1、2016-2017学年福建省师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若ab0，下列不等式成立的是（）Aa2b2Ba2abC1D2原点和点（1，1）在直线x+ya=0两侧，则a的取值范围是（）A0a2B0a2Ca=0或a=2Da0或a23在ABC中，AB=1，AC=，A=60，则ABC的面积为（）ABC或D或4等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=（）A12B10C8D2+log355在ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=，c=，A=60，则C的大小为（）A或B或CD6
2、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc若sin Bsin C=sin2A，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形7九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A尺B尺C尺D尺8若an是等差数列，首项a10，a
3、1007a10080，a1007+a10080则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是（）A2 012B2 013C2 014D2 0159若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A1B1C7D710若两个正实数x，y满足+=1，且不等式x+m23m有解，则实数m的取值范围（）A（1，4）B（，1）（4，+）C（4，1）D（，0）（3，+）11已知函数f（x）=4x21，若数列前n项和为Sn，则S2015的值为（）ABCD12已知数列an，bn满足a1=1， =，anbn=1，则使bn101的最小的n为（）A4B5C6D7二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）13在数列an
4、中，a1=2，an+1=，则a2016=14若|x3|+|x+5|a对于任意xR均成立，则实数a的取值范围15设a，bR+，且a+b=2则ab2的最大值为16在数列an中，a1=1，an+1an=2n，nN+则an=17已知x，y满足，则的取值范围为18如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求ACB=60，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，则AC最短为米三、解答题（共5小题，满分60分）19已知函数f（x）=|x+a|+|x2|（1）当a=3时，求不等式f（x）3的解集；（2）若f（x）|x4|的解集包含1，2，求
5、a的取值范围20已知ABC中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边，2（sin2Asin2C）=（ab）sinB，ABC的外接圆半径为，（1）求角C；（2）求ABC面积S的最大值21已知an是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，等比数列bn的首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20（1）求an和bn的通项公式； （2）求anbn的前n项和Tn22某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件
6、产品B的利润为900元该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为多少元，并求出此时生产A，B产品各少件23已知数列an的前n项和为sn，且an=Sn1+2（n2），a1=2（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，Tn=bn+1+bn+2+b2n，是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n，有Tn恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由2016-2017学年福建省师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若ab0，下列不等式成立的是（）Aa2b2B
7、a2abC1D【考点】不等式的基本性质【分析】由题意，取a=2，b=1，代入验证，即可得出结论【解答】解：由题意，取a=2，b=1，则a2b2，a2ab，1，故选C2原点和点（1，1）在直线x+ya=0两侧，则a的取值范围是（）A0a2B0a2Ca=0或a=2Da0或a2【考点】简单线性规划【分析】根据二元一次不等式表示平面区域，以及处在区域两侧的点的符号相反求解a的取值范围【解答】解：原点和点（1，1）在直线x+ya=0两侧，（0+0a）（1+1a）0，即a（a2）0，解得0a2，故选：B3在ABC中，AB=1，AC=，A=60，则ABC的面积为（）ABC或D或【考点】正弦定理【分析】由已知
8、利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：AB=1，AC=，A=60，SABC=ABACsinA=故选：B4等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=（）A12B10C8D2+log35【考点】等比数列的性质；对数的运算性质【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+log3a10=log3（a5a6）5答案可得【解答】解：a5a6=a4a7，a5a6+a4a7=2a5a6=18a5a6=9log3a1+log3a2+lo
9、g3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B5在ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=，c=，A=60，则C的大小为（）A或B或CD【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理即可得出【解答】解：由正弦定理可得： =，化为：sinC=，ca，C为锐角，C=故选：D6在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc若sin Bsin C=sin2A，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【考点】余弦定理；正弦定理【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得由sin Bsin C=sin2A，利正
10、弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c【解答】解：在ABC中，b2+c2=a2+bc，cosA=，A（0，），sin Bsin C=sin2A，bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，（bc）2=0，解得b=cABC的形状是等边三角形故选：C7九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一
11、个月按30天算，则每天增加量为（）A尺B尺C尺D尺【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列an，a1=5（尺），S30=940+30=390（尺），设公差为d（尺），则305+=390，解得d=故选：C8若an是等差数列，首项a10，a1007a10080，a1007+a10080则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是（）A2 012B2 013C2 014D2 015【考点】数列的函数特性【分析】首项a10，a1007a10080，a1007+a10080，可得a10070，a10080，再利用求和公式即可得出【解答】
12、解：首项a10，a1007a10080，a1007+a10080，a10070，a10080，S2014=1007（a1007+a1008）0，S2015=2015a10080则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是2014故选：C9若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A1B1C7D7【考点】简单线性规划【分析】先画出满足条件的平面区域，由z=2x+y得：y=2x+z，显然直线y=2x+z过A时z最大，得到关于k的不等式，解出即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（k，k+3），由z=2x+y得：y=2x+z，显然直线y=2x+z过A（k，k+3）时，z
13、最大，故2k+k+3=6，解得：k=1，故选：B10若两个正实数x，y满足+=1，且不等式x+m23m有解，则实数m的取值范围（）A（1，4）B（，1）（4，+）C（4，1）D（，0）（3，+）【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式【分析】将不等式有解，转化为求（x+）minm23m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案【解答】解：不等式有解，（x+）minm23m，x0，y0，且，x+=（x+）（）=+2=4，当且仅当，即x=2，y=8时取“=”，（x+）min=4，故m23m4，即（m+1）（m4）0，解得m1或
14、m4，实数m的取值范围是（，1）（4，+）故选：B11已知函数f（x）=4x21，若数列前n项和为Sn，则S2015的值为（）ABCD【考点】数列的求和【分析】由f（x）=4x21得到，然后利用裂项相消法求得S2015的值【解答】解：由f（x）=4x21，得=，S2015=故选：D12已知数列an，bn满足a1=1， =，anbn=1，则使bn101的最小的n为（）A4B5C6D7【考点】数列递推式【分析】先化简已知的等式，利用待定系数法和构造法得到数列+3是等比数列，由条件和等比数列的通项公式求出，代入anbn=1求出bn，化简使bn101即可求出最小的n【解答】解：由=，得3an+1an+
15、2an+1=an，两边同除an+1an得， =+3，设+k=2（+k），则=+k，即k=3，=2，由a1=1得=4，数列+3是以2为公比、4为首项的等比数列，则+3=42n1=2n+1，=2n+13，由anbn=1得bn=2n+13，bn101为2n+13101，即2n+1104，26=64，27=128，使bn101的最小的n为6故选：C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）13在数列an中，a1=2，an+1=，则a2016=3【考点】数列递推式【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论【解答】解：依题意，a2=，a3=，a4=3，a5=2，数列an是以4为周期的周期数
16、列，又2016=5044，a2016=a4=3，故答案为：314若|x3|+|x+5|a对于任意xR均成立，则实数a的取值范围（，8）【考点】绝对值不等式【分析】利用绝对值不等式的性质可得|x3|+|x+5|的最小值为8，由此求得a的范围【解答】解：|x3|+|x+5|=|3x|+|x+5|3x+x+5|=8，故|x3|+|x+5|的最小值为8，再由题意可得，当a8时，不等式对xR均成立，故答案为：（，8）15设a，bR+，且a+b=2则ab2的最大值为【考点】基本不等式【分析】化简得a=2b，0b2；从而可得f（b）=ab2=（2b）b2=b3+2b，f（b）=3b2+2=3（b+）（b），
17、从而求得【解答】解：a，bR+且a+b=2，a=2b，0b2；f（b）=ab2=（2b）b2=b3+2b，f（b）=3b2+2=3（b+）（b），故f（b）在（0，）上是增函数，在（，2）上是减函数；故ab2的最大值是f（）=故答案为：16在数列an中，a1=1，an+1an=2n，nN+则an=2n1【考点】数列递推式【分析】利用递推关系一步步地把通项用首项和关于n的表达式表示出来，即可求得结论【解答】解：a1=1，an+1an=2n，得，an=an1+2n1=an2+2n2+2n1=an3+2n3+2n2+2n1=a1+21+22+2n1=1+=2n1所以an=2n1故答案为：2n117已
18、知x，y满足，则的取值范围为2，6【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，求出的范围，转化所求的表达式为二次函数的最值求解即可【解答】解：x，y满足，的可行域如图：的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率，由可行域可知1kOA，由，可得A（1，3），kOA=31，3=+3=（）2+2.0，2，2，6故答案为：2，618如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求ACB=60，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，则AC最短为2+米【考点】三角形中的几何计算【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意
19、可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y0.5）米，在ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC22ACBCcosACB即（y0.5）2=y2+x22yx，化简，得y（x1）=x2，x1，210因此y=，y=（x1）+2+2当且仅当x1=时，取“=”号，即x=1+时，y有最小值2+故答案为：2+三、解答题（共5小题，满分60分）19已知函数f（x）=|x+a|+|x2|（1）当a=3时，求不等式f（x）3的解集；（2）若f（x）|x4|的解集包含1，2，求
20、a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求（2）原命题等价于2xa2x在1，2上恒成立，由此求得求a的取值范围【解答】解：（1）当a=3时，f（x）3 即|x3|+|x2|3，即，或，或解可得x1，解可得x，解可得x4把、的解集取并集可得不等式的解集为 x|x1或x4（2）原命题即f（x）|x4|在1，2上恒成立，等价于|x+a|+2x4x在1，2上恒成立，等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2xa2x在1，2上恒成立故当 1x2时，2x的最大值为21=3，2x的最小值为0，故a的取值范围为3，020已知
21、ABC中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边，2（sin2Asin2C）=（ab）sinB，ABC的外接圆半径为，（1）求角C；（2）求ABC面积S的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式的右边，整理后再利用余弦定理变形，求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，利用三角形的面积公式列出关系式，利用正弦定理化简后，将sinC的值及表示出的B代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数
22、，根据正弦函数的图象与性质即可得出面积的最大值【解答】解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：2（a2c2）=2b（ab），整理得：a2c2=abb2，即a2+b2c2=ab，c2=a2+b22abcosC，即a2+b2c2=2abcosC，2abcosC=ab，即cosC=，则C=；（2）C=，A+B=，即B=A，=2，即a=2sinA，b=2sinB，SABC=absinC=absin=2sinA2sinB=2sinAsinB=2sinAsin（A）=2sinA（cosA+sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A+（1cos2A）=sin2Acos2A+=sin（2A）+，则
23、当2A=，即A=时，SABCmax=21已知an是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，等比数列bn的首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20（1）求an和bn的通项公式； （2）求anbn的前n项和Tn【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（1）设公差为d，公比为q，则a2b2=（3+d）q=12，S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20联立结合d0可求d，q，利用等差数列，等比数列的通项公式可求an，bn（2）直接利用（1）的结论对数列anbn用错位相减法求和即可求Tn【解答】解：（1）设公差为d，公比为q，则a2b2=（3+d）q=12S3+b2=3a2+b
24、2=3（3+d）+q=20联立可得，（3d+7）（d3）=0an是单调递增的等差数列，d0则d=3，q=2，an=3+（n1）3=3n，bn=2n1（2）Tn=31+62+94+3n2n1，2Tn=32+64+98+3n2n，得：Tn=3（1+2+4+2n1）+3n2n1=3（1+）+3n2n1=3（n1）2n1Tn=3（n1）2n122某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料
25、150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为多少元，并求出此时生产A，B产品各少件【考点】简单线性规划的应用【分析】设生产A产品x件，B产品y件，利润总和为z，得出约束条件表示的可行域，根据可行域得出目标函数取得最大值时的最优解【解答】解：设生产A产品x件，B产品y件，利润总和为z，则，目标函数z=2100x+900y，做出可行域如图所示：将z=2100x+900y变形，得，由图象可知，当直线经过点M时，z取得最大值解方程组，得M的坐标为（60，100）所以当x=60，y=100时，zmax=210060+900100=216000故生产产
26、品A、产品B的利润之和的最大值为216000元23已知数列an的前n项和为sn，且an=Sn1+2（n2），a1=2（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，Tn=bn+1+bn+2+b2n，是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n，有Tn恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由【考点】数列与不等式的综合【分析】（1）将n换成n1，两式相减，运用n=1时，a1=S1，n1时，an=SnSn1，即可得到数列an的通项公式；（2）求出bn，Tn，Tn+1，作差，判断Tn的单调性，求出Tn的最小值，令小于最小值，即可求出正整数k的最大值【解答】解：（1）由已知an=Sn1+2，an+1=Sn+2，得an+1an=SnSn1 （n2），an+1=2an （n2）又a1=2，a2=a1+2=4=2a1，an+1=2an （n=1，2，3，）数列an是一个以2为首项，2为公比的等比数列，an=22n1=2n（2）bn=，Tn=bn+1+bn+2+b2n=+，Tn+1=bn+2+bn+3+b2（n+1）=+Tn+1Tn=+=n是正整数，Tn+1Tn0，即Tn+1Tn数列Tn是一个单调递增数列，又T1=b2=，TnT1=，要使Tn恒成立，则有，即k6，又k是正整数，故存在最大正整数k=5使Tn恒成立2016年12月16日
