1、 第四章 指数函数与对数函数 4.1.2 无理指数幂及其运算本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1.2节无理指数幂及其运算第课时。从内容上看它是上节指数由整数指数幂推广到了分数指数幂，从而将指数幂的运算法则推广到了有理数的范围，本节从有理数指数幂出发，进一步推广到了无理数，从而再整个实数范围内，都可以进行指数幂的运算。体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础。课程目标学科素养1. 理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则，会根据根式和分数指数幂的关系和分数指数幂的运算法则进行计算分数指数幂；2.了解可以由有
2、理数指数幂无限逼近无理数指数幂。3.培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养。a.数学抽象：指数幂的概念；b.逻辑推理：无理数指数幂的含义；c.数学运算：指数幂的运算；d.直观想象：指数幂的运算法则；e.数学建模：将指数幂的运算性质推广到实数的范围；重点：分数指数幂和无理指数幂的概念；难点：根式与分数指数幂的互化；指数幂的运算性质；多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标（一）、温故知新1分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a (a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂规定：a(a0，m，nN*，且n1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3、.2有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ) (2)(ar)sars(a0，r，sQ)(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3.小试牛刀1思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.() (2)5.()(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如a.()答案(1)(2)(3)24等于()A25 B. C. D.B4，故选B.3已知a0，则a等于() A. B C. DBa.4(m)4(1)0_.m21(m)4(1)0m21.（二）、探索新知无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。无理数指数幂：一般地，无理
4、数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂；观察下表：的是 否表示一个确定的实数？ 的过剩近似值 的近似值1.511.180 339 891.429.829 635 3281.4159.750 851 8081.414 39.739 872 621.414 229.738 618 6431.414 2149.738 524 6021.414 213 69.738 518 3321.414 213 579.738 517 8621.414 213 5639.738 517 752由上可以看出： 可以由的不足近似值和过剩近似值进行无限逼近。（三）典例解
5、析题型1 根式与分数指数幂的互化例1 将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)(a0)；(2)；(3)(b0). 规律方法根式与分数指数幂互化的规律1)根指数分数指数的分母被开方数(式)的指数分数指数的分子2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题跟踪训练1将下列根式与分数指数幂进行互化(1)a3；(2)(a0，b0)题型2、利用分数指数幂的运算性质化简求解例2、化简求值规律方法指数幂运算的常用技巧1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算2)负指数幂化为正指数幂的倒数3.底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形
6、式表示，便于用指数幂的运算性质跟踪训练2(1)计算：0.0640(2)3160.75|0.01|；(2)化简：(a0)题型3 指数幂运算中的条件求值1.2和2存在怎样的等量关系？提示：224.2已知的值，如何求a的值？反之呢？提示：设m，则两边平方得am22；反之若设an，则nm22，m.即.例3、已知aa4，求下列各式的值：(1)aa1；(2)a2a2. 解(1)将aa4两边平方，得aa1216，故aa114.(2)将aa114两边平方，得a2a22196，故a2a2194.母题探究：1.在本例条件不变的条件下，求aa1的值2在本例条件不变的条件下，求a2a2的值解1、由上题可知，a2a2(
7、aa1)(aa1)814112.解2、令aa1t，则两边平方得a2a2t22，t22194，即t2192，t8，即aa18.规律方法解决条件求值的思路1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用通过温故知新，帮助学生正确理解根式与分数指数幂的概念，进一步熟悉它们之间的转化，培养和发展数学抽象和数学运算的核心素养。合作探究：探究.无理指数幂的概念，通过有理指数幂不断逼近，体会无理指数幂的含义。发展学生数学推理能力；通过典例问题的分析，让学生观察分析，归纳根式
8、与分数指数幂的互化。感受由特殊到一般的思想方法，发展逻辑推理能力；三、当堂达标1下列运算结果中，正确的是()Aa2a3a5 B(a2)3(a3)2C(1)01 D(a2)3a6答案Aa2a3a23a5；(a2)3a6(a3)2a6；(1)01，若成立，需要满足a1，故选A.2 把根式a化成分数指数幂是()A(a) B(a) Ca Da答案D由题意可知a0，故排除A、B、C选项，选D.答案：4若10m2,10n3，则103mn_. 答案10m2，103m238，又10n3，所以103mn. 通过练习巩固本节所学知识，提高解决根式的化简及根式与分数指数幂的互化能力，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。四、小结1.利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化成分数指数幂或把分母的 指数化成负指数，再根据同底数幂相乘的法则运算。2.指数幂运算性质五、作业1. 课时练 2. 预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；
