1、聚焦高考中概率的“交汇性”福建石狮石光华侨联合中学（362700）林建森以能力立意是高考数学命题的指导思想，在知识网络交汇点处设计试题是高考命题的新特点和大方向。“概率”这部分内容，是高中数学的新增内容，是新课程高考的一大亮点与热点，是中学数学知识的一个重要交汇点。与概率交汇的数学问题正是在这种背景下“闪亮登场”，频频出现在高考和各级各类的模拟试题之中。这类以概率为情景新颖的问题，与函数、方程、数列、不等式、线性规划、几何等知识内容交叉渗透，自然地交汇在一起，使数学问题的情景新颖别致，可考查学生在新情景中采集信息、处理信息的能力和综合运用数学知识分析、解决问题的能力。本文结合近几年高考题和有关
2、省市高考模拟试题分类解析概率与相关知识的“交汇性”，供同学们复习参考。一、概率与函数的交汇例1（2005年湖南高考题）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别是、，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。（1）求的分布列及数学期望；（2）记“函数在区间上单调递增”为事件，求事件的概率。解析：（1）分别记“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点” 为事件、。由已知、相互独立，、。客人游览的景点数的可能取值为0、1、2、3，相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3、2、1、0，所以，的可能取值为1、
3、3。所以的分布列为130.760.24故（2）解法一:因为,所以函数在区间上单调递增.要使在上单调递增,当且仅当,即.从而解法二: 的可能取值为1、3当时, 函数在区间上单调递增.当时, 函数在区间上不单调递增.所以【评注】本题由二次函数在限定区间的单调性得到随机变量的取值，再由第（1）小题中的的分布列，求得事件的概率。该题将概率与函数的单调性结合在一起，题型新颖。二、概率与方程的交汇例2（2007年中学数学教学参考试题研究组）设在上随机地取值，求方程有实根的概率。解析：一元二次方程有实根，而解得或，故所求的概率为【评注】本题将概率与一元二次方程结合在一起，题型新颖，由题意利用一元二次方程的判
4、别式得出的取值范围是解题的关键。例3（2007年中学数学教学参考试题研究组）袋中装有个白球和个黑球，这些白球和黑球除了颜色不同以外，其余都相同，从袋中同时取出2个球.。在的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求适合的所有数组(m，n).解析：取出的球是同色的概率是，取出的球是不同色的概率是由题意，有mnm2mn2n2mn0即(mn)2mn mn2，所以mn4，4mn7mn的取值只可能是2，3，4，5，6相应的mn的取值分别是4，9，16，25，36即或或或或解得或或或或注意到mn2(m，n)的数组值为(6，3)，(10，6)，(15，10)，(21，15)【评注】本题以概率问题为
5、背景，由取出的球是同色的概率等于不同色的概率列出组合数方程，得到之间的等量关系，再由的不定方程在约束条件下求出的整数解，解决这类问题对思维能力有较高的要求，是近几年的数学竞赛的热点问题，也将是今后高考命题的趋势。三、概率与向量、数列的交汇例4（2005年荆州模拟试题）从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可到达点的概率为 (1)求和的值；（2）求的表达式。解析：（1） ，=（2）到达点有两种情况：从点按向量移动；从点按向量移动. 由互斥事件的概率计算公式得+ =数列是以为首项，为公比的等比数列. ,又 【评注】本题以向量为背景，直接依据概率知识求的表达式是行不通的，只能
6、由互斥事件的概率计算公式求得与所满足的关系式，再依据数列的相关知识求出。该题用向量形式给出概率问题，又以数列收场，注意知识的交汇和渗透是本题的“闪光”之处。四、概率与不等式的交汇例5（2006年石狮联中质量检测试题）已知10件产品中有3件是次品，为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？解析：设抽取件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为由整理得： 当或时上式成立.为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.【评注】本题由等可能事件的概率计算公式求出3件次品全部检验出的概率，再根据题设条件列出组合不等式并解不等式，从而求出的值，体现了
7、概率与不等式自然而贴切的整合。五、概率与线性规划的交汇例6（2004年成都诊断性试题）甲、乙两人相约在9：00到10：00在某地会面，要求先到者等候15分钟，见不到对方则离去.假设在会面的时限内相见的概率是等同的， 那么甲、乙两人会面成功的概率是多少？解析：设甲达到的时刻为，乙达到的时刻为，则 甲、乙两人会面成功必须满足 （15分钟为小时）满足如下不等式组： ， 这是一个线性约束条件；其可行域如下图中的阴影部分：在中，令，得甲、乙两人达到的时刻为、满足这是一个正方形，面积为1，而阴影部分的面积为因此，甲、乙两人会面成功的概率就是阴影部分的面积与边长为1的正方形的面积的比即【评注】本题巧妙地把概
8、率与线性规划交汇在一起，综合考查了概率的运算、线性规划知识以及数形结合的思想；该题属于几何概型问题.其基本事件就是一些点，且这些事件都是等可能的。如果是在直线上的点，其概率就是长度之比；如果是在平面上的点，其概率就是面积之比；如果是在空间上的点，其概率就是体积之比。六、概率与解析几何的交汇例7（2005年全国高考题）设为平面上过点的直线，的斜率等可能地取，用表示坐标原点到的距离，则随机变量的数学期望 解析：根据的斜率值，可知在过的直线中，除了一条与轴平行，其余由三对直线分别关于轴对称，因此坐标原点到两条对称直线的距离相等。设的斜率为，则的点斜式方程为，即把斜率值，分别代入得对应的值为所以，随机
9、变量的分布列：【评注】本题考查了离散型随机变量的概率、数学期望以及点到直线的距离等知识的综合应用能力。例8（2004年东北三校模拟题）如图所示，点为正三角形的边的中点，从点发出光线到边每一点的概率相同，求从点发出的光线，先后经边、边反射后人仍落在边上的概率。 解析：根据反射原理，分别以、为边，向外作正三角形和，本题就相当于从点射出一光线，到线段之内（为的中点）所求的概率为的长度与的长度之比（分别为、与的交点）。如图，易得，故又，即因此，从点发出的光线，先后经边、边反射后人仍落在边上的概率为【评注】本题把概率与解析几何中的对称性问题交汇在一起，不难但有新意。能较好地考查学生的综合应用数学知识的能
10、力和数学素养。七、概率与立体几何的交汇例9（2005年湖北高考题）以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为 （ ） 解析：平行六面体共8个顶点，则可构成三角形个，随机抽取两个为，平行六面体每一个面上确定的三角形为个，任取两个共面，记事件为“两三角形共面”则，故所求两个三角形不共面的概率故选【评注】本题以平行六面体为载体，考查了立体几何中的共面、不共面的概念以及等可能事件的概率，等可能事件的概率与排列数、组合数的求法紧密相连，所以也考查了简单的排列组合问题。例10（2005年黄冈质量检测题）质地均匀的三个几何体A、B、C. A是硬币，正面涂红
11、色，反面涂黄色；B是正四面体涂了红黄蓝白四色，每面一色；C是正方体，每面涂一色，涂有红黄蓝三色，每种颜色两个面，在水平地面上依次投A、B、C各一次，几何体与地面接触的面的颜色称为“保留色”。（1）求A、B、C的“保留色”相同的概率；（2）求A、B、C的“保留色”恰为两个红色的概率；（3）求A、B、C的“保留色”互不相同的概率；解析：（1）当A、B、C的“保留色”相同可分为同红或同黄， =（2）“恰为两个红色”有三种情况，即A、B同红色；B、C同红色；A、C同红色=（3）解法（一）按先投A，再投C，最后投B的顺序可得=解法（二）按先投A，再投B，最后投C的顺序则需分两类，当B投得的“保留色”为白
12、色时，则此时三者的“保留色”互不相同的概率是= ；当B投得的“保留色”不为白色时，则此时三者的“保留色”互不相同的概率是=，A、B、C的“保留色”互不相同的概率+=解法（三）反面解之，3=1-1-22 （其中为B、C同蓝色的概率）【评注】本题以立体图形为依托，巧妙地将概率与立体几何结合在一起，情景新颖别致。该题综合考查了等可能事件、互斥事件、相互独立同时发生事件的概率的计算，选择合适的分类标准是解题的关键。分类讨论的数学思想在此题得到了很好的体现。八、概率与实际生产的交汇例11（2006年湖南高考题）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整改. 若整
13、改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是, 整改后安检合格的概率是, 计算(结果精确到);(1) 恰好有两家煤矿必须整改的概率; (2) 平均有多少家煤矿必须整改;(3) 至少关闭一家煤矿的概率 .解析：（1）每家煤矿必须整改的概率是10.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是.（2）由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布B(5,0.5).从而的数学期望是 E，即平均有2.50家煤矿必须整改.(3)某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是【评注】本题是概率在实际生产生活中的一个非常典型的应用，该题以安检、整改的实际问题情景出现，强化了概率的实用价值，体现了数学来源于生活、服务于生活的宗旨，同时考查了概率统计知识的综合应用。通过对以上的例题的解析可以看出，与概率交汇的综合性试题是考查同学们数学能力和数学素养的极好素材，同时也是将来学习高等数学必不可少的重要基础知识，同学们应引起足够的重视。
