1、莆田五中2020-2021下学期高一年段数学期中测试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数（为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 2. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）A. B. /C. D. 3. 已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为（ ）A. B. C. D. 4. 在中，若，则角等于（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或5. 一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积为，则该正方体的表面积为（ ）A. 24B. 36C. 48D. 646. 向量，若与共线（其中且，则A. B. C. 2D.
2、27. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是（ ）A. 10海里B. 10海里C. 20海里D. 20海里8. 在中，点是的三等分点，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（ ）A. 1B. 2C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 下列叙述错误的是（ ）A. 已知直线和平
3、面，若点，点且，则B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面C. 如果直线，则平行于经过的任何平面D. 已知，则在内过点存在唯一一条与平行的直线10. 已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（ ）A. B. C. D. ，夹角是钝角11. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）A. 若，则为等腰三角形.B. 若，则C. 若，则有两解.D. 若，则面积的最大值为12. 如图，在正方体中，、分别是、的中点，有下列四个结论正确的是（ ）A. 与是异面直线；B. 、相交于一点；C. ；D. 平面.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 复数43
4、i与25i分别表示向量与，则向量表示的复数是_14. 已知，则直线与的位置关系用符号语言表示为_.15. 若向量,则的最大值为_.16. 如图，圆锥的母线长为4，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的底面半径为_，此圆锥表面积为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数（其中，是虛数单位），.（1）若是实数，求值；（2）若是纯虚数，求.18. 如图所示，在四棱锥，平面，是中点.（1）求证：；（2）求证：平面.19. 如图，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，求.20. 如图，在四边
5、形ABCD中，.（1）求的大小；（2）若，求AD的长.21. 在三棱柱中，点为中点，点是上的一点.（1）当等于何值时，平面平面？并证明；（2）当平面平面时，记几何体，的体积分别为，求.22. 如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点均不重合，落在边上且不与端点重合，设.（1）若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.莆田五中2020-2021下学期高一年段数学期中测试卷 答案版一、
6、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数（为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】A2. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）A. B. /C. D. 【答案】C3. 已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D4. 在中，若，则角等于（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】A5. 一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积为，则该正方体的表面积为（ ）A. 24B. 36C. 48D. 64【答案】A6. 向量，若与共线（其中且，则A. B. C. 2D. 2【答案
7、】A7. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是（ ）A. 10海里B. 10海里C. 20海里D. 20海里【答案】A8. 在中，点是的三等分点，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 下列叙述错误的是（
8、 ）A. 已知直线和平面，若点，点且，则B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面C. 如果直线，则平行于经过的任何平面D. 已知，则在内过点存在唯一一条与平行的直线【答案】BC10. 已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（ ）A. B. C. D. ，夹角是钝角【答案】ABC11. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）A. 若，则为等腰三角形.B. 若，则C. 若，则有两解.D. 若，则面积的最大值为【答案】BCD12. 如图，在正方体中，、分别是、的中点，有下列四个结论正确的是（ ）A. 与是异面直线；B. 、相交于一点；C. ；D. 平面.【
9、答案】BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 复数43i与25i分别表示向量与，则向量表示的复数是_【答案】68i14. 已知，则直线与的位置关系用符号语言表示为_.【答案】15. 若向量,则的最大值为_.【答案】316. 如图，圆锥的母线长为4，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的底面半径为_，此圆锥表面积为_.【答案】 . 1 . 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数（其中，是虛数单位），.（1）若是实数，求值；（2）若是纯虚数，求.【答案】（1）；（2）.
10、18. 如图所示，在四棱锥，平面，是中点.（1）求证：；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.19. 如图，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.20. 如图，在四边形ABCD中，.（1）求的大小；（2）若，求AD的长.【答案】（1）；（2）21. 在三棱柱中，点为中点，点是上的一点.（1）当等于何值时，平面平面？并证明；（2）当平面平面时，记几何体，的体积分别为，求.【答案】（1），证明见解析；（2）.22. 如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点均不重合，落在边上且不与端点重合，设.（1）若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.【答案】(1)；(2).
