1、第四节二次函数与幂函数学习要求:1.了解幂函数的概念.2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图象,了解函数的性质.1.二次函数(1)二次函数的定义:形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式:(i)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0);(ii)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a0);(iii)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).(3)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质:a0a0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0”.(2)“ax2+bx+c0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0时
2、,幂函数y=x有下列性质:a.图象都经过点(0,0)、(1,1).b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大.(ii)当0时,幂函数y=x有下列性质:a.图象都经过点(1,1).b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小.(3)五种常见幂函数的图象:(4)五种常见幂函数的性质:函数特征性质y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域RRR0,+)x|xR且x0值域R0,+)R0,+)y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0,+)时,增,x(-,0时,减增在0,+)上增x(0,+)时,减,x(-,0)时,减定点(0,0),(1,1)(1,1)1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(
3、1)函数y=2x12是幂函数.()(2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.()(3)当n0),g(x)=logax的图象可能是()答案D由于本题中函数为y=xa(x0)与y=logax,对于选项A,没有幂函数图象,故A错误;对于选项B,由y=xa(x0)的图象知a1,而由y=logax的图象知0a0)的图象知0a1,故C错误;对于选项D,由y=xa(x0)的图象知0a1,而由y=logax的图象知0a0时,x2-x-6=0,解得x=-2(舍去)或x=3;当x0时,x2+x-6=0,解得x=2(舍去)或x=-3;故f(x)的零点个数为2.故选B.5.若a0,则0.5a,5a,5-a的
4、大小关系是()A.5-a5a0.5aB.5a0.5a5-aC.0.5a5-a5aD.5a5-a0.5a答案B5-a=15a.因为a0,所以函数y=xa在区间(0,+)内单调递减.又150.55,所以5a0.5a5-a.6.(易错题)已知f(x)=x3,若当x1,2时,f(x2-ax)+f(1-x)0,则a的取值范围是()A.a1B.a1C.a32D.a32答案Cf(x)=x3在区间(-,+)内为奇函数且单调递增.由f(x2-ax)+f(1-x)0得f(x2-ax)f(x-1),x2-axx-1,即x2-(a+1)x+10.设g(x)=x2-(a+1)x+1(1x2),则g(1)0,g(2)0,
5、解得a32.故选C.易错分析忽视函数的奇偶性.幂函数的图象与性质典例1(1)若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限的图象如图所示,则m与n的取值情况为 ()A.-1m0n1B.-1n0mC.-1m0nD.-1n0m1(2)(2020四川高三二模)已知点(3,28)在函数f(x)=xn+1的图象上,设a=f33,b=f(ln),c=f54,则a,b,c的大小关系为()A.bacB.abcC.bcaD.cab答案(1)D(2)D解析(1)在第一象限作出幂函数y=xm,y=xn,y=x,y=x-1的图象,在(0,1) 内取同一值x0,作直线x=x0,与各图象有交点,易得0m1,-1n0,故
6、选D.(2)根据题意,点(3,28)在函数f(x)=xn+1的图象上,则有28=3n+1,解得n=3,则f(x)=x3+1,易得f(x)在R上为增函数,又54=35124312=331ln,所以ca1,y=x43在第一象限内的图象与y=x2的图象类似,排除B.故选A.2.幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+)上为增函数,则实数m的值为()A.0B.1C.1或2D.2答案D因为f(x)为幂函数,所以m2-2m+1=1,解得m=0或m=2.因为f(x)在(0,+)上为增函数,所以2m-10,即m12,所以m=2.故选D.3.(2019安徽合肥一中高三模拟)已知幂函数f(x)=xn
7、的图象过点8,14,且f(a+1)f(3),则a的取值范围是()A.(-4,2)B.(-,-4)(2,+)C.(-,-4)D.(2,+)答案B已知幂函数f(x)=xn的图象过点8,14,则8n=14,即n=log814=-23,故幂函数f(x)的解析式为f(x)=x-23,若f(a+1)3,解得a2.故选B.二次函数的解析式1.已知二次函数f(x)的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(0,0)和(-2,0),且函数f(x)有最小值-1,则f(x)=.答案x2+2x解析根据题意设二次函数的解析式为f(x)=ax(x+2)(a0),即f(x)=ax2+2ax,由题意得4a0-4a24a=-1,解得a
8、=1,f(x)=x2+2x.2.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且图象被x轴截得的线段长为2,并且对任意xR,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.解析f(2+x)=f(2-x)对任意的xR恒成立,f(x)的图象的对称轴为直线x=2.又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a0),f(x)的图象过点(4,3),3a=3,a=1,f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.3.已知函数f(x)为二次函数,且f(x-1)+f(x)=2x2+4,求f(x)的解析式.解析设f(x
9、)=ax2+bx+c(a0),由题意得a(x-1)2+b(x-1)+c+ax2+bx+c=2ax2+(2b-2a)x+a-b+2c=2x2+4,2a=2,2b-2a=0,a-b+2c=4,解得a=1,b=1,c=2.f(x)=x2+x+2.4.已知函数f(x)=ax2+6x-2b+3(a,b为常数),在x=1时,f(x)取得最大值2,求f(x)的解析式.解析当a0时,由题意,得-62a=1,a+6-2b+3=2,解得a=-3,b=2.f(x)=-3x2+6x-1,当a=0时,不符合题意,故f(x)=-3x2+6x-1.方法技巧求二次函数解析式的策略(1)已知三点坐标,选用一般式.(2)已知顶点
10、坐标、对称轴、最值,选用顶点式.(3)已知与x轴的交点坐标,选用零点式.二次函数的图象、性质及应用角度一二次函数的图象典例2下图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出下面四个结论:b24ac;2a-b=1;a-b+c=0;5a0,即b24ac,中结论正确;因为对称轴为直线x=-1,即-b2a=-1,所以2a-b=0,中结论错误;结合图象可知,当x=-1时,y0,即a-b+c0,中结论错误;由对称轴为直线x=-1知b=2a,又函数图象开口向下,所以a0,所以5a2a,即5ab,中结论正确,故选B.角度二二次函数的单调性典例3已知函数
11、f(x)=x2+2ax+3,x-4,6.(1)若y=f(x)在-4,6上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.解析(1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-2a2=-a,要使f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4或-a6,解得a4或a-6.故a的取值范围是(-,-64,+).(2)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,-4x0,x2-2x+3=(x-1)2+2,0x6,f(|x|)的单调递减区间是-4,-1)和(0,1),单调递增区间为-1,0和1,6.变式探究1若函数f(x)=x2+
12、2ax+3在-4,+)上为增函数,求a的取值范围.解析f(x)=x2+2ax+3在-4,+)上为增函数,且其图象的对称轴为直线x=-a,-a-4,即a4.变式探究2若函数f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为-4,+),则a为何值?解析f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为-4,+),且其图象的对称轴为直线x=-a,-a=-4,即a=4.角度三二次函数的最值问题典例4已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)当a=2,x-2,3时,求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1,求实数a的值.解析(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3=x+322-214,又x
13、-2,3,所以f(x)min=f-32=-214,f(x)max=f(3)=15,所以函数f(x)的值域为-214,15.(2)由题意可知,函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-2a-12.当-2a-121,即a-12时,f(x)max=f(3)=6a+3,即6a+3=1,解得a=-13,满足题意;当-2a-123,即a-52时,f(x)max=f(1)=2a-3,即2a-3=1,解得a=2,不满足题意;当1-2a-123,即-52a2x+m恒成立,求实数m的取值范围.解析由题意可知,f(x)2x+m等价于x2-x+12x+m,即x2-3x+1-m0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x
14、)0在-1,1上恒成立,只需使函数g(x)在-1,1上的最小值大于0即可.g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上单调递减,g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-10得mlg100=2,t2lg100=2,令f(x)=kx2+3(k-1)x+2k,易知k0,则有kf(2)0,即k(12k-6)0,解得0k12.名师点评1.二次函数、二次方程与二次不等式常结合在一起,而二次函数又是三个“二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,解决此类问题首先采用转化的思想,把方程、不等式问题转化为函数问题.借助函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.2.由不等式恒成立求参数
15、取值范围的思路及关键:(1)一般有两种解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于使用哪种思路解题,关键是看参数是否容易分离.这两种思路的依据:af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立af(x)min.1.已知mZ,一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1,x2,且0x12x24,则m=.答案-4解析因为一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1,x2,且0x12x24,所以二次函数f(x)=x2+mx+3分别在(0,2)和(2,4)内各有一个零点.所以f(0)f(2)0,f(2)f(4)02m+70,(2m+7)(4m+19)0
16、2m+70,解得m-194,即-194m-72.因为mZ,所以m=-4.2.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在-1,1上恒小于零,则实数a的取值范围是.答案-,12解析由题意可知,2ax2+2x-30在-1,1上恒成立.当x=0时,-30,成立;当x0时,a321x-132-16,令g(x)=321x-132-16,x-1,0)(0,1,由上式可知,当x=1时,g(x)取最小值12,a12.综上,实数a的取值范围是-,12.3.已知二次函数f(x)=x2-4x+3,当x0,m时,试确定f(x)的最大值.解析已知f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,x0,m,当0m2时,函数
17、f(x)在区间0,m上单调递减,则f(x)max=f(0)=3;当2m4时,函数f(x)在区间0,2上单调递减,在区间(2,m上单调递增,f(0)=3,f(m)=m2-4m+3=m(m-4)+33,则f(x)max=f(0)=3;当m4时,函数f(x)在区间0,2上单调递减,在区间(2,m上单调递增,f(0)=3,f(m)=m2-4m+3=m(m-4)+33,则f(x)max=f(m)=m2-4m+3.综上所述,f(x)max=3,0m4,m2-4m+3,m4.A组基础达标1.若幂函数f(x)的图象经过点12,4,则该函数的图象()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y
18、=x对称答案B设f(x)=x,依题意得12=4,解得=-2,所以f(x)=x-2,因为f(-x)=(-x)-2=x-2=f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.故选B.2.(2020四川宜宾第四中学模拟)若a=1223,b=1523,c=1213,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cabC.bcaD.ba0)是增函数,a=1223b=1523.y=12x是减函数,a=1223c=1213,baf(1),则()A.a0,4a+b=0B.a0,2a+b=0D.af(1),f(4)f(1),所以f(x)先减后增,所以a0,故选A.4.(2020广东潮州高级中学模拟)若幂函数y=x
19、m2-4m(mZ)的图象如图所示,则m的值为()A.0B.1C.2D.3答案C因为y=xm2-4m(mZ)的图象与坐标轴没有交点,所以m2-4m0,即0m4.又因为函数的图象关于y轴对称,且mZ,所以m2-4m为偶数,因此m=2.5.(2020湖南怀化第一中学模拟)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(nZ)在(0,+)上是减函数,则n的值为()A.-3B.1C.2D.1或2答案B6.(2020湖北荆州质量检查)若对任意的xa,a+2,均有(3x+a)38x3成立,则实数a的取值范围是()A.(-,-2B.(-,-1C.(-,0D.0,+)答案B因为(3x+a)38x3,y=x3
20、在R上递增,所以3x+a2x,解得x-a,即x(-,-a,因为对任意的xa,a+2,均有(3x+a)38x3成立,所以a,a+2是(-,-a的子集,所以a+2-a,所以a-1,即a的取值范围是(-,-1,故选B.7.已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)0),易知x(0,+)时,f(x)为减函数,f(a+1)0,10-2a0,a+110-2a,解得a-1,a3,3a5.8.已知关于x的方程(m-2)x2+3mx+1=0的两个根分别在区间(-1,0)和(0,2)内,则m的取值范围为.答案-12m0,f(-1)f(0)0,f(2)f(0)0,(-2m-1)10,(10m-7)10,所以-12
21、m710.9.(2020湖北汉川第一中学模拟)已知二次函数的图象与x轴只有一个交点,与y轴交于点(0,3),对称轴为直线x=3,则它的解析式为.答案y=13x2-2x+3解析由题意可设二次函数的解析式为y=a(x-3)2,又图象与y轴交于点(0,3),所以3=9a,即a=13.所以y=13(x-3)2=13x2-2x+3.B组能力拔高10.若0mn,kQ且k0,则1mk与1nk的大小关系是.答案1mk1nk解析因为0m1n0.又因为函数y=xk(kQ,k0)在(0,+)上单调递减,所以1mk0,由题意可知函数在x=12处取得最小值,即f12=a1212-1+1=34,解得a=1,故函数f(x)
22、的解析式为f(x)=x(x-1)+1=x2-x+1.(2)f(x)=x+m,即x2-x+1=x+m,故m=x2-2x+1,原问题等价于直线y=m与函数y=x2-2x+1的图象在区间(-1,2)上有且只有一个交点,函数图象如图所示,观察图象可得实数m的取值范围是m|m=0或1m4.12.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,方程f(x)=x的两根分别为-1,2,且f(3)=-1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)令g(x)=f(x)+2(m-1)x.若g(x1)=g(x2)(x1x2),求g(x1+x2)的值;求函数g(x)在区间1,2上的最大值.解析(1)因为方程f(x)=x的两根分别为-
23、1,2,所以f(x)-x=a(x+1)(x-2)(a0),即f(x)=ax2+(1-a)x-2a,又f(3)=-1a=-1,所以f(x)=-x2+2x+2.(2)由(1)可得g(x)=-x2+2mx+2,由g(x1)=g(x2)可得y=g(x)的图象关于直线x=x1+x22=m对称,所以g(x1+x2)=g(2m)=2.因为g(x)=-(x-m)2+m2+2,所以x1,2时,m2,g(x)max=g(2)=4m-2,所以g(x)max=2m+1,m2.C组思维拓展13.(2020浙江湖州第二中学模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0,bR,cR).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=f(x),x0,-f(x),x0,-(x+1)2,x0.所以F(2)+F(-2)=(2+1)2+-(-2+1)2=8.(2)由题意得f(x)=x2+bx,原问题等价于-1x2+bx1在(0,1上恒成立,即b1x-x且b-1x-x在(0,1上恒成立.又当x(0,1时,1x-xmin=0,-1x-xmax=-2,所以-2b0.故b的取值范围是-2,0.
