.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命题总成立的是()A.若f(1)1成立，则f(10)100成立B.若f(2)4成立，则f(1)1成立C.若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立D.若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析选项A，B的答案与题设中不等号方向不同，故A，B错；选项C中，应该是k3时，均有f(k)k2成立；对于选项D，满足数学归纳法原理，该命题成立.答案D13.设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)_，f(n)_.(n1，nN
34、*)解析易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n1)f(n)2n(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，而f(1)2，从而f(n)n2n2.答案4n2n214.数列xn满足x10，xn1xxnc(nN*).(1)证明：xn是递减数列的充要条件是c0；(2)若0c，证明数列xn是递增数列.证明(1)充分性：若c0，由于xn1xxncxncxn，数列xn是递减数列.必要性：若xn是递减数列，则x2x
35、1，且x10.又x2xx1cc，c0.故xn是递减数列的充要条件是c0.(2)若0c，要证xn是递增数列.即xn1xnxc0，即证xn对任意n1成立.下面用数学归纳法证明：当0c时，xn对任意n1成立.当n1时，x10，结论成立.假设当nk(k1，kN*)时结论成立，即xk.因为函数f(x)x2xc在区间内单调递增，所以xk1f(xk)f()，当nk1时，xk1成立.由，知，xn对任意n1，nN*成立.因此，xn1xnxcxn，即xn是递增数列.第4讲算法与程序框图最新考纲1.了解算法的含义，了解算法的思想；2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环；3.了解几种基本算法语句输入语句
36、、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义；4.了解流程图、结构图及其在实际中的应用.知 识 梳 理1.算法(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.2.程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.3.三种基本逻辑结构 名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个按先后顺序执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体程序框图4.基本
37、算法语句(1)输入、输出、赋值语句的格式与功能语句一般格式功能输入语句INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句PRINT“提示内容”；表达式输出常量、变量的值和系统信息赋值语句变量表达式将表达式的值赋给变量(2)条件语句的格式IFTHEN格式 IFTHENELSE格式(3)循环语句的格式WHILE语句UNTIL语句5.流程图与结构图(1)由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图.(2)描述系统结构的图示称为结构图，一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)程序框图中的图形符号可以由个人来确
38、定.()(2)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构.()(3)“当型”循环与“直到型”循环退出循环的条件不同.()(4)在算法语句中，XX1是错误的.()答案(1)(2)(3)(4)2.(教材改编)执行如图所示的程序框图，输出S的值为()A. B. C. D.解析按照程序框图依次循环运算，当k5时，停止循环，当k5时，Ssin .答案D3.(2016全国卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x2，n2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s()A.7 B.12 C.17 D.34解析由框图可知，输入x2，n2，a2，s
39、2，k1，不满足条件；a2，s426，k2，不满足条件；a5，s12517，k3，满足条件输出s17，故选C.答案C4.根据给出的程序框图，计算f(1)f(2)_.解析由程序框图，f(1)4，f(2)224.f(1)f(2)440.答案05.(2016北京卷改编)执行如图所示的程序框图，输出的s值为_.解析k0，s0，满足k2；s0，k1，满足k2；s1，k2，满足k2；s1239，k3，不满足k2，输出s9.答案9考点一算法的基本结构【例1】 (1)(2017厦门质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入x的值为1，则输出y的值为()A.2 B.7 C.8 D.128(2)(201
40、7北京海淀区模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为()A.1 B.2 C.3 D.4解析(1)由程序框图知，y输入x的值为1，比2小，执行的程序要实现的功能为918，故输出y的值为8.(2)初始值k0，a1，b1.第一次循环，a，k1；第二次循环，a2，k2；第三次循环，a1，此时ab1，输出k2.答案(1)C(2)B规律方法(1)高考对算法初步的考查主要是对程序框图含义的理解与运用，重点应放在读懂框图上，尤其是条件结构、循环结构.特别要注意条件结构的条件，对于循环结构要搞清进入或退出循环的条件、循环的次数，是解题的关键.(2)解决程序框图问题要注意几个常用变量：计数变
41、量：用来记录某个事件发生的次数，如ii1.累加变量：用来计算数据之和，如SSi.累乘变量：用来计算数据之积，如ppi.【训练1】 (1)(2017西安调研)根据下面框图，当输入x为2 017时，输出的y()A.2 B.4 C.10 D.28(2)(2016山东卷)执行下面的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为_.解析(1)因为x所有的值构成首项为2 017，公差为2的等差数列.由程序框图知，当x1时，输出y值.输出的y314.(2)第一次循环：S1，13不成立，i2；第二次循环：S1，23不成立，i3；第三次循环：S11，33成立，输出S1.答案(1)B(2)1考点二程序框图的识别与完
42、善(多维探究)命题角度一由程序框图求输出结果【例21】 (2016全国卷)执行右边的程序框图，如果输入的x0，y1，n1，则输出x，y的值满足()A.y2xB.y3xC.y4xD.y5x解析输入x0，y1，n1，运行第一次，x0，y1，不满足x2y236；运行第二次，x，y2，不满足x2y236；运行第三次，x，y6，满足x2y236，输出x，y6.由于点在直线y4x上，则x，y的值满足y4x.答案C命题角度二完善程序框图【例22】 执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()A.s？ B.s？C.s？ D.s？解析执行第1次循环，则k2，s，满足条件.执行第2次循环
43、，则k4，s，满足条件.执行第3次循环，则k6，s，满足条件.执行第4次循环，k8，s，不满足条件，输出k8.因此条件判断框应填“s？”.答案C规律方法(1)第1题的关键在于理解程序框图的功能；第2题要明确何时进入或退出循环体，以及累加变量的变化.(2)解答此类题目：要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；理解程序框图的功能；要按框图中的条件运行程序，按照题目的要求完成解答.【训练2】 (1)(2017佛山质检)执行如图所示的程序框图，输出的S值为4时，则输入的S0的值为()A.7 B.8C.9 D.10(2)(2016兰州诊断)如图，程序输出的结果S132，则判断框中应填()A.i10
44、? B.i11?C.i11? D.i12?解析(1)根据程序框图知，当i4时，输出S.第一次循环得到SS02，i2；第2次循环得到SS024，i3；第3次循环得到SS0248，i4.依题意，得S02484，则S010.(2)由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个连续整数的乘积，由于1211132，故此循环体需要执行两次，每次执行后i的值依次为11，10，由于i的值为10时，就应该结束循环，再考察四个选项，B符合题意.答案(1)D(2)B考点三基本算法语句【例3】 (2017宜春模拟)如下是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列(nN*)的项，则所得y值的最小值为()INPU
45、TxIFx16PRINTkEND解析第一次循环，x7，k1；第二次循环，x15，k2；第三次循环，x31，k3；终止循环，输出k的值是3.答案3思想方法1.每个算法结构都含有顺序结构，循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体，循环结构和条件结构都含有顺序结构.2.利用循环结构表示算法，要明确是利用当型循环结构，还是直到型循环结构.要注意：(1)选择好累计变量；(2)弄清在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体.易错防范1.赋值号左边只能是变量(不是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值.2.注意条件结构与循环结构的联系：循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性.3
46、.直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”，当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.执行如图所示的程序框图，若输入的实数x4，则输出结果为()A.4 B.3 C.2 D.解析依题意，输出的ylog242.答案C2.(2017贵阳质检)根据如图所示程序框图，当输入x为6时，输出的y()A.1 B.2 C.5 D.10解析当x6时，x633，此时x30；当x3时，x330，此时x00；当x0时，x033，此时x30，则y(3)2110.答案D3.一个算法的程序框图如
47、图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是()A.i4? C.i5?解析i1进入循环，i2，T1，P5；再循环，i3，T2，P1；再循环，i4，T3，P；再循环，i5，T4，P，此时应满足判断条件，所以判断框内应填入的条件是i4？.答案B4.(2016四川卷)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为()A.9 B.18 C.20 D.35解析由程序框图知，初始值：n3，x2，v1，i2，第
48、一次循环：v4，i1；第二次循环：v9，i0；第三次循环：v18，i1.i13，输出S4.答案B8.(2015全国卷)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a等于()A.0 B.2 C.4 D.14解析执行程序框图：当a14，b18时，ab，则b18144；当a14，b4时，ab，则a14410；当a10，b4时，ab，则a1046；当a6，b4时，ab，则a642；当a2，b4时，ab，则b422，此时ab2，输出a为2.故选B.答案B二、填空题9.(2017济南模拟)执行下面的程序框图，若输入的x的值为
49、1，则输出的y的值是_.解析当x1时，12，则x112；当x2时，不满足x2，则y322113.答案1310.(2017安徽江南名校联考)某程序框图如图所示，判断框内为“kn？”，n为正整数，若输出的S26，则判断框内的n_.解析依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k112，S2124；进行第二次循环时，k213，S24311；进行第三次循环时，k314，S211426.因此当输出的S26时，判断框内的条件n4.答案411.如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为_.解析由x24x30，解得1x3.当x1时，满足1x3，所以x112，n011；当x2时，满足1x3，所
50、以x213，n112；当x3时，满足1x3，所以x314，n213；当x4时，不满足1x3，所以输出n3.答案312.(2017唐山模拟)执行如图所示的程序框图，如果输入的t50，则输出的n_.解析第一次运行后S2，a3，n1；第二次运行后S5，a5，n2；第三次运行后S10，a9，n3；第四次运行后S19，a17，n4；第五次运行后S36，a33，n5；第六次运行后S69，a65，n6；此时不满足S16，则输出n的值为4.答案B14.(2017长沙雅礼中学调研)执行如图所示的程序框图，如果输入n3，则输出的S()A. B. C. D.解析第一次循环：S，i2；第二次循环：S，i3；第三次循环
51、：S，i4，满足循环条件，结束循环.故输出S(1).答案B第14题图第15题图15.(2017西安模拟)执行如图所示的程序框图，如果输出S3，那么判断框内应填入的条件是_.解析首次进入循环体，S1log23，k3；第二次进入循环体，S2，k4；依次循环，第六次进入循环体，S3，k8，此时结束循环，则判断框内填k7？.答案k7?16.关于函数f(x)的程序框图如图所示，现输入区间a，b，则输出的区间是_.解析由程序框图的第一个判断条件为f(x)0，当f(x)cos x，x1，1时满足.然后进入第二个判断框，需要解不等式f(x)sin x0，即0x1.故输出区间为0，1.答案0，1第5讲数系的扩充
52、与复数的引入最新考纲1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知 识 梳 理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如abi(aR，bR)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b0，则abi为实数；若a0且b0，则abi为纯虚数复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内
53、的点都表示虚数复数的模设对应的复数为zabi，则向量的长度叫做复数zabi的模|z|abi|2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR).(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3.复数的运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：(cdi0).诊 断 自 测1.判断
54、正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(3)原点是实轴与虚轴的交点.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()解析(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.答案(1)(2)(3)(4)2.(2016全国卷)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|()A.1 B.C. D.2解析由(1i)x1yi，得xxi1yi(x，yR)，xy1，所以|xyi|1i|.答案B3.(选修22P106A5改编)在复平面内，复数65i，23i对应的
55、点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.48i B.82iC.24i D.4i解析A(6，5)，B(2，3)，线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z24i.答案C4.(2015全国卷)若a为实数，且3i，则a等于()A.4 B.3C.3 D.4解析由3i，得2ai(3i)(1i)24i，即ai4i，因为a为实数，所以a4.故选D.答案D5.已知(12i)43i，则z_.解析2i，z2i.答案2i考点一复数的有关概念【例1】 (1)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.i B.i C.1 D.1(2)(2017武邑中学期末)设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实
56、数a()A.2 B. C. D.2解析(1)因为i607(i2)303ii，i的共轭复数为i.所以应选A.(2)是纯虚数，2a10且a20，a，故选B.答案(1)A(2)B规律方法(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部.【训练1】 (1)(2017河南六市联考)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于()A.6 B. C. D.2(2)设复数abi(a，bR)的模为，则(abi)(ab
57、i)_.解析(1)由，则22bb4，得b.(2)因为复数abi(a，bR)的模为，即，所以(abi)(abi)a2b2i2a2b23.答案(1)C(2)3考点二复数的几何意义【例2】 (1)(2014全国卷)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2()A.5 B.5 C.4i D.4i(2)(2016全国卷)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A.(3，1) B.(1，3)C.(1，) D.(，3)解析(1)由题意得z22i，z1z2(2i)(2i)5，故选A.(2)由复数z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限得解
58、得3m1，故选A.答案(1)A(2)A规律方法因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.【训练2】 (1)(2016邯郸一中月考)复数zi(1i)在复平面内所对应点的坐标为()A.(1，1) B.(1，1)C.(1，1) D.(1，1)(2)(2016北京卷)设aR，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则a_.解析(1)因为zi(1i)1i，故复数zi(1i)在复平面内所对应点的坐标为(1，1)，故选D.(2)(1i)(ai)(a1)(a1)i，由已知得a10，解得a1.答案(1)
59、D(2)1考点三复数的运算【例3】 (1)(2016全国卷)若z12i，则()A.1 B.1 C.i D.i(2)(2015全国卷)若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a()A.1 B.0 C.1 D.2解析(1)i.(2)因为a为实数，且(2ai)(a2i)4a(a24)i4i，得4a0且a244，解得a0，故选B.答案(1)C(2)B规律方法(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.(2)记住以下结论，可提高运算速度：(1i)22i；i；i；bai；i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN).【训
60、练3】 (1)(2016北京卷)复数()A.i B.1i C.i D.1i(2)_.解析(1)i，故选A.(2)原式i61i.答案(1)A(2)1i思想方法1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.易错防范1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比较大小.3.注意
61、复数的虚部是指在abi(a，bR)中的实数b，即虚部是一个实数.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.(2015福建卷)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A.3，2 B.3，2C.3，3 D.1，4解析(1i)(23i)32iabi，a3，b2，故选A.答案A2.(2016四川卷)设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为()A.15x4 B.15x4C.20ix4 D.20ix4解析展开式中含x4的项为第三项，T3Cx4i215x4.答案A3.(2016山东卷)若复数z，其中i为虚数单位，则()A.1i B.1i C.1i D.1
62、i解析z1i，1i，故选B.答案B4.(2015安徽卷)设i为虚数单位，则复数(1i)(12i)()A.33i B.13i C.3i D.1i解析(1i)(12i)12ii2i23i.答案C5.(2016全国卷)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a()A.3 B.2 C.2 D.3解析因为(12i)(ai)a2(2a1)i，所以a22a1，解得a3，故选A.答案A6.复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析复数i，其对应的点为，在第四象限，故选D.答案D7.(2017北京东城综合测试)若复数(m2m)mi为纯虚数，则实数m的值为()A.1
63、 B.0 C.1 D.2解析因为复数(m2m)mi为纯虚数，所以解得m1，故选C.答案C8.已知复数z(i为虚数单位)，则z的虚部为()A.1 B.0C.1 D.i解析zi，故虚部为1.答案C9.设z是复数，则下列命题中的假命题是()A.若z20，则z是实数 B.若z20，则z是虚数C.若z是虚数，则z20 D.若z是纯虚数，则z20解析举反例说明，若zi，则z210，故选C.答案C10.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A.若|z1z2|0，则12B.若z12，则1z2C.若|z1|z2|，则z11z22D.若|z1|z2|，则zz解析A中，|z1z2|0，则z1z2，故12，成
64、立.B中，z12，则12成立.C中，|z1|z2|，则|z1|2|z2|2，即z11z22，C正确.D不一定成立，如z11i，z22，则|z1|2|z2|，但z22i，z4，zz.答案D11.(2015全国卷)若a为实数，且3i，则a等于()A.4 B.3 C.3 D.4解析由3i，得2ai(3i)(1i)24i，即ai4i，因为a为实数，所以a4.故选D.答案D12.(2017河北省三市联考)若复数za在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是()A.4 B.3 C.1 D.2解析因为za(3a)ai在复平面上对应的点在第二象限，所以a3，选A.答案A二、填空题13.(2016江苏卷)复数
65、z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_.解析(12i)(3i)35i2i255i，所以z的实部为5.答案514.(2015四川卷)设i是虚数单位，则复数i_.解析ii2i.答案2i15.(2016天津卷)已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_.解析由(1i)(1bi)a，得1bi(1b)a，则解得所以2.答案216.若abi(a，b为实数，i为虚数单位)，则ab_.解析(3b)(3b)ii.解得ab3.答案3能力提升题组(建议用时：25分钟)17.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()A.E B.FC.G D.H解析由题图知复数
66、z3i，2i.表示复数的点为H.答案D18. 是z的共轭复数，若z2，(z)i2(i为虚数单位)，则z等于()A.1i B.1iC.1i D.1i解析法一设zabi，a，b为实数，则abi.z2a2，a1.又(z)i2bi22b2，b1.故z1i.法二(z)i2，z2i.又z2，(z)(z)2i2，2z2i2，z1i.答案D19.(2014全国卷)设zi，则|z|()A. B.C. D.2解析ziiii，|z|，故选B.答案B20.(2017湖南师大附中月考)已知复数z(cos isin )(1i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是()A. B.C. D.解析因为z(cos sin )(
67、cos sin )i，所以当时，zi为纯虚数，当z为纯虚数时，k.故选C.答案C21.(2017哈尔滨六中期中)若复数z满足iz(1i)，则z的共轭复数的虚部是()A.i B.i C. D.解析iz(1i)z(1i)，则z的共轭复数z(1i)，其虚部是.答案C22.(2017山西高三四校联考)i是虚数单位，若abi(a，bR)，则lg(ab)的值是()A.2 B.1 C.0 D.解析iabi，lg(ab)lg 10.答案C23.下面是关于复数z的四个命题：p1：|z|2; p2：z22i；p3：z的共轭复数为1i; p4：z的虚部为1.其中的真命题为()A.p2，p3 B.p1，p2C.p2，
68、p4 D.p3，p4解析z1i，|z|，p1是假命题；z2(1i)22i，p2是真命题；1i，p3是假命题；z的虚部为1，p4是真命题.其中的真命题共有2个：p2，p4.答案C24.(2017广州综合测试)若1i(i是虚数单位)是关于x的方程x22pxq0(p，qR)的一个解，则pq()A.3 B.1 C.1 D.3解析依题意得(1i)22p(1i)q(2pq)2(p1)i0，即解得p1，q2，所以pq1，故选C.答案C25.复数(3i)m(2i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是_.解析z(3m2)(m1)i，其对应点(3m2，m1)在第三象限内，故3m20且m10，m.答案26.设f(n)(nN*)，则集合f(n)中元素的个数为_.解析f(n)in(i)n，f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0，集合中共有3个元素.答案327.已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_.解析|z2|，(x2)2y23.由图可知.答案28.定义运算)adbc.若复数x，y)，则y_.解析因为xi.答案2
