1、第四节正弦定理、余弦定理及应用考试要求：1掌握正弦定理、余弦定理2能用正弦定理、余弦定理解三角形一、教材概念结论性质重现1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(2)sin A，sin B，sin C(3)abcsin Asin Bsin C(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C若已知
2、两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题2三角形解的个数A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解表中A为锐角时，absin A，无解；A为钝角或直角时，ab，aBabsin Asin Bcos Ac2”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件()(4)在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，则此三角形是钝角三角形()2(多选题)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c若cacos
3、 B(2ab)cos A，则下列结论可能正确的有()AA BBA CB DBCAB解析：在ABC中，由cacos B(2ab)cos A，则sin Csin Acos B(2sin Asin B) cos A即sin (AB)sin Acos B(2sin Asin B)cos Axcos Asin B2sin Acos Asin Bcos Asin Bcos Asin Acos Acos A(sin Bsin A)0，则cos A0或sin Bsin A，所以A或BA3在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B()A B C D1B解析：根据正弦定理，有，得sin B故选B4在ABC中
4、，A60，AC4，BC2，则ABC的面积为_2解析：因为，所以sin B1，所以B90，所以AB2，所以SABC2225已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，A45若三角形有两解，则边b的取值范围是_(2,2)解析：如图，ABC有两解的充要条件是bsin 452b，解得2b0，所以sin A1，所以A，故ABC为直角三角形判断三角形形状的方法(1)化边：根据正余弦定理将角转化为边，然后通过因式分解、配方等得出边的相应关系(2)化角：根据正、余弦定理将边转化为角，通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论 (多选题)(2021江苏南京学情调研)在ABC中，
5、角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下结论中正确的有()A若sin Asin B，则ABB若sin 2Asin 2B，则ABC一定为等腰三角形C若cos2Acos2Bcos2C1，则ABC为直角三角形D若ABC为锐角三角形，则sin Asin B，可推出ab，则AB，即A正确；对于B，取A15，B75，则sin 2Asin 2B，而ABC不是等腰三角形，即B错误；对于C，cos2Acos2Bcos2C(1sin2A)(1sin2B)(1sin2C)1，则sin2Asin2Bsin2C，由正弦定理可得a2b2c2，故ABC为直角三角形，即C正确；对于D，若ABC为锐角三角形，取A80，B40
6、，此时sin 80cos 40sin 50，即sin Acos B，故D错误故选AC考点3解三角形的综合问题综合性考向1三角形的边、角计算问题在bcos A2csin Cacos B，cos2cos C这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_(1)求角C；(2)若AB，AC，内角C的平分线CE交边AB于点E，求CE的长注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解：(1)若选条件：因为bcos A2csin Cacos B，由正弦定理可得(sin Bcos Asin Acos B)2sin2C，所以sin(AB)2sin
7、2C因为ABC，可得ABC，所以sin C2sin2C因为sin C0，所以sin C又因为ABC为锐角三角形，所以C若选条件：因为cos2cos C，所以(sin C)2cos C0，即1cos2Ccos C0，所以cos2Ccos C0，解得cos C因为ABC为锐角三角形，所以C(2)因为AB，AC，由正弦定理得sin B因为ABC为锐角三角形，所以B，则A因为CE是角C的平分线，所以ACE，故CEA，所以ACEA，则AEC为等腰三角形，所以ACCE，故CE的长为正、余弦定理的一般用法原则(1)“已知两角和一边”采用正弦定理(只有一解)(2)“已知两边和其中一边的对角”既可以采用正弦定理
8、，又可以采用余弦定理(3)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”采用余弦定理考向2与面积有关的问题ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinbsin A(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解：(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A因为sin A0，所以sinsin B由ABC180，可得sincos，故cos2sincos因为cos0，所以sin，所以B60(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa由正弦定理得a由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90由(1)知AC120，得30C90，所以a2，从而SAB
9、C因此，ABC面积的取值范围是三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化 (2021 福建南平二模) 在2ccos B2ab，ABC的面积为(a2b2c2)，cos2Acos2Csin2Bsin Asin B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且_(1)求角C的大小；(2)若c2且4sin Asin B3，求ABC的面积解：(1)若选条件2ccos B2ab，则2c2ab，即a2
10、b2c2ab，所以cos C又因为C(0，)，所以C若选条件ABC的面积为(a2b2c2)，则(a2b2c2)absin C，即sin Ccos C，所以tan C又因为C(0，)，所以C若选条件cos2Acos2Csin2Bsin Asin B，则(1sin2A)(1sin2C)sin2Bsin Asin B，即sin2Asin2Bsin2Csin Asin B，即a2b2c2ab，所以cos C又因为C(0，)，所以C(2)因为c2，所以，所以sin Aa，sin Bb又因为4sin Asin B3，所以ab4，ABC的面积为absin C已知ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2b22
11、c28，则ABC面积的最大值为()A B C D四字程序读想算思ABC面积的最大值1面积的表达式2以谁为变量用适当的变量表示S转化与化归a2b22c281Sah2Sabsin C3边作变量4角作变量5海伦公式S2a2b2(1cos2C)S1基本不等式2函数最值3三角函数的性质思路参考：余弦定理角化边二次函数的最值B解析：因为a2b22c28，即a2b282c2，所以S2a2b2sin2Ca2b2(1cos2C)a2b2a2b2c2，故当a2b2，c2时，S2有最大值，所以ABC面积的最大值为思路参考：设高转化，利用基本不等式B解析：如图，过点C作CDAB于点D设ADm，BDn，CDh因为a2b
12、22c28，所以m2n22h22c28因为m2n2，当且仅当mn时取等号故m2n22h22c22h22c22h22ch4S，所以S，当且仅当mn，ch时取等号所以ABC面积的最大值为思路参考：利用海伦公式S基本不等式B解析：p(abc)，则pa(bca)，pb(acb)，pc(abc)，所以S因为a2b22c28，所以S，4a2b2(a2b2)2(82c2)2，所以S当c2时，S2有最大值所以ABC面积的最大值为思路参考：建系设点B解析：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系不妨令x10，y20，设A(x1,0)，B(x1,0)，C(x2，y2)因为a2b22c
13、28，所以(x1x2)2y(x1x2)2y8x8，所以5xxy4因为Sx1y2，所以2S5xy4x4，所以S，当且仅当x20,5xy2时取等号所以ABC面积的最大值为1本题考查三角形的面积的最值问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助三角形的相关知识将目标函数转化为边之间的代数关系，借助三角函数的性质求最值对于此类多元最值问题要注意合理转化或消元2基于课程标准，解答本题一般需要具备良好的数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力3基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转
14、化为熟悉的数学模型本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了灵活性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a2b2c2bc，a3，则ABC的周长的最大值为_9解析：因为a2b2c2bc，所以bcb2c2a2，所以cos A因为A(0，)，所以A方法一：因为a3，所以由正弦定理得2，所以b2sin B，c2sin C，则abc32sin B2sin C32sin B2sin33sin B3cos B36sin因为B，所以当B时，周长取得最大值9方法二：因为a3，所以由余弦定理得9b2c2bc，所以(bc)23bc9，所以(bc)293bc3，所以(bc)236因为bc0，所以0bc6，当且仅当bc时取“”，所以abc9，所以ABC的周长最大值为9
