1、第3讲基本初等函数(对应学生用书(文)、(理)79页) 1. 掌握指数、对数的运算2. 理解指数函数、对数函数的概念、图象和性质3. 能利用基本初等函数的性质解决某些简单实际问题4. 了解幂函数的定义，熟悉常见幂函数的图形与性质1. 函数yloga(x2)1(a0，a1)的图象经过的定点坐标为_答案：(1，1)2. 若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_答案：(，1)(1，)解析：由y(a21)x在(，)上为减函数，得0a211， 1a22，即1a或a1.3. 若函数f(x)4xk2xk3有唯一零点，则实数k的取值范围是_答案：(，3)6解析：设t2x，t0，则关于x的
2、方程4xk2xk30转化为t2ktk30，设f(t)t2ktk3，原方程只有一个根，则换元以后的方程有一个正根， f(0)0，或0， k3或k6.4. 定义：区间x1，x2(x1x2)的长度为x2x1.已知函数y|log0.5x|的定义域为a，b，值域为0，2，则区间a，b的长度的最大值为_答案：解析：由函数y|log0.5x|得x1时y0；x4或x时y2， 4.题型一 函数解析式及性质讨论例1 函数f(x)(a、b、cZ)是奇函数，且f(1)2，f(2)3.(1) 求a、b、c的值；(2) 当x0时，讨论f(x)的单调性解：(1)函数f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立， c0.又由f(
3、1)2，f(2)3，得 0b，bZ, b1，a1.(2) f(x)x，函数在(，1)上递增，在(1，0)上递减已知函数f(x)a(aR)(1) 试判断f(x)的单调性，并证明你的结论；(2) 若f(x)为定义域上的奇函数，求： 函数f(x)的值域； 满足f(ax)f(2ax2)的x的取值范围解：(1) 函数f(x)为定义域(，)，且f(x)a，任取x1，x2(，)，且x1x2，则f(x2)f(x1)aa， y2x在R上单调递增，且x1x2， 02x10，2x110，2x210， f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)， f(x)在(，)上是单调增函数(2) f(x)是定义域上的奇函数，
4、 f(x)f(x)，即a0对任意实数x恒成立，化简得2a0， 2a20，即a1， 由a1得f(x)1， 2x11， 01， 20， 111，故函数f(x)的值域为(1，1) 由a1得f(x)f(2x2)，且f(x)在(，)上单调递增， x2x2，解得2x2xm恒成立，求实数m的取值范围解：(1) 由条件得f(x)f(x)0， log2log20，化简得(a21)x20，因此a210，a1，但a1不符合题意，因此a1.(2) 判断函数f(x)在x(1，)上为单调减函数；证明如下：设1x1x2，f(x1)f(x2)log2x1log2x2log2(x2x1)， 1x10，x110，x210. (x
5、11)(x21)(x11)(x21)x1x2x1x21x1x2x1x212(x2x1)0，又(x11)(x21)0，(x11)(x21)0， log20， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)， 函数f(x)在x(1，)上为单调减函数(3) 不等式为mf(x)2x恒成立， mg(x2)成立，求实数m的取值范围解：(1) 方程f(x)|m|，即|xm|m|.此方程在xR时的解为x0或x2m.要使方程|xm|m|在x4，)上有两个不同的解，则2m4且2m0.所以m的取值范围是m2且m0.(2) 原命题等价于：对于任意x1(，4，任意x23，)，f(x1)ming(x2)min.对于任意x
6、1(，4，f(x1)min对于任意x23，)，g(x2)min 当m3时，0m210m9，解得1m3. 当3m4时，0m27m，解得3m4. 当m4时，m4m27m，解得40，且a1，函数f(x)loga(x1)，g(x)loga，记F(x)2f(x)g(x)(1) 求函数F(x)的定义域D及其零点；(2) 若关于x的方程F(x)m0在区间0，1)内有解，求实数m的取值范围解：(1) F(x)2f(x)g(x)2loga(x1)loga(a0且a1)，由解得1x1，所以函数F(x)的定义域为(1，1)令F(x)0，则2loga(x1)loga0(*)方程变为loga(x1)2loga(1x)，
7、即(x1)21x，即x23x0，解得x10，x23，经检验x3是方程(*)的增根，所以方程(*)的解为x0，即函数F(x)的零点为0.(2) m2loga(x1)loga(0x1，则m0，方程有解； 若0a1，则m0，方程有解题型四 函数与方程、不等式综合应用问题例4 已知函数g(x)ax22ax1b(a0，b1)，在区间2，3上有最大值4，最小值1，设f(x).(1) 求a、b的值；(2) 不等式f(2x)k2x0在x1，1上恒成立，求实数k的取值范围；(3) 方程f(|2x1|)k0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围解：(1) g(x)a(x1)21ba，当a0时，g(x)在2，3上为
8、增函数，故当a0时，g(x)在1，2上是增函数， 即解得当m0时， g(x)1n，无最大值和最小值；当m0时， g(x)在1，2上是减函数， 即解得 n0，n1舍去综上，m、n的值分别为1、0.(2) 由(1)知f(x)x2， f(log2x)2klog2x0在x2，4上有解等价于log2x22klog2x在x2，4上有解，即2k1在x2，4上有解令t，则2kt22t1， x2，4， t.记(t)t22t1， t1， (t)max， k的取值范围为.(3) 原方程可化为|ex1|2(3k2)|ex1|(2k1)0.令|ex1|t，则t(0，)，由题意知t2(3k2)t2k10有两个不同的实数解
9、t1、t2，其中0t11或0t10， 实数k的取值范围是(0，)1. (2013全国卷)设f(x)是以2为周期的函数，且当x1，3)时，f(x)x2，则f(1)_答案：12. (2014山东卷)函数f(x)的定义域为_答案：(2，)解析：由已知得(log2x)210，即log2x1或log2x2或0x.3. (2013天津卷)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数a满足f(log2a)f(loga)2f(1)，则a的取值范围是_答案：解析：f(log2a)f(loga)2f(1)即为2f(log2a)2f(1)，|log2a|1，所以a2.4. 已知f(x)m(x
10、2m)(xm3)，g(x)2x2.若xR，f(x)0或g(x)0，则实数m的取值范围是_答案：(4，0)解析：根据g(x)2x20x1，由于题目中条件的限制，导致g(x)在x1时必须是f(x)0，当m0时，f(x)0，不能做到g(x)在x1时，f(x)0，所以舍去，因此f(x)作为二次函数开口只能向下，故m0，且此时f(x)的2个根为x12m，x2m3，为保证条件成立，只需和大前提m0取交集结果为4m0.(1) 讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2) 当x0，1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值解：(1) f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2，令f(x)0得x1，x2，x
11、1x2， f(x)3(xx1)(xx2)，当xx2时f(x)0；当x1x0，故f(x)在和(，)内单调递减，在内单调递增(2) a0， x10， 当a4时x21，由(1)知f(x)在0，1上单调递增， f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值 当4a0时，x2a0时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0和x1处同时取得最小值；当4a1时，f(x)在x0取得最小值(本题模拟高考评分标准，满分14分)(2014南通一模)已知a为实常数，yf(x)是定义在(，0)(0，)上的奇函数，且当x0)在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_答案：8解析：因
12、为定义在R上的奇函数，满足f(x4)f(x)，所以f(x4)f(x)又f(x)是奇函数，函数图象关于直线x2对称且f(0)0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数又f(x)在区间0，2上是增函数，所以f(x)在区间2，0上也是增函数如图所示，那么方程f(x)m(m0)在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1x2x3x4，由对称性知x1x212，x3x44，所以x1x2x3x41248.2. 已知函数f(x)x3(k2k1)x25x2，g(x)k2x2kx1，其中kR.(1) 设函数p(x)f(x)g(x)若p(x)在区间(0，3)上不单
13、调，求k的取值范围；(2) 设函数q(x)是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2(x2x1)，使得q(x2)q(x1)成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由解： (1)p(x)f(x)g(x)x3(k1)x2(k5)x1，p(x)3x22(k1)x(k5)，因为p(x)在区间(0，3)上不单调，所以p(x)0在(0，3)上有实数解，且无重根，由p(x)0得k(2x1)(3x22x5)， k，令t2x1，有t(1，7)，记h(t)t，则h(t)在(1，3上单调递减，在3，7)上单调递增，所以有h(t)6，10)，于是(2x1)6，10)，得k(5，2，而当k2时有p(
14、x)0在(0，3)上有两个相等的实根x1，故舍去，所以k(5，2)(2) 当x0时，有q(x)f(x)3x22(k2k1)x5；当x0时，有q(x)g(x)2k2xk.因为当k0时不合题意，因此k0，下面讨论k0的情形，记A(k，)，B(5，)，当x10时，q(x)在(0，)上单调递增，所以要使q(x2)q(x1)成立，只能x20且AB，因此有k5，当x10时，q(x)在(，0)上单调递减，所以要使q(x2)q(x1)成立，只能x20且BA，因此k5，综合k5；当k5时AB，则x10，q(x1)BA，即x20，使得q(x2)q(x1)成立因为q(x)在(0，)上单调递增，所以x2的值是唯一的；同理，x10，即存在唯一的非零实数x2(x2x1)，使q(x2)q(x1)成立，所以k5满足题意 请使用“课后训练第3讲”活页练习，及时查漏补缺！
