1、第三讲函数的单调性与最值知识梳理双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理知识点一函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间知识点
2、二函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值重要结论1复合函数的单调性函数yf(u)，u(x)，在函数yf(x)的定义域上，如果yf(u)，u(x)的单调性相同，则yf(x)单调递增；如果yf(u)，u(x)的单调性相反，则yf(x)单调递减2单调性定义的等价形式设任意x1，x2a，b，x1x2.(1)若有(x1x2)f(x1)f(x2)0或0，则f(x)在闭区间a，b上是增函数(2)若有(x1x2)f(x1
3、)f(x2)0或0，则kf(x)与f(x)单调性相同，若k0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反(4)函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与y的单调性相同双基自测题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(x2)时都有x1x2，则yf(x)为增函数()(5)已知函数yf(x)是增函数，则函数yf(x)与y都是减函数()解析(1)函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上的任意两个自变量值x1，x2，均有f(x1)f(x2)，而不是区间上的两个特殊值(2)单调区间是定义域的子区间，如yx在1，)上是增函数，但它的单调
4、递增区间是R，而不是1，)(3)多个单调区间不能用“”符号连接，而应用“，”或“和”连接(4)设f(x)，如图当f(x1)f(x2)时都有x1x2，但yf(x)不是增函数(5)当f(x)x时，y，有两个减区间，但y并不是减函数，而yf(x)是由yf(t)与tx复合而成是减函数题组二走进教材2(必修1P32T3改编)设定义在1，7上的函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的增区间为1，1和5，73(必修1P44AT9改编)函数y(2m1)xb在R上是减函数，则m的取值范围是m解析使y(2m1)xb在R上是减函数，则2m10，即m0)在(，1)上的单调性解析(1)对于A、B若f(x)x，则
5、A、B都错，对于C，当f(x)0时无意义， 对于D，y2f(x)，y，tf(x)，复合函数y是减函数，故选A、B、C(2)解法一：x1，x2(，1)，且x1x2，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(，1)上单调递减解法二：f(x)，(x1)20，a0，f(x)0时，f(x)在(，1)上是减函数解法三：f(x)a，又a0，f(x)在(，1)上是减函数考向2求函数的单调区间师生共研例2求下列函数的单调区间(1)f(x)x22|x|3；(2)f(x)log(x24x5)；(3)f(x)xln x
6、.分析(1)可用图象法或化为分段函数或用化为复合函数求解；(2)复合函数求解；(3)导数法解析(1)解法一：(图象法)f(x)其图象如图所示，所以函数yf(x)的单调递增区间为(，1和0，1；单调递减区间为1，0和1，)解法二：(化为分段函数求解)f(x)y(x1)24(x0)图象开口向下，对称轴为x1，增区间为(0，1)，减区间为(1，)；y(x1)24(x0得1x0.y1.x(0，1)1(1，)y0y极小值由上表可知，函数的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0，1)引申1本例(1)f(x)|x22x3|的增区间为(1，1)和(3，)解析作出f(x)|x22x3|的图象，由图可知所求增
7、区间为(1，1)和(3，)引申2本例(2)f(x)loga(x24x5)(a1)的增区间为(1，2名师点拨MING SHI DIAN BO求函数的单调区间(确定函数单调性)的方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知单调性的函数的和、差或复合函数，再求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直接写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：求函数的定义域；求简单函数的单调区间；求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”注意：(1)求函数单调区
8、间，定义域优先(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接变式训练1(1)(2019北京)下列函数中，在区间(0，)上单调递增的是(A)Ayx By2xCylogx Dy(2)函数f(x)(a1)x2在R上单调递增，则函数g(x)a|x2|的单调递减区间是(，2(3)函数f(x)x|1x|的单调区间为(，1(4)函数yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数g(x)f(logax)(0a0时，yx在(0，)上单调递增，当0，且a1)，当0a1时，yax在(，)上单调递增，而选项B中的函数y2x可转化为y，因此函数y2x
9、在(0，)上单调递减，故选项B不符合题意；对于对数函数ylogax(a0，且a1)，当0a1时，ylogax在(0，)上单调递增，因此选项C中的函数ylogx在(0，)上单调递减，故选项C不符合题意，故选A(2)由已知得a10，a1，g(x)a|x2|减区间为q(x)|x2|减区间，(，2，故填(，2(3)f(x)画图知单调递增区间为(，1. (4)设g(x)f(t)，tlogax(0ax11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab BcbaCacb Dbac解析由已知得f(x)在(1，)上单调递减，又ff，e2，f(e)ff(2)，即ca0，二次函数ux22ax1a在(，1上单调递减，故只需
10、当x1时，x22ax1a0，代入x1解得a2，所以a的取值范围是1，2)即，1a2.故选A(2)若g(x)为减函数，必有解得0f(x)，则实数x的取值范围是(2，1)(2)已知函数f(x)ln x2x，若f(x24)x，2x1.(2)因为函数f(x)ln x2x在定义域(0，)上单调递增，且f(1)ln 122，所以由f(x24)2得，f(x24)f(1)，所以0x241，解得x2或2x.名师点拨MING SHI DIAN BO函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数
11、，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数求解时注意函数定义域的限制，遇分段函数注意分点处左、右端点函数值的大小关系(3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域变式训练2(1)(角度2)已知yf(x)在定义域(1，1)上是减函数，且f(1a)f(a21)，则a的取值范围为(0，1)(2)(角度3)已知函数yloga(2ax)在0，1上是减函数，则实数a的取值范围是(1，2)(3)(角度1)，(其中e为自然常数)的大小关系是(A)A BC D1aa21
12、1，即解得0a0且a1，函数u在0，1上是减函数由题意可知函数ylogau在0，1上是增函数，a1.又u在0，1上要满足u0，得a2.综上得1a0，得x2，即函数f(x)在(2，)内单调递增，因此有f(4)f(5)f(6)，即0，y0都有ff(x)f(y)，当x1时，有f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明；(3)若f(6)1，解不等式f(x5)f2.解析(1)f(1)ff(x)f(x)0.(2)f(x)在(0，)上是增函数证明：设0x11，所以f0.所以f(x2)f(x1)0，即f(x)在(0，)上是增函数(3)因为f(6)ff(36)f(6)，又f(6)1，所以f(36)2，原不等式化为：f(x25x)f(36)，又因为f(x)在(0，)上是增函数，所以解得0x4.不等式的解集为x|0x0时，f(x)x2，则x1x20，于是f(x1x2)0，从而f(x1)f(x2)f(x1x2)x2f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)0，所以f(x)在R上是减函数(3)由(2)知，所求函数在3，6上的最大值为f(3)，最小值为f(6)因为f(3)f(3)f(2)f(1)2f(1)f(1)3f(1)2，f(6)f(6)f(3)f(3)4.所以f(x)在3，6上的最大值为2，最小值为4.
