1、2015-2016学年福建省泉州九中、晋江二中、南安鹏峰中学高三（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合A=x|2x4，集合B=x|y=lg（x1），则AB等于（）A（1，2）B1，2C1，2）D（1，22已知命题p：x1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0，则p是（）Ax1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0Bx1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0Cx1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0Dx1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）03已知和，若
2、，则|=（）A5B8CD644等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=（）A12B10C8D2+log355设f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x，则f（）=（）ABCD6若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABC1D27已知P是圆x2+y2=1上的动点，则P点到直线的距离的最小值为（）A1BC2D8为了得到函数y=sin（2x）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度9函数f（x）=|x22|lgx的零点个数有（）
3、个A1B2C3D无数个10已知椭圆的两个焦点为F1（，0），F2（，0），M是椭圆上一点，若MF1MF2，|MF1|MF2|=8，则该椭圆的方程是（）A +=1B +=1C +=1D +=111已知y=f（x）是奇函数，且满足f（x+1）=f（x1），当x（0，1）时，则y=f（x）在（1，2）内是（）A单调增函数，且f（x）0B单调减函数，且f（x）0C单调增函数，且f（x）0D单调减函数，且f（x）012已知向量，满足，且关于x的函数在实数集R上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是（）ABCD二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知i为虚数单位，则复数=14（）6的展开式中
4、，常数项为（用数字作答）15曲线y=x2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为16设p：f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+）上单调递增，q：m5，则p是q的条件三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17设锐角ABC中，角ABC对边分别为a、b、c，且b=2asinB（1）求角A的大小；（2）若a=2，求ABC的面积的最大值18如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD=90，PA底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点（）求证：PBDM；（）求BD与平面ADMN所成的角19已知数列an的前n项和为Sn，且满足
5、Sn=2ann（nN+）（I）求证an+1是等比数列，并求an；（II）bn=nan+n，求数列bn的前n项和为Tn20已知直线y=x+1与椭圆=1（ab0）相交于A、B两点（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）若OAOB（其中O为坐标原点），当椭圆的离率e时，求椭圆的长轴长的最大值21已知函数g（x）=（2a）lnx，h（x）=lnx+ax2（aR），令f（x）=g（x）+h（x），其中h（x）是函数h（x）的导函数（）当a=0时，求f（x）的极值；（）当8a2时，若存在x1，x21，3，使得恒成立，求m的取值范围选做题：请考生在第2223两题中任选一题作答，如果多做，则
6、按所做的第一题计分。22在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线的极坐标方程为（m为常数），圆C的参数方程为（为参数）（）求直线的直角坐标方程和圆C的普通方程；（）若圆心C关于直线的对称点亦在圆上，求实数m的值选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x|+|xa|，xR（）求证：当a=时，不等式lnf（x）1成立（）关于x的不等式f（x）a在R上恒成立，求实数a的最大值2015-2016学年福建省泉州九中、晋江二中、南安鹏峰中学高三（上）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中
7、，只有一项是符合题目要求的1设集合A=x|2x4，集合B=x|y=lg（x1），则AB等于（）A（1，2）B1，2C1，2）D（1，2【考点】对数函数的定义域；交集及其运算【分析】解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集【解答】解：A=x|2x4=x|x2，由x10得x1B=x|y=lg（x1）=x|x1AB=x|1x2故选D2已知命题p：x1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0，则p是（）Ax1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0Bx1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0Cx1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0Dx
8、1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0【考点】命题的否定【分析】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项【解答】解：命题p：x1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故p：x1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0故选：C3已知和，若，则|=（）A5B8CD64【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得x+22x=0，解方程可得x，即可求出|【解答】解：和，x+22x=0，解得x=2，|=|（5，0）|=5故选：A4等比数列an
9、的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=（）A12B10C8D2+log35【考点】等比数列的性质；对数的运算性质【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+log3a10=log3（a5a6）5答案可得【解答】解：a5a6=a4a7，a5a6+a4a7=2a5a6=18a5a6=9log3a1+log3a2+log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B5设f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x，
10、则f（）=（）ABCD【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可【解答】解：f（x）是周期为2的奇函数，f（）=f（）=f（2）=f（），当0x1时，f（x）=2x，f（）=，则f（）=，故选：B6若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABC1D2【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，利用三视图的数据，直接求出棱柱的体积即可【解答】解：由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，直角边分别为：1，棱柱的高为，所以几何体的体积为： =1故选C7已知P是圆
11、x2+y2=1上的动点，则P点到直线的距离的最小值为（）A1BC2D【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式【分析】先利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再用此距离减去半径，即得所求【解答】解：由于圆心O（0，0）到直线的距离d=2，且圆的半径等于1，故圆上的点P到直线的最小距离为 dr=21=1，故选A8为了得到函数y=sin（2x）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x
12、）到y=cos2x的路线，确定选项【解答】解：y=sin（2x）=cos（2x）=cos（2x）=cos（2x）=cos2（x），将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度故选B9函数f（x）=|x22|lgx的零点个数有（）个A1B2C3D无数个【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】依题意得：|x22|=lgx，在同一直角坐标系中作出y=|x22|与y=lgx的图象，y=|x22|与y=lgx的交点的个数就是所求【解答】由f（x）=|x22|lgx=0得：|x22|=lgx，在同一直角坐标系中作出y=|x22|与y=lgx的图象，函数f（x）=|x22|lgx的零点个数就是还是y=|x2
13、2|与y=lgx的交点的个数，由图知，两函数有两个交点，所以函数f（x）=|x22|lgx有两个零点，故选：B10已知椭圆的两个焦点为F1（，0），F2（，0），M是椭圆上一点，若MF1MF2，|MF1|MF2|=8，则该椭圆的方程是（）A +=1B +=1C +=1D +=1【考点】椭圆的标准方程【分析】设|MF1|=m，|MF2|=n，根据MF1MF2，|MF1|MF2|=8，|F1F2|=2，利用勾股定理，椭圆的定义，求出a，可得b，即可求出椭圆的方程【解答】解：设|MF1|=m，|MF2|=n，MF1MF2，|MF1|MF2|=8，|F1F2|=2，m2+n2=20，mn=8，（m+n
14、）2=36，m+n=2a=6，a=3，c=，b=2，椭圆的方程是+=1故选：C11已知y=f（x）是奇函数，且满足f（x+1）=f（x1），当x（0，1）时，则y=f（x）在（1，2）内是（）A单调增函数，且f（x）0B单调减函数，且f（x）0C单调增函数，且f（x）0D单调减函数，且f（x）0【考点】函数的周期性；奇偶性与单调性的综合【分析】先根据f（x+1）=f（x1）求出函数的周期，然后根据函数在x（0，1）时上的单调性和函数值的符号推出在x（1，0）时的单调性和函数值符号，最后根据周期性可求出所求【解答】解：f（x+1）=f（x1），f（x+2）=f（x）即f（x）是周期为2的周期函数
15、当x（0，1）时，0，且函数在（0，1）上单调递增，y=f（x）是奇函数，当x（1，0）时，f（x）0，且函数在（1，0）上单调递增根据函数的周期性可知y=f（x）在（1，2）内是单调增函数，且f（x）0故选A12已知向量，满足，且关于x的函数在实数集R上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】求导数，利用函数f（x）=2x3+3|a|x2+6abx+7在实数集R上单调递增，可得判别式小于等于0在R上恒成立，再利用，利用向量的数量积，即可得到结论【解答】解：求导数可得f（x）=6x2+6|x+6，则由函数f（x）=2x3+3|a|x2+6abx+7在
16、实数集R上单调递增，可得f（x）=6x2+6|x+60恒成立，即 x2+|x+0恒成立，故判别式=240 恒成立，再由，可得8|28|2cos，cos，0，故选：C二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知i为虚数单位，则复数=12i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可【解答】解：复数=12i故答案为：12i14（）6的展开式中，常数项为15（用数字作答）【考点】二项式定理的应用【分析】本题是二项式展开式求项的问题，可由给出的式子求出通项表达式Tr+1=（1）r，令x的次数为0即可【解答】解：Tr+1=（1）r，由63r=0得r=2，从而得
17、常数项C6r=15，故答案为：1515曲线y=x2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为【考点】定积分在求面积中的应用；定积分【分析】求出曲线y=x2和直线：x=1的交点为（1，1），和直线y=的一个交点为（，），由此用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案【解答】解：曲线y=x2和直线：x=1的交点为（1，1），和直线y=的一个交点为（，）曲线y=x2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为S=（）dx+dx=（xx3）+（x3x）=故答案为：16设p：f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+）上单调递增，q：m5，则p是q的必要不充分条件【考点】利用导数研究函数
18、的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系求出m的范围结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由题意得f（x）=ex+4x+m，f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+）内单调递增，f（x）0，即ex+4x+m0在定义域内恒成立，由于+4x4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，故对任意的x（0，+），必有ex+4x5mex4x不能得出m5但当m5时，必有ex+4x+m0成立，即f（x）0在x（0，+）上成立p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件故答案为：必要不充分三.解答题：解答应写出文字
19、说明，证明过程或演算步骤17设锐角ABC中，角ABC对边分别为a、b、c，且b=2asinB（1）求角A的大小；（2）若a=2，求ABC的面积的最大值【考点】解三角形【分析】（1）由b=2asinB结合正弦定理可得sinB=2sinAsinB可求sinA，进而可求A（2）由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA=，从而可得bc的范围，代入面积公式可求ABC面积最大值【解答】解：（1）b=2asinBsinB=2sinAsinB得： 即A=（2）a2=b2+c22bccosA=当且仅当b=c=时取等号=即ABC面积最大值为（当且仅当时取等号）18如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，A
20、DBC，BAD=90，PA底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点（）求证：PBDM；（）求BD与平面ADMN所成的角【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角【分析】法一：（）因为N是PB的中点，PA=AB，要证PBDM，只需证明PB垂直DM所在平面ADMN即可（）连接DN，说明BDN是BD与平面ADMN所成的角，在RtBDN中，解BD与平面ADMN所成的角法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz，设BC=1，（）求出，就证明PBDM（）说明的余角即是BD与平面ADMN所成的角，求出，即可得到BD与平面ADMN所成的角【解答】解：方法一：（）因为N是
21、PB的中点，PA=AB，所以ANPB因为AD面PAB，所以ADPB从而PB平面ADMN因为DM平面ADMN所以PBDM（）连接DN，因为PB平面ADMN，所以BDN是BD与平面ADMN所成的角在RtBDN中，故BD与平面ADMN所成的角是方法二：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz，设BC=1，则A（0，0，0）P（0，0，2），B（2，0，0），M（1，12，1），D（0，2，0）（）因为=0所以PBDM（）因为=0所以PBAD又PBDM因此的余角即是BD与平面ADMN所成的角因为所以=因此BD与平面ADMN所成的角为19已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2ann（nN+）
22、（I）求证an+1是等比数列，并求an；（II）bn=nan+n，求数列bn的前n项和为Tn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（I）根据Sn=2ann（nN*），可得当n2时，Sn1=2an1（n1），两式相减，将an+1看成整体可得an+1是等比数列，从而可求出an；（II）先求出bn的通项公式，然后根据通项公式的特征利用错位相消法可求出数列bn的前n项和为Tn【解答】解：（I）Sn=2ann（nN*），当n2时，Sn1=2an1（n1）两式相减得an=2an2an11，即an=2an1+1（n2）又a1=1，可知an0，当n2时，an+1是首项为2，公比为2的等比数列，故an+
23、1=22n1=2n，也即an=2n1（II）bn=nan+n=n2n，Tn=12+222+323+（n1）2n1+n2n，2Tn=122+223+324+（n1）2n+n2n+1，两式相减，得Tn=2+22+23+2nn2n+1，Tn=n2n+1，得Tn=（n1）2n+1+220已知直线y=x+1与椭圆=1（ab0）相交于A、B两点（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）若OAOB（其中O为坐标原点），当椭圆的离率e时，求椭圆的长轴长的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）利用椭圆的离心率公式求出椭圆中的参数a，利用椭圆中三个参数的关系求出b，代
24、入椭圆的方程求出椭圆的标准方程（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理求出两个交点的横、纵坐标之积；利用向量垂直的充要条件将OAOB用交点的坐标表示，得到椭圆的三个参数的一个等式，再利用椭圆的三个参数本身的关系得到参数a与离心率的关系，利用离心率的范围求出a的范围，得到椭圆的长轴长的最大值【解答】解（1）e=又2c=2，解得a=，则b=椭圆方程为： +=1（2）由消去y得（a2+b2）x22a2x+a2（1b2）=0，由=（2a2）24a2（a2+b2）（1b2）0，整理得a2+b21设A（x1，y1，），B（x2，y2），则x1+x2=y1y2=（x1+1）（x2+1）=x1x2（x
25、1+x2）+1OAOB（其中O为坐标原点），x1x2+y1y2=0，即2x1x2（x1+x2）+1=0+1=0整理得a2+b22a2b2=0b2=a2c2=a2a2e2，代入上式得2a2=1+，a2=e，2，3，适合条件a2+b21，由此得，故长轴长的最大值为21已知函数g（x）=（2a）lnx，h（x）=lnx+ax2（aR），令f（x）=g（x）+h（x），其中h（x）是函数h（x）的导函数（）当a=0时，求f（x）的极值；（）当8a2时，若存在x1，x21，3，使得恒成立，求m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值【分析】（）把a=0代入函数f（x）的解析
26、式，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，得到函数在各区间段内的单调性，从而求得函数极值；（）由函数的导函数可得函数的单调性，求得函数在1，3上的最值，再由恒成立，结合分离参数可得，构造函数，利用导数求其最值得m的范围【解答】解：（I）依题意h（x）=，则，x（0，+），当a=0时，令f（x）=0，解得当0x时，f（x）0，当时，f（x）0f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为时，f（x）取得极小值，无极大值；（II）=，x1，3当8a2，即时，恒有f（x）0成立，f（x）在1，3上是单调递减f（x）max=f（1）=1+2a，|f（x1）f（x2）|max=f（1）f（3）=，x21，3
27、，使得恒成立，整理得，又a0，令t=a，则t（2，8），构造函数，当F（t）=0时，t=e2，当F（t）0时，2te2，此时函数单调递增，当F（t）0时，e2t8，此时函数单调递减，m的取值范围为选做题：请考生在第2223两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线的极坐标方程为（m为常数），圆C的参数方程为（为参数）（）求直线的直角坐标方程和圆C的普通方程；（）若圆心C关于直线的对称点亦在圆上，求实数m的值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程；圆的参数方程【分析】（）由，展开可得，利用j即可
28、得出；由圆C的参数方程（为参数），利用cos2+sin2=1即可得出（）圆C的圆心C的坐标，由于圆心C关于直线的对称点亦在圆上，可得圆心C到直线的距离为1，解出即可【解答】解：（）由，展开可得，所以直线的直角坐标方程为由圆C的参数方程（为参数）利用cos2+sin2=1可得：圆C的普通方程为（）圆C的圆心C的坐标，圆心C关于直线的对称点亦在圆上，圆心C到直线的距离为1，解得m=1或m=3选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x|+|xa|，xR（）求证：当a=时，不等式lnf（x）1成立（）关于x的不等式f（x）a在R上恒成立，求实数a的最大值【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）当a=时，根据f（x）= 的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3lne=1，不等式得证（）由绝对值三角不等式可得 f（x）|a|，可得|a|a，由此解得a的范围【解答】解：（）证明：当a=时，f（x）=|x|+|x+|= 的最小值为3，lnf（x）最小值为ln3lne=1，lnf（x）1成立（）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x|+|xa|（x）（xa）|=|a|，再由不等式f（x）a在R上恒成立，可得|a|a，aa，或 aa，解得a，故a的最大值为2016年10月21日
