1、百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）文科数学（第六模拟）一、选择题：共12题1已知复数z=(i为虚数单位),则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】本题考查复数的运算、复数的几何意义等知识,考查考生基本的运算能力.i2 015=i4503+3=i3=-i,z=-i,+i,其在复平面内对应的点位于第一象限,故选A. 2设集合A=(x,y)|y=x+1,xR,B=(x,y)|x2+y2=1,则满足C(AB)的集合C的个数为A.0B.1C.2D.4【答案】D【解析】本题考查集合的关系、集合的子集个数的求法.求解本题的关键是
2、确定集合AB中元素的个数.通解解方程组得,所以AB=(0,1),(-1,0),即AB中有两个元素,因为C(AB),所以集合C的个数是4,故选D.优解在同一坐标系中作出直线y=x+1和圆x2+y2=1,由图可知,直线与圆有两个交点,即AB中有两个元素,因为C(AB),所以集合C的个数是4. 3已知向量a=(9,m2),b=(1,-1),则“m=-3”是“ab”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查向量垂直的条件及充要关系的判断,属于基础题.当m=-3时,a=(9,9),ab=91+9(-1)=0,所以ab;当ab时,由ab=9-m
3、2=0,得m=3,故“m=-3”是“ab”的充分不必要条件. 4为了丰富学生的课余生活,某校举办了“你来比划,我来猜”的猜成语活动,若甲、乙两个班级各10个小组参加了此项活动,对其猜对成语的个数进行统计,得到如茎叶图所示的两组数据,对这两个班级10个小组猜对成语的个数的平均数,和中位数y甲,y乙进行比较,正确的结论是A.,y甲y乙B.,y甲y乙C.,y甲y乙D.,y甲y乙【答案】D【解析】本题主要考查考生对统计数据的处理能力,解题时对茎叶图要能够正确读数,掌握中位数及平均数的计算方法.由茎叶图得=28,=35,y甲=27,y乙=35.5,y甲y乙,故选D. 5阅读如图所示的程序框图,运行相应的
4、程序,则输出S的值为A.15B.14C.7D.6【答案】A【解析】本题主要考查程序框图的知识,意在考查考生的运算求解能力.对于循环结构的程序框图,应特别注意循环结束时的条件.第一次循环,得a=2,S=1+2=310;第二次循环,得a=4,S=3+4=710,输出S的值为15.故选A. 6已知双曲线-=1(a0,b0) 的一条渐近线的方程是y=x,且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【答案】B【解析】本题主要考查双曲线的几何性质以及考生分析问题、解决问题的能力.双曲线的渐近线方程是y=x,所以,抛物线的准线方程为x=-,所以c=,
5、由a2+b2=c2,可得a2=4,b2=3,故选B. 7设函数f(x)=sinx+cosx(0)的最小正周期为,将y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的一条对称轴为A.x=-B.x=C.x=D.x=【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质.解题时,先依据最小正周期得到函数f(x)的解析式,再利用平移法则得到g(x),即可求出g(x)的一条对称轴.f(x)=sinx+cosx=2sin(x+),由T=,得=2,即f(x)=2sin(2x+),所以g(x)=2sin2(x-)+=2sin(2x-)=-2cos 2x,代入验证得g(x)的一条对称轴为x
6、=,故选C. 8已知实数x,y满足不等式组,则z=的取值范围为A.-2,3B.-,3C.-,D.,3【答案】B【解析】本题主要考查不等式组所表示的平面区域的简单应用,考查考生的运算求解能力,属于中档题.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由题意可知,z=2,它表示平面区域内的点(x,y)与定点M(1,-)的连线的斜率的2倍.由图可知,当点(x,y)位于点C时,直线的斜率取得最小值-;当点(x,y)位于点A时,直线的斜率取得最大值.故z=的取值范围是-,3,选B. 9在等差数列an中,a1=-2 014,其前n项和为Sn,若-=2 005,则S2 016的值等于A.2 015B.-2
7、 016C.2 016D.-2 015【答案】C【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式的运用,考查考生分析问题、解决问题的能力.通解设等差数列an的公差为d,在等差数列an中,因为Sn=na1+d,=a1+(n-1),由-=2 005,得-2 014+(2 015-1)-2 014+(10-1)=2 005,化简得d=2 005,所以d=2,所以S2 016=2 016(-2 014)+2=2 016,故选C.优解设等差数列an的公差为d,在等差数列an中,Sn=na1+d,=a1+(n-1),即数列是首项为a1=-2 014,公差为的等差数列.因为-=2 005,所以(2 01
8、5-10)=2 005,=1,所以+(2 016-1)1=-2 014+2 015=1,所以S2 016=2 016,故选C. 10一个三棱柱的直观图、正(主)视图、侧(左)视图、俯视图如图所示,若M,N分别为A1B,B1C1的中点,则下列选项中错误的是A.MN与A1C异面B.C.MN平面ACC1A1D.三棱锥N-A1BC的体积为a3【答案】D【解析】本题主要考查三视图和简单几何体的结构特征,意在考查考生的空间想象能力和运算能力.取A1B1的中点D,连接DM、DN.由于M、N分别是A1B、B1C1的中点,所以可得DNA1C1,又DN平面A1ACC1,A1C1平面A1ACC1,所以DN平面A1A
9、CC1.同理可证DM平面A1ACC1.又DMDN=D,所以平面DMN平面A1ACC1,所以MN平面ACC1A1,直线MN与A1C异面,A,C正确.由三视图可得A1C1平面BCC1B1,所以DN平面BCC1B1,所以DNBC,又易知DMBC,所以BC平面DMN,所以BCMN,B正确.因为(a2)a=a3,所以D错误.故选D. 11已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若=0,且F1PF2的三边|PF2|,|PF1|,|F1F2|依次成等差数列,则椭圆C的离心率为A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查椭圆的定义、几何性质及等差数列的应用,考查考生的运算能力和
10、灵活运用知识的能力.不妨假设|PF1|PF2|,|PF1|=m,所以|PF2|=2a-m.因为|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,所以2m=2a-m+2c,即m=.因为=0,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以m2+(2a-m)2=(2c)2,将m=代入化简得7c2+2ac-5a2=0,即7e2+2e-5=0,得e=,故选A. 12已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f(x),满足f(x)-f(x)0,且f(2-x)=f(2+x),f(4)=1,则不等式f(x)ex的解集为A.(-,e4)B.(e4,+)C.(-,0)D.(0,+)【答案】D【解析】本题以
11、导数为背景,考查函数的单调性以及不等式性质的应用,正确构造出新函数是解决本题的关键.构造函数g(x)=,则g(x)=0,g(x)是R上的减函数.f(2-x)=f(2+x),令x=2,得f(0)=f(4)=1,不等式f(x)ex等价于0,不等式f(x)ex的解集为(0,+),故选D. 二、填空题：共4题13已知函数f(x)=,则f(f()=.【答案】【解析】本题主要考查分段函数的运算,解题时由内到外计算即可得出结果.f()=ln=-1,所以f(f()=f(-1)=e-1=. 14若是锐角,且cos(+)=-,则sin的值为.【答案】【解析】本题考查三角恒等变换、同角三角函数间的基本关系,考查转化
12、与运算能力.通解由cos(+)=-,得cos-sin=-,cos=(sin-),代入sin2+cos2=1,得4sin2-sin-=0,解得sin=,是锐角,sin=.优解是锐角,+,又cos(+)=-,sin(+)=,sin=sin(+)-=sin(+)cos-cos(+)sin-(-). 15已知边长为3的等边三角形ABC的三个顶点都在以O为球心的球面上,若三棱锥O-ABC的体积为,则球的表面积为.【答案】16【解析】本题考查球的相关知识,考查考生的空间想象能力.解题时,先根据正弦定理求出等边三角形外接圆的半径,再利用三棱锥O-ABC的体积求出球的半径,从而得出球的表面积.设三角形ABC的
13、外接圆的半径为r,圆心为O1,由正弦定理得2r=2,r=.O1O平面ABC,VO-ABC=32|O1O|=,|O1O|=1,球O的半径R=2,S球=4R2=16. 16已知函数f(x)=x为取整函数,其中x表示不大于x的最大整数,例如2.1=2,-1.3=-2.若an=,nN*,Sn为数列an的前n项和,则S100=.【答案】3 775【解析】本题主要考查数列的分组求和、新定义取整函数的应用,考查考生的审题能力、推理能力、归纳能力以及分析问题和解决问题的综合能力.n为奇数时,a1=f()=0,a3=f()=1,a99=f()=49,a101=f()=50.n为偶数时,a2=2a3=2,a4=2
14、a5=4,a100=2a101=100.所以S100=a1+a2+a100=(a1+a3+a99)+(a2+a4+a100)=(0+1+49)+(2+4+100)=3 775. 三、解答题：共8题17已知在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b-)sinB+(c-)sinC-asinA=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,求b+c的取值范围.【答案】(1)因为(b-)sinB+(c-)sinC-asinA=0,由正弦定理得(b-)b+(c-)c-a2=0,化简得b2+c2-a2-bc=0,即cosA=,A=.(2)由正弦定理可得=2,所以b=2sinB,c=2sinC,b+c=
15、2(sinB+sinC)=2sinB+sin(-B)=2(sinB+cosB+sinB)=3sinB+cosB=2sin(B+).因为0B,所以B+,即0),过点(4,0)作直线l交抛物线于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点O.(1)求抛物线的方程;(2)过抛物线上的定点M(1,)作两条关于直线x=1对称的直线,分别交抛物线于C,D两点,连接CD,试问:直线CD的斜率是否为定值?请说明理由.【答案】(1)当直线l的斜率不存在时,2=4,p=2,y2=4x.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-4)(k0),联立,消去y得k2x2-(8k2+2p)x+16k2=0,设A(x1,y1
16、),B(x2,y2),则x1x2=16,所以=4p2x1x2=64p2,y1y2=-8p,由=0,得x1x2+y1y2=0,即16-8p=0,所以p=2,故抛物线的方程为y2=4x.综上,抛物线的方程为y2=4x.(2)由(1)知,M(1,2),设直线CD的方程是x=my+n,显然直线CD不过点M.联立,消去x得y2-4my-4n=0,设C(x3,y3),D(x4,y4),则,由题意MC,MD两直线关于直线x=1对称等价于直线MC,MD的倾斜角互补,即kMC+kMD=0,即+=0,整理得(y3-2)(x4-1)+(y4-2)(x3-1)=0,即x3y4+x4y3-2(x3+x4)-(y3+y4
17、)+4=0,将和代入上式化简得(m+1)(n+2m-1)=0,要使上式恒成立,当且仅当m+1=0或n+2m-1=0.当m+1=0,即m=-1时,直线CD的方程为x=-y+n,即直线CD的斜率为-1.当n+2m-1=0时,将n=1-2m代入直线CD的方程得x=my+1-2m,即x-1=m(y-2),此时直线CD过点M(1,2),与题意矛盾.所以直线CD的斜率恒为定值-1.【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查考生分析问题、解决问题的能力.求解此类试题通常是将直线与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系求解.【备注】直线与圆的方程,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等内容是解析几何的基石,
18、也是高考命题的重点和热点内容,此外直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的另一个重点,解题时,要注意应用根与系数的关系.求解与圆锥曲线有关的最值和取值范围问题时,常把所讨论的参数作为一个函数,选一个适当的自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的取值范围.21已知fn(x)=axn-nbx+c,g(x)=lnx,h(x)=fn(x)+kg(x).(1)当n=2,k=1时,若h(x)的单调递减区间是(,1),求实数a+b的值;(2)当b=c=1时,若f3(x)0对于区间-1,1内的任意实数x恒成立,求实数a的值.【答案】(1)当n=2,k=1时,h(x)=ax2-2bx+lnx+c(x0),
19、则h(x)=(x0).要使h(x)的单调递减区间是(,1),则h(1)=h()=0,得,解之得.另一方面当a=1,b=时,h(x)=(x0),由h(x)0得x(,1),即h(x)的单调递减区间是(,1).所以a+b=.(2)由题意得f3(x)=3ax2-3,当a0时,f3(x)=3ax2-30时,令f3(x)=0可得x=,当x(-,)时,f3(x)0,f3(x)为增函数.由f3(-1)=4-a0且f3(1)=a-20,可得2a4,又由f3()=a-+1=1-0,可得a4.综上可知a=4.另一方面,当a=4时,f3(x)=4x3-3x+1,f3(x)=12x2-3,当x(-,)时,f3(x)0,
20、f3(x)为增函数.所以f3(x)min=f3(-1)=f3()=0,所以f3(x)0对于-1,1内的任意实数x恒成立.所以a=4.【解析】本题考查不等式恒成立以及利用导数研究函数的单调性、极值、最值等,考查函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想,考查考生综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.对于(1),首先求出h(x),由h(x)的单调递减区间是(,1)得,1是方程h(x)=0的两根,从而确定实数a和b的值;(2)运用分类讨论的思想求解.【备注】导数作为解决函数问题的工具在每年的高考试题中从不缺席,运用导数可以研究函数的单调性、最值和极值,讨论函数的零点,证明不等式等,应用十分广泛.
21、运用导数解决问题一定要有定义域优先的意识,在解决恒成立问题时,要先分离参变量,再转化为最值来处理或者用分类讨论的思想方法处理.22如图,直线PQ与O相切于点A,AB是O的弦,PAB的平分线AC交O于点C,连接CB,并延长与直线PQ相交于点Q.(1)求证:QCAC=QC2-QA2;(2)若AQ=6,AC=5,求弦AB的长.【答案】(1)PQ与O相切于点A,PAC=CBA,PAC=BAC,BAC=CBA,AC=BC.由切割线定理得,QA2=QBQC=(QC-BC)QC,QCBC=QC2-QA2,QCAC=QC2-QA2.(2) 由AC=5,AQ=6 及(1), 知QC=9,由QAB=ACQ,AQB
22、=CQA,知QABQCA,AB=.【解析】本题主要考查切割线定理、三角形的相似等知识,考查考生的推理能力、运算能力.灵活应用圆的有关性质是解题的关键. 23已知圆O:x2+y2=4上每一点的横坐标保持不变,将纵坐标变为原来的,得到曲线.(1)写出曲线C的参数方程;(2)设直线l:x-2y+2=0与曲线C相交于A,B两点,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线m过线段AB的中点,且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍,求直线m的极坐标方程.【答案】(1)设曲线C上任意一点为M(x,y),则点P(x,2y)在圆O上,即x2+(2y)2=4,即+y2=1,所以曲线C的参数方程为(为参数).(
23、2)联立,解得或,不妨设A(-2,0),B(0,1),则AB的中点为N(-1,),因为直线l的斜率为,设直线l的倾斜角为,则tan=,所以tan 2=,所以直线m的方程为y-(x+1),即8x-6y+11=0,于是直线m的极坐标方程为8cos-6sin+11=0.【解析】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化、圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等,属于中档题. 24已知a是常数,对任意实数x,不等式|x+1|-|2-x|a|x+1|+|2-x|都成立.(1)求a的值;(2)设mn0,求证:2m+2n+a.【答案】(1)设f(x)=|x+1|-|2-x|,则f(x)=f(x)的最大值为3.对任意实数x,|x+1|-|2-x|a都成立,即f(x)a,a3.设h(x)=|x+1|+|2-x|=,则h(x)的最小值为3.对任意实数x,|x+1|+|2-x|a都成立,即h(x)a,a3.a=3.(2)由(1)知a=3.2m+-2n=(m-n)+(m-n)+,且mn0,(m-n)+(m-n)+3=3,2m+2n+a.【解析】本题考查绝对值函数以及绝对值不等式的解法,考查考生的运算能力.
