1、练案54第六讲双曲线A组基础巩固一、单选题1(2021河北保定模拟)若方程1表示双曲线，则m的取值范围是(A)Am6B2m6Cm2D6m2解析方程1表示双曲线，(m2)(6m)6或m0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1PF2P，若PF1F2的面积为4，则a(A)A1B2C4D8解析由题意，设PF2m，PF1n，可得mn2a，mn4，m2n24c2，可得4c2164a2，又e，解得a1，故选A.3(2018课标全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(D)AB2CD2解析e，且a0，b0，1，C的渐近线方程为yx，点(
2、4,0)到C的渐近线的距离为2.4(2021福建南平质检)已知F1，F2是双曲线1(a0)的左、右焦点，点P在双曲线上，若F1PF260，则F1PF2的面积为(C)A8B6C4D2解析在F1PF2中，由余弦定理得：|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，得4c2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 60，由|PF1|PF2|2a，得|PF1|PF2|4b216.F1PF2的面积为|PF1|PF2|sin 604.故选 C5(2021河南新乡模拟)若双曲线y2a2x21(a0)实轴的顶点到它的渐近线的距离为，则该双曲线的离心率
3、为(B)ABCD解析双曲线y2a2x21(a0)的一个顶点为(0,1)，一条渐近线为yax0，点(0,1)到直线yax0的距离为，所以a.所以双曲线的方程为y21，则c，故其离心率为.6(2020天津)设双曲线C的方程为1(a0，b0)，过抛物线y24x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(D)A1Bx21Cy21Dx2y21解析抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为yb(x1)，双曲线C的方程为1(a0，b0)的渐近线方程为yx，b，(b)1，a1，b1，双曲线C的方程为x2y21，故选D.7(2021广东调研)已
4、知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E，若EF3OE(O为坐标原点)，则双曲线的离心率为(C)AB2CD2解析由题知，EFb，又OFc，OEa，b3a，故双曲线的离心率为e.8(2021广东茂名综合测试)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，其一条渐近线被圆(xm)2y24(m0)截得的线段长为2，则实数m的值为(C)ABC2D1解析依题意2，双曲线渐近线方程为yx，不妨取渐近线l1：xy0，则圆心(m,0)(m0)到l1的距离d，由勾股定理得2222，解得m2.m0，m2.故选 C9(2021福建厦门质检)已知双曲线C经过点(，3)，其渐近线方程为
5、yx，则C的标准方程为(D)Ay21Bx21Cy21Dx21解析由题意知可设双曲线方程为x2，()21，故C的标准方程为x21.故选D.10(2021四川达州质检)F是双曲线C：1(a0，b0)的左焦点，M是双曲线右支上一点，直线MF切圆x2y2a2于点N，2，则C的离心率是(A)AB2CD解析2，N是FM的中点，F2是右焦点，则O是F1F2中点，ONF2M，N是切点，|ON|a，ONFM，|MF2|2a，MF2MF，又由|MF|MF2|2a得|MF|4a，(4a)2(2a)2(2c)2，e.故选A.二、多选题11(2021广东新课改大联考)已知双曲线C：x21，则(AC)AC的离心率为BC的
6、虚轴长是实轴长的6倍C双曲线x21与C的渐近线相同D直线y3x上存在一点在C上解析因为a21，b26，所以c2167，则e，所以A正确，B错误双曲线x21与C的渐近线均为yx，所以C正确因为C的渐近线的斜率小于3，所以直线y3x与C相离，所以D错误12(2021河北唐山摸底)已知双曲线C：x21(b0)的一条渐近线l：y2x，设F1，F2是C的左、右焦点，点P在l上，且|OF1|OP|，O为坐标原点，则(ABD)AC的虚轴长为4BF1PF290C|PF1|PF2|2DPF1F2的面积为6解析双曲线C的渐近线方程为ybx，b2，双曲线C：x21，a1，b2，显然A正确；又|OF1|OP|OF2|
7、，即O为PF1F2外接圆的圆心，F1PF290，B正确；因为满足条件|PF1|PF2|2的点P的轨迹为双曲线，不合题意，C错误；因为c2a2b29，所以F1(3,0)，|OP|OF1|3，设P(m,2m)，则m28m29，m1，所以P(1,2)或(1，2)，即SPF1F2626.D正确13双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论正确的是(BC)A该双曲线的离心率为B该双曲线的渐近线方程为yxC点P到两渐近线的距离的乘积为D若PF1PF2，则PF1F2的面积为32解析由双曲线方程知a29，b216，c5，离心率e，A错；渐近线方程为0，即yx，B正确；设点P坐标为(x，y)
8、，则16x29y2144，且点P到两渐近线距离的乘积为，C正确；，|PF1|PF2|32，SPF1F2|PF1|PF2|16，D错；故选BC三、填空题14(2020江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率是.解析双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，可得，所以a2，所以双曲线的离心率为：e.15(2020新课标)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为 2 .解析F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点(c,0)，A为C的右顶点(a,0)，B为C上的点，且BF垂
9、直于x轴所以B，若AB的斜率为3，可得：3，b2c2a2，代入上式化简可得c23ac2a2，e，可得e23e20，e1，解得e2.16(2021河南顶尖名校联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的左，右顶点为A1，A2，右焦点为F1，B为虚轴的上端点，在线段BF1上(不含端点)有且只有一点P满足0，则双曲线离心率为.解析由题意，F1(c,0)，B(0，b)，则直线BF1的方程为bxcybc0，在线段BF1上(不含端点)有且只有一点满足0，则POBF1，且POa.a，即a2.a2b2c2，c43a2c2a40，e43e210.解得e2，e.B组能力提升1(2021黑龙江哈尔滨香坊区一模)已知双曲线
10、C：1(a0，b0)的右焦点为F(2,0)，过F作双曲线C一条渐近线的垂线，垂足为点A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线方程为(B)Ay21Bx21C1D1解析由题意可得c2，即a2b24，双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，左焦点为F1，OAAF，FOAAOBBOF160，tan 60，由可得a1，b.双曲线方程为x21，故选B.2(2021四川省联合诊断)设双曲线C：1(a0，b0)的左焦点为F，直线4x3y200过点F且与双曲线C在第二象限交点为P，|OP|OF|，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为(D)ABCD5解析如图所示：直线4x3y200过点F，F(5,0)，
11、半焦距c5，设A为PF中点，|OP|OF|，OAPF，又OA为PFF1中位线，OAPF1，由点到直线距离公式可得|OA|4，|PF1|2|OA|8，由勾股定理可得：|FP|6，再由双曲线定义可得：|PF1|PF|2a2，a1，双曲线的离心率e5.答案选D.3(2021广西壮族自治州模拟)已知双曲线E：1(a0，b0)的右顶点为A，抛物线C：y2 8ax的焦点为F.若在E的渐近线上存在点P，使得，则E的离心率的取值范围是(B)A(1,2)BCD(2，)解析由题意得，A(a,0)，F(2a,0)，设P，由，得0x3ax02a20，因为在E的渐近线上存在点P，则0，即9a242a209a28c2e2
12、e，又因为E为双曲线，则11，10，b0)的右焦点，过点F向双曲线C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若2，则双曲线C的渐近线方程是yx.解析设OA：yx，则AF：y(xc)，由，得yA，同理yB，解得，双曲线C的渐近线方程为yx.6(2021新高考八省联考)双曲线C：1(a0，b0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上当BFAF时，|AF|BF|.(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：BFA2BAF.解析(1)设双曲线的半焦距为c，则F(c,0)，B，因为|AF|BF|，故ac，故c2ac2a20，即e2e20，故e2.(2)当BFAF时，结论显然成立；当BF与AF不垂直时，设B(x0，y0)，其中x0a，y00.因为e2，故c2a，ba，故渐近线方程为：yx，所以BAF，BFA，又tanBFA，tanBAF，所以tan2BAFtanBFA，因为2BAF，故BFA2BAF.
