1、8.1.3向量数量积的坐标运算课后篇巩固提升基础达标练1.(多选)设向量a=(1,0),b=12,12,则下列结论中不正确的是()A.|a|=|b|B.ab=22C.abD.a-b与b垂直解析因为|a|=1,|b|=22,所以|a|b|.又ab=112+012=1222;易知a与b不共线,所以A,B,C均不正确.因为a-b=12,-12,且(a-b)b=1212+12-12=0,所以(a-b)b.答案ABC2.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=5,若(a+b)c=52,则=()A.30B.60C.120D.150解析设c=(x,y),则由(a+b)c=52,得x+2y=-52
2、.又cos=ac|a|c|=x+2y55=-12,因为0180,则=120.答案C3.已知向量a,b的夹角为2,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=()A.23B.3C.21D.41解析|a|=22+(-1)2=5,ab=|a|b|cos2=0,|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4ab+4b2=(5)2+422=21,|a+2b|=21.答案C4.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)c,则实数k等于()A.-92B.0C.3D.152解析因为a=(k,3),b=(1,4),所以2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6).因为(
3、2a-3b)c,所以(2a-3b)c=(2k-3,-6)(2,1)=2(2k-3)-6=0,解得k=3.答案C5.已知向量a=(1,0),b=(x,1),若ab=2,则x=;|a+b|=.解析ab=2,x=2.a+b=(3,1),|a+b|=10.答案2106.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量a+b与a-2b垂直,则实数的值为.解析由题得a+b=(-3,2)+(-1,0)=(-3-1,2),a-2b=(-1,2),则(a+b)(a-2b)=3+1+4=7+1=0,=-17.答案-177.已知向量a,b同向,b=(1,2),ab=20.(1)求向量a的坐标;(2)若c=(2,1),求
4、(bc)a.解(1)因为向量a,b同向,又b=(1,2),所以设a=b=(1,2)=(,2),0.由ab=20,得1+22=20,所以=4,所以a=(4,8).(2)因为bc=(1,2)(2,1)=12+21=4,所以(bc)a=4(4,8)=(16,32).8.已知平面向量a=(2,2),b=(x,-1),(1)若ab,求x;(2)若a(a-2b),求a与b所成夹角的余弦值.解(1)ab,x1y2-x2y1=0,即-2-2x=0,可得x=-1.(2)依题意得a-2b=(2-2x,4),a(a-2b),a(a-2b)=0,即4-4x+8=0,解得x=3,b=(3,-1).设向量a与b的夹角为,
5、则cos=ab|a|b|=55.能力提升练1.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析AB=(1,1),AC=(-3,3),ABAC=1(-3)+13=0.ABAC,A=90,故选A.答案A2.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上有一点P,使APBP有最小值,则点P的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)解析设点P的坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1).APBP=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2
6、+1.当x=3时,APBP有最小值1,此时点P的坐标为(3,0).故选C.答案C3.已知向量a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若ab,(a+b)(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量MN的模为.解析ab,2(-2)-(-1)x=0,解得x=4,b=(4,-2),a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y).(a+b)(b-c),(a+b)(b-c)=0,即6-3(-2-y)=0,解得y=-4,MN=(y-x,x-y)=(-8,8),|MN|=82.答案824.已知向量m=(+2,1),n=(+1,2),若(m+n)(m-n),则向量m,n的夹角的余弦值为,m+n在n
7、方向上的投影的数量为.解析由题意知向量m+n=(2+3,3),m-n=(1,-1),(m+n)(m-n),(m+n)(m-n)=(2+3)1+(-1)3=2=0,即=0.则m=(2,1),n=(1,2),cos=45.m+n=(3,3).m+n在n方向上的投影的数量为|m+n|cos=(m+n)n|n|=955.答案459555.在ABC中,已知AB=(1,2),AC=(4,m),m0.(1)若ABC=90,求m的值;(2)若|BC|=32,且BD=2DC,求cosADC的值.解(1)若ABC=90,则ABBC=0,因为BC=AC-AB=(3,m-2),所以ABBC=3+2m-4=0,所以m=
8、12.(2)因为|BC|=32,所以9+(m-2)2=32,因为m0,所以m=5,所以BC=(3,3),因为BD=2DC,所以DC=13BC=(1,1),BD=23BC=(2,2),而AD=AB+BD=(3,4),所以DA=(-3,-4),所以cosADC=DADC|DA|DC|=-31-4152=-7210.素养培优练1.已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),且|ka+b|=3|a-kb|(k0).(1)用k表示数量积ab;(2)求ab的最小值,并求此时a,b的夹角.解(1)由|ka+b|=3|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2,所以k2a2+2kab+
9、b2=3a2-6kab+3k2b2.所以(k2-3)a2+8kab+(1-3k2)b2=0.因为|a|=1,|b|=1,所以k2-3+8kab+1-3k2=0,所以ab=2k2+28k=k2+14k.(2)由(1)得ab=k2+14k=14k+1k,由函数的单调性的定义,易知f(k)=14k+1k在(0,1上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以当k=1时,ab的最小值为f(1)=14(1+1)=12.此时a,b的夹角为,则cos=ab|a|b|=121=12,又0180,所以=60.2.已知向量a=(1,3),b=(-2,0).(1)求a-b的坐标以及a-b与a的夹角;(2)当t-1,1时,求|a-tb|的取值范围.解(1)因为a-b=(1,3)-(-2,0)=(3,3),所以a-b的坐标为(3,3).设a-b与a之间的夹角为,则cos=(a-b)a|a-b|a|=31+339+31+3=32,而0,故=6.(2)因为a-tb=(1,3)-t(-2,0)=(1+2t,3),所以|a-tb|=(1+2t)2+3=4t+122+3,在-1,-12上单调递减,在-12,1上单调递增,所以t=-12时,|a-tb|的最小值为3,t=1时,|a-tb|的最大值为23,故|a-tb|的取值范围为3,23.
