1、河南省商丘市第一高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）第I卷（选择题，共60分）注意事项：答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，选A.考点：集合运算【名师点睛】1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义
2、求解2求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍4在解决有关AB，AB等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解2.在中，“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件和必要条件的概念，直接分析即可得出结果.【详解】当时，成立若当时，满足即由“”能推出“”；反之不一定成立.所以，“”是“”的充分不必要条件故选A【点睛】
3、本题主要考查充分不必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.3.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】化简成标准形式即可【详解】解：所以复数对应的点位于第四象限故选：D【点睛】考查复数的运算以及复数的几何意义，基础题.4.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 4【答案】B【解析】【分析】作出可行域，看目标函数的截距即可【详解】解：作可行域如图：由得，当过，截距最大，此时故选：B【点睛】考查线性规划求最大值，基础题.5.已知是等差数列的前项和，若，则（ ）A. 40B. 80C. 3
4、6D. 57【答案】D【解析】【分析】由，代入求和公式即可.【详解】解：故选：D【点睛】考查等差数列求和，基础题.6.己知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且 (为原点)，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】联立准线方程和双曲线方程，结合，找到关系可求离心率【详解】解：的准线，的一条渐近线方程时，根据对称性，有又故选：C【点睛】考查双曲线的离心率的求法，基础题.7.已知，的线性回归直线方程为，且，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为A. 变量，之间呈现正相关关系B. 可以预测，当时，C. D. 由表格数据可知，该回
5、归直线必过点【答案】C【解析】【分析】A中，根据线性回归直线方程中回归系数0.820，判断x，y之间呈正相关关系；B中，利用回归方程计算x5时的值即可预测结果；C中，计算、，代入回归直线方程求得m的值；D中，由题意知m1.8时求出、，可得回归直线方程过点（，）【详解】已知线性回归直线方程为0.82x+1.27，0.820，所以变量x，y之间呈正相关关系，A正确；计算x5时，0.825+1.275.37，即预测当x5时y5.37，B正确；（0+1+2+3）1.5，（0.8+m+3.1+4.3），代入回归直线方程得0.821.5+1.27，解得m1.8，C错误；由题意知m1.8时，1.5，2.5，
6、所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D正确故选C【点睛】本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题8.已知函数是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对任意两个不相等的正数，都有，判断在单调递减，再证明是上的偶函数，根据单调性判断即可【详解】解：不妨设，则，因为，所以，即在单调递减，因为函数是定义在上的奇函数，是上的偶函数，所以故选：A【点睛】考查根据式子的结构构造新函数的能力，同时利用单调性比较大小，基础题.9.如下图，四边形中，则线段长度的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】当时
7、，取得最小值为，故选B.10.在等比数列中，若，则（ ）A 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的性质及其，可得，代入即可得出【详解】解：数列是等比数列，故选：C【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.已知F1，F2分别是椭圆C: (ab0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，线段PF1的中垂线经过F2，PF22c，即椭圆上存在一点P，使得PF22c.ac2cac.e.选C.【点睛】求离心率范围时，常转化为
8、x,y的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等，建立焦半径与的关系，从而由焦半径的范围求出离心率的范围12.定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，则根据导数可判断单调递减，于是，化简即可得出结论【详解】解：，令，则，在上是减函数，即，故选：A【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，构造是解题关键，属于中档题第II卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效二、填空题（本
9、大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设函数 ，若，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【详解】由题意或或或，则实数的取值范围是，故答案为.14.设，求函数的最小值为_【答案】9【解析】试题分析：本题解题的关键在于关注分母，充分运用发散性思维，经过同解变形构造基本不等式，从而求出最小值.试题解析：由得，则当且仅当时，上式取“=”，所以.考点：基本不等式；构造思想和发散性思维.15.设直线与函数，的图象分别交于点，则当达到最小值时，的值为_【答案】1【解析】【分析】先构造函数：设，再利用导数求函数的单调性及极值：由，即函数在为减函数，在为增函数，即，得解【详解】解：设，则，当时，当时，即函数
10、在为减函数，在为增函数，即，即当达到最小值时，的值为1，故答案为：.【点睛】本题考查了构造函数求距离的最值及导数的应用，属于中档题16.已知，命题，.命题，若命题 为真命题，则实数的取值范围是_.【答案】或【解析】【分析】命题命题为真时，； 命题命题为真时，所以或，则由得或【详解】解：命题，命题，则，所以或若命题为真命题，则由得或故答案为： 或【点睛】考查根据“若命题为真命题，则命题为真且为真”求参数范围，基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且.（1）求角A的大小；（2）设的面积为，求的取值
11、范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得：，化简整理即可（2）的面积为，得 ，由余弦定理可得：，【详解】解：（1）.由正弦定理可得：，又，可得：，又，所以. （2）因为，的面积为，解得 由余弦定理可得：，当且仅当时等号成立.综上，边的取值范围为【点睛】考查正、余弦定理以及基本不等式的应用，中档题.18.已知是等比数列，数列满足，且是等差数列.（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和.【答案】() ；（）.【解析】试题分析：（）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即
12、可求解数列的和试题解析：（）设等比数列的公比为，由题意得，解得.所以.设等差数列的公差为，由题意得.所以.（）由（）知.数列的前项和为；数列的前项和为所以，数列的前项和为.19.在某超市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的列联表，已知从其中使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为.青年中老年合计使用手机支付60不使用手机支付28合计100（1）根据已知条件完成列联表，并根据此资料判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”.（2）现按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”进行分层抽样，从这100名顾客中抽取容量为5的样本，求“从样本中任选3人
13、，则3人中至少2人使用手机支付”的概率.（其中 ）【答案】（1）列联表见解析，有；（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件求出老年的人数，青年的人数，即可完成列联表，并根据此资料求出，即可判断是否有的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”（2）这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中：使用手机支付的人有3人，记编号为1，2，3；不使用手机支付的人有2人，记编号为，列出事件数目，然后求解至少有2人是不使用手机支付的概率【详解】解：（1）从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为使用手机支付的人群中的青年的人数为人，青年中老年合计
14、使用手机支付481260不使用手机支付122840合计6040100则使用手机支付的人群中的中老年的人数为人，所以列联表为：故有99.9%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.（2）这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中：使用手机支付的人有人，使用手机支付的人有3人，记编号为1，2，3；不使用手机支付的人有2人，记编号为，则从这个样本中任选3人有共10种其中至少有2人是使用手机支付的共7种，故所求概率为【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查古典概型概率的求法以及计算能力，属于中档题20.已知椭圆：的右焦点为，右顶点为，设离
15、心率为，且满足，其中为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）过点（0,1）的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值.【答案】(1) ;(2) .【解析】【分析】（1）设椭圆的焦半距为c，结合题意分析可得，结合椭圆的几何性质可得a、b的值，代入椭圆的方程即可得答案；（2）由题意分析可得直线l与x轴不垂直，设其方程为y=kx+1，联立l与椭圆C的方程，可得（4k2+3）x2+8kx8=0，结合根与系数的关系可以用k表示|MN|与O到l的距离，由三角形面积公式计算可得OMN的面积 .，由基本不等式分析可得答案【详解】（1）设椭圆的焦半距为，则，.所以，其中，又，联立解得，.所以椭圆的方程是.（2）由题意
16、直线不能与轴垂直，否则将无法构成三角形.当直线与轴不垂直时，设其斜率为，那么的方程为.联立与椭圆的方程，消去，得.于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是，这显然成立.设点，.由根与系数的关系得，.所以 ，又到的距离.所以的面 .令，那么 ，当且仅当时取等号所以面积的最大值是.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21.已
17、知函数，.（1）求函数的极值；（2）当时，若直线：与曲线没有公共点，求的取值范围.【答案】（1）当时，函数无极值；当时，有极小值为，无极大值.（2）.【解析】【分析】（1）求得，可分和两种情况分类讨论，得出函数的单调性，即可求得函数的极值；（2）当时，把直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解，即在上没有实数解，令，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解实数的取值范围.【详解】（1）定义域为，.当时，为上的增函数，所以函数无极值.当时，令，解得.当，在上单调递减；当，在上单调递增.故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.综上，当时，函数无极值；当时，
18、有极小值为，无极大值.（2）当时，直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解，即在上没有实数解.令，则有.令，解得，当变化时，的变化情况如下表：且当时，；时，的最大值为；当时，从而的取值范围为.所以当时，方程无实数解，解得的取值范围是.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值，以及函数与方程思想的应用，试题综合性较强，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握导数与函数性质的关系是解答关键，同时准确求解函数的导数也是一个重要的环节.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中 为参
19、数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆的极坐标方程为.（1）求曲线的方程普通方程和的直角坐标方程；（2）过圆的圆心，倾斜角为的直线与曲线交于两点，则的值.【答案】（1）：，：；（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果【详解】解：(1)曲线的参数方程为(其中为参数)，消去参数可得曲线的极坐标方程变为直角坐标的方程为：(2) 可知的圆心坐标为，直线的参数方程为(其中为参数)，代入可知，因为，可知【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题23.已知.（1）求不等式的解集；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)把分段表示，后解不等式（2）不等式恒成立等价于恒成立，则，求其最大值即可.【详解】解：(1) 当时，由得，即解集为，当时，由得，解集为，当时，由得，解集为，综上所述，的解集为(2)不等式恒成立等价于恒成立，则，令，则，即所以实数的取值范围是【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.
