1、第2讲基本不等式及其应用最新考纲1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题知 识 梳 理1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(2)ab2(a，bR)，当且仅当ab时取等号(3)2(a，bR)，当且仅当ab时取等号(4)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号3利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和
2、最小)(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)当a0，b0时，.()(2)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(3)函数yx的最小值是2.()(4)函数f(x)sin x的最小值为2.()(5)x0且y0是2的充要条件()解析(2)不等式a2b22ab成立的条件是a，bR；不等式成立的条件是a0，b0.(3)函数yx值域是(，22，)，没有最小值(4)函数f(x)sin x的最小值为5.(5)x0且y0是2的充分条件答案(1)(2)(3)(4)(5)2设x0，y0，且xy18
3、，则xy的最大值为()A80 B77 C81 D82解析xy281，当且仅当xy9时等号成立，故选C.答案C3(2015福建卷)若直线1(a0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于()A2 B3 C4 D5解析因为直线1(a0，b0)过点(1,1)，所以1.所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时取“”，故选C.答案C4若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于()A1 B1 C3 D4解析当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a3，选C.答案C5(教材改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，
4、墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大解析设矩形的长为x m，宽为y m则x2y30，所以Sxyx(2y)2，当且仅当x2y，即x15，y时取等号答案15考点一配凑法求最值【例1】 (1)已知x，求f(x)4x2的最大值；(2)求函数y的最大值解(1)因为x，所以54x0，则f(x)4x2323231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.(2)令t0，则xt21，所以y.当t0，即x1时，y0；当t0，即x1时，y，因为t24(当且仅当t2时取等号)，所以y，即y的最大值为(当t2，即x5时y取得最大值).规律方法(1)应用基本不等式解题一定要注
5、意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式【训练1】 (1)(2017湖北重点中学一联)若对任意x1，不等式x1a恒成立，则实数a的取值范围是_(2)函数y(x1)的最小值为_解析(1)因为函数f(x)x1在1，)上单调递增，所以函数g(x)x12在0，)上单调递增，所以函数g(x)在1，)的最小值为g(1)，因此对任意x1不等式x1a恒成立，所以ag(x)最小值，故实数a的取值范围是.(2
6、)y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成立答案(1)(2)22考点二常数代换或消元法求最值(易错警示)【例2】 (1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值为_；(2)(2017南昌模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_解析(1)法一由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)5(当且仅当，即x1，y时，等号成立)，3x4y的最小值是5.法二由x3y5xy，得x，x0，y0，y，3x4y4y4y425，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.(2)由已知得x.法一(消元法)因为x0，y0，所以0y3，所以x3y3y3(y1)6266，当且仅当3(y1)，
7、即y1，x3时，(x3y)min6.法二x0，y0，9(x3y)xyx(3y)2，当且仅当x3y时等号成立设x3yt0，则t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.答案(1)5(2)6规律方法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解易错警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多
8、次使用，一定要保证等号成立的条件一致【训练2】 (1)已知x0，y0且xy1，则的最小值为_(2)(2017西安模拟)已知正数x，y满足x2yxy0，则x2y的最小值为()A8 B4 C2 D0解析(1)(常数代换法)因为x0，y0，且xy1，所以(xy)1010218，当且仅当，即x2y时等号成立，所以当x，y时，有最小值18.(2)由x2yxy0，得1，且x0，y0.x2y(x2y)4448.答案(1)18(2)A考点三基本不等式在实际问题中的应用【例3】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油
9、升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解(1)设所用时间为t(h)，y214，x50,100所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50,100(或yx，x50,100)(2)yx26，当且仅当x，即x18时等号成立故当x18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.规律方法(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解【训练3】
10、 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时解析(1)当l6.05时，F，F1 900，当且仅当v，即v11时取“”最大车流量F为1 900辆/时(2)当l5时，F，F2 000，当且仅当v，即v10时取“”最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 0001 900100辆/时答案(1)1 900(2)100思想方
11、法1基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点2对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab2，(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件3对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数yx(m0)的单调性易错防范1使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1下列不等
12、式一定成立的是()Alglg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)解析当x0时，x22xx，所以lglg x(x0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x0时，有1，故选项D不正确答案C2若2x2y1，则xy的取值范围是()A0,2 B2,0C2，) D(，2解析22x2y1，所以2xy，即2xy22，所以xy2.答案D3(2016合肥二模)若a，b都是正数，则的最小值为()A7 B8 C9 D10解析a，b都是正数，5529，当且仅当
13、b2a0时取等号故选C.答案C4若a0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是()A. B.1C.2 Da2b28解析4ab2(当且仅当ab时，等号成立)，即2，ab4，选项A，C不成立；1，选项B不成立；a2b2(ab)22ab162ab8，选项D成立答案D5(2015湖南卷)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2 C2 D4解析依题意知a0，b0，则2，当且仅当，即b2a时，“”成立因为，所以，即ab2，所以ab的最小值为2，故选C.答案C6(2017咸阳模拟)若实数x，y满足xy0，则的最大值为()A2 B2C42 D42解析11142，当且仅当，即x22y2时取等号故选D.答
14、案D7若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()A. B. C2 D.解析由x0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.答案C8(2017安庆二模)已知a0，b0，ab，则的最小值为()A4 B2 C8 D16解析由a0，b0，ab，得ab1，则22.当且仅当，即a，b时等号成立故选B.答案B二、填空题9正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_解析a，b是正数，abab323，解得3，即ab9.答案9，)10(2016湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足mn0，mn1，则的最大值
15、为_解析mn0，mn1，m0，n0，b0)的最大值为1，则的最小值为_解析不等式组所表示的平面区域是以(0,0)，(1,1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观察可知，当直线zax2by过点(1,1)时，z有最大值，故a2b1，故12，故ab，故8，当且仅当a2b时等号成立，故的最小值为8.答案815(2017辽宁五校协作体联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x1)2(y1)28上，则ab的最大值为_解析由题意知a0，b0，且(a1)2(b1)28，化简得a2b22(ab)6，则62ab4(当且仅当ab时取等号)，令t(t0)，则t22t30，解得0t1，则0ab1，所以ab的最大值为1.答案116正数a，b满足1，若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是_解析因为a0，b0，1，所以ab(ab)1010216，由题意，得16x24x18m，即x24x2m对任意实数x恒成立，而x24x2(x2)26，所以x24x2的最小值为6，所以6m，即m6.答案6，)特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
