1、第七节抛物线考纲传真1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.3.了解抛物线的简单应用.4.理解数形结合的思想(见学生用书第159页)1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦点坐标准线方程xxyy离心率e1焦半径|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y01(固基升华)判断下列结论的正误(正确的打
2、“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()【解析】由抛物线定义、性质可知(1)，(2)，(3)错误，(4)正确【答案】(1)(2)(3)(4)2(人教A版教材习题改编)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.B.C.D0【解析】M到准线
3、的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.【答案】B3(2014广州质检)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28x By28xCy24x Dy24x【解析】因为抛物线的准线方程为x2，所以2，所以p4，所以抛物线的方程是y28x.【答案】B4(2013四川高考)抛物线y28x的焦点到直线xy0的距离是()A2 B2 C. D1【解析】抛物线y28x的焦点为F(2,0)，则d1.故选D.【答案】D5(2013江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|()A2
4、 B12 C1 D13【解析】如图所示，由抛物线定义知|MF|MH|，所以|MF|MN|MH|MN|.由于MHNFOA，则，则|MH|MN|1，即|MF|MN|1.【答案】C(见学生用书第159页)考向1抛物线的定义及应用【例1】(2014济南质检)过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.【思路点拨】由抛物线定义，将|AF|、|AB|转化为到焦点的距离，数形结合，借助几何直观求解【尝试解答】由y22x，知p1，F.又|AB|，知AB的斜率存在(否则|AB|2)设直线AB的方程为yk(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)将yk(x)代入
5、y22x，得k2x2(k22)x0.(*)x1x21，又|AB|AF|BF|x1x2px1x21，因此x1x21，k224.则方程(*)为12x213x30，又|AF|BF|，x1，x2.|AF|x1.【答案】,规律方法11.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快2若P(x0，y0)为抛物线y22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x0；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出变式训练1(2014北京东城模拟)已知抛物线y22x的焦
6、点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标【解】将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部(如图)设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d.当PAl时，|PA|d有最小值，最小值为|AQ|3.则|PA|PF|的最小值为，此时点P纵坐标为2，将y2代入y22x，得x2.|PA|PF|的最小值为，此时点P(2,2)考向2抛物线的标准方程与几何性质【例2】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2B2C4D2【思路点拨】依条
7、件，知抛物线的焦点在x轴的正半轴，进而求出方程和y0，得|OM|.【尝试解答】由题意设抛物线方程为y22px(p0)，则M到焦点的距离为xM23，p2，y24x.y42，y02.|OM|2.【答案】B,规律方法21.本题要恰当设出抛物线标准方程的形式2(1)抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中系数2p的关系；(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)变式训练2已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22xBy22xCy24x Dy24x【
8、解析】x2y21的焦点为(，0)，(，0)，抛物线C的焦点为(，0)或(，0)，则p2，因此抛物线C的方程为y24x或y24x.【答案】D考向3抛物线的综合应用图871【例3】(2013辽宁高考)如图871，抛物线C1：x24y，C2：x22py(p0)点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)当x01时，切线MA的斜率为.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)【思路点拨】(1)由导数及切线MA的斜率确定切点A的坐标，进而求M的坐标，代入求p；(2)根据题设条件及第(1)题的结论，
9、构造动点N(x，y)与A，B之间的关系，由相关点法求动点N的轨迹方程【尝试解答】(1)因为抛物线C1：x24y上任意一点(x，y)的切线斜率为y，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为，故切线MA的方程为y(x1).因为点M(1，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0(2)，y0.由得p2.(2)设N(x，y)，A，B，x1x2，由N为线段AB中点知x，y.切线MA，MB的方程为y(xx1)，y(xx2).由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0，y0.因为点M(x0，y0)在C2上，即x4y0，所以x1x2. 由得x2y，x0.当x1x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足
10、x2y.因此AB中点N的轨迹方程为x2y.,规律方法31.本题求解的关键是求点M的坐标，在第(1)问中，代入求p，在第(2)问中，代入曲线C2求轨迹方程，体现方程思想的应用2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式变式训练3(2013合肥高三第二次联考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积【解】
11、(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，822p8，2p8，抛物线方程为y28x.(2)直线l2与l1垂直，故可设l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点M.由得y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，l2：xy8，M(8,0)故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.一个结论焦半径：抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0.两种方法1.定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而求出抛物线方程2待定系数法：根据
12、条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式若焦点在x轴上，设为y2ax(a0)，若焦点在y轴上，设为x2by(b0)三点注意1.求抛物线的标准方程，要由焦点位置(开口方向)判断是哪一种标准方程2重视应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题，以简化运算3直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切.(见学生用书第160页)从近两年高考试题看，抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系是高考考查的重点和热点，既可以以客观题的形式呈现，突出“小而巧”，考查学生思维的灵活性及数形结合思想，又可以以解答题的形式考查，突出函数与方程思想以及坐标法的考查，解答时应注意抛物线范围对
13、坐标的限制，避免失误易错辨析之九忽视抛物线的范围致误 (2013安徽高考)已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_【错解】设C(x，x2)，由题意A(，a)，B(，a)，则(x，ax2)，(x，ax2)由于CAB，所以0，即x4(12a)x2a2a0即y2(12a)ya2a0.由题意方程有根，故(12a)24(a2a)0.即10，故aR.【答案】R错因分析：(1)不能将“存在点C”转化为“关于C点坐标的方程有解”，而无从下手；(2)忽视方程中的y的范围为y0，而在实数范围内研究方程有根，导致a范围扩大防范措施：(1)对于“点、直线等几何
14、元素的存在问题或存在几个的问题，往往转化为相应的变量构成的方程的解的存在性问题或存在几个解的问题来解答(2)在应用圆锥曲线的坐标解答方程根的存在性问题，求范围或最值问题时，要注意圆锥曲线范围的限制【正解】设C(x，x2)，由题意可取A(，a)，B(，a)，则(x，ax2)，(x，ax2)，由于ACB，所以(x)(x)(ax2)20，整理得x4(12a)x2a2a0，即y2(12a)ya2a0，所以解得a1.【答案】1，)1(2013四川高考)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A.B.C1D.【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的一条渐近线方程为xy0或xy0，则焦点到渐近线的距离d1或d2.【答案】B2(2013课标全国卷)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2 C2 D4【解析】设P(x0，y0)，则|PF|x04，x03，y4x04324，|y0|2.由y24x，知焦点F(，0)，SPOF|OF|y0|22.【答案】C
