1、福建省厦门市2020届高三数学毕业班6月质量检查试题 理（含解析）一选择题1.在复平面内，复数对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘除法运算求出复数，再根据复数的几何意义可得答案.【详解】因为，所以复数所对应的点位于第一象限.故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘除法运算以及复数的几何意义，属于基础题.2.已知集合，若，则（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，求出的值，进而求出集合，再利用集合的并集运算进行求解.【详解】，解得，又，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，熟练掌握并集的定义是
2、解决本题的关键，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行集合的基本运算.3.设实数、满足约束条件，则的最大值是（ ）A. 2B. 0C. -4D. -2【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【详解】作出约束条件，对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大将A（1，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=21+0=2即z=2x+y的最大值为2故选A【点睛】本题考查的是线性规划问
3、题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4.已知是椭圆的左焦点，过且与轴垂直的直线与交于，两点，点与关于原点对称，则的面积为（ ）A. 2B. 3C. 6D. 12【答案】B【解析】【分析】根据椭圆，求得，进而求得坐标，再由点与关于原点对称，得到坐标，可得的长度及点到直线的距离，然后由三角形面积公式求解.【详解】因为椭圆，所以，因为过且与轴垂直的直线与交于，两点，所以，因为点与
4、关于原点对称，所以，所以，点到直线的距离为2，所以的面积为.故选：B【点睛】本题考查直线与题意的位置关系以及对称问题和三角形面积问题，还考查了运算求解能力，属于中档题.5.如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】灯泡亮灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下边闭合上边闭合一个，这四种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果【详解】由题意，灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下边闭合上边闭合一个，这四种情况是互斥的，每一种请中的事件
5、都是相互独立的，所以灯泡亮的概率为，故选：C点睛】本题结合物理的电路考查了有关概率的知识，考查互斥事件有一个发生的概率，独立事件同时发生的概率，解决本题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，也可以利用对立事件来求，属于中档题6.若平面平面，是内的任意一条直线，则下列结论正确的是（ ）A. 任意直线，都有B. 存在直线，使得C. 任意直线，都有D. 存在直线，使得【答案】B【解析】【分析】利用正方体模型验证即可.【详解】如图所示：因为平面平面，设平面，平面，A.如平面，不垂直平面，故错误；B. 如平面，平面，故正确；C. 如平面，平面，故错误；D. 如平面，平面，所以m垂直于平面内所有的
6、直线，故不存在直线与之平行，故错误；故选：B【点睛】本题主要考查空间内面面垂直的性质，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.7.已知，.则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质及三角函数的单调性，即可得出的大小关系.【详解】，即，则，的大小关系是.故选：D.【点睛】本题考查的是比较大小问题，涉及的知识点包括指数函数的单调性、对数函数的单调性及三角函数的单调性，属于基础题.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数
7、递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.8.已知函数，是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）A. (1，2)B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据每段函数的单调性求出的取值范围，再结合分段函数的单调性，即可得解.【详解】当时，此时，要使时，单调递增，需满足在上恒成立，即，解得或，要使时，单调递增，需满足，根据分段函数的性质知，要使是单调递增函数，还需满足，即，综上，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题主要考查的是分段函数的单调性，其中涉及到利用导数研究函数的单调性，属于基础题.9.记数列的前项和为，设，则数列的前10项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分
8、析】先由，求出；再由裂项求和的方法，求数列的前10项和即可.【详解】因为数列的前项和为，所以，当时，又满足，所以；因此，因此数列的前10项和为.故选：A.【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记裂项求和的方法即可，属于常考题型.10.已知函数，若.且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件可得，然后可得或，即可分析出答案.【详解】因为，所以所以或所以或因为，所以，若，、一个取，一个取时最小为，若，、一个取，一个取时最小为，即的最小值为故选：B【点睛】本题主要考查的是三角函数的图象和性质，考查的核心素养是数学运算，属于中档题.11.闰月年指农历里有闰月的年份，比如
9、2020年是闰月年，4月23日至5月22日为农历四月，5月23日至6月20日为农历闰四月.农历置闰月是为了农历年的平均长度接近回归年：农历年中的朔望月的平均长度为29.5306日，日，回归年的总长度为365.2422日，两者相差10.875日.因此，每19年相差206.625日，约等于7个朔望月.这样每19年就有7个闰月年.以下是1640年至1694年间所有的闰月年：16401642164516481651165316561659166116641667167016721675167816801 6831686168916911694则从2020年至2049年，这30年间闰月年的个数为（ ）A
10、. 10B. 11C. 12D. 13【答案】B【解析】【分析】根据表中的数据进行推理得出结论即可.【详解】通过表中数据可知，从1640年到1669年，这30年间闰月年的个数为11，2020年是闰月年，由题意可知；从2020年至2049年，这30年间闰月年的个数为11.故选：B【点睛】本题考查了归纳推理，考查了数学阅读能力，属于基础题.12.在正方体中，点是线段上的动点，以下结论：平面；三棱锥，体积不变；为中点时，直线与平面所成角最大.其中正确的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】易证平面平面，可知平面；正方体中平面，可知平面，得证；由平面知上点到平面的距离都相等，即
11、棱锥底不变，高不变可得结论；根据线面角的定义知，因为为定值，即可判断最短时，角最大.【详解】如图，,，平面平面，又平面，平面，正确；在正方体中易知平面，又平面平面，所以平面，而平面，所以，故正确；因为,可知平面，所以上点到平面的距离都相等，所以三棱锥的体积不变，故正确；由知，P运动时，P到平面的距离不变，设为，设直线与平面所成角为，则，当为中点时，最短，所以最大，因为线面角，所以此时最大，故正确.故选：D【点睛】本题考查了直线与平面所成角的正弦值的求法，三棱锥的体积，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系等应用问题，考查了空间想象能力、运算求解能力，属于中档题.二填空题13.已知向量，若，
12、则_.【答案】12【解析】【分析】先求出的坐标，再根据，即可求得值.【详解】，解得，故答案为：12.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平，属于基础题.若向量与向量垂直，则.14.记为等比数列的前项和，若，且，成等差数列，则_.【答案】27【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质可得，进而可得，由等比数列的通项公式即可得解.【详解】，成等差数列，即，等比数列的公比，.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.15.某学校贯彻“科学防疫”，实行“佩戴口罩，间隔而坐” .一排8个座位，安排4名同学就
13、坐，共有_种不同的安排方法.(用数字作答)【答案】120【解析】【分析】根据插空法，由题意求解，即可得出结果.【详解】因为四个互不相邻的空位可产生五个位置，则这四个同学可以在这五个位置就坐，因此共有种不同的安排方法.故答案为：120.【点睛】本题主要考查排列问题，利用插空法求解即可，属于常考题型.16.双曲线的左右焦点分别为，过的直线与的左右两支分别交于，两点，点在轴上，平分，则的离心率为_.【答案】【解析】【分析】先由题意，得到，不妨设，根据双曲线的定义，得到，求得，得到是等边三角形，求出，再由余弦定理，求解，即可得出结果.【详解】由，平分，得，故，又由，得，不妨设，根据双曲线定义，得，故，
14、.，是等边三角形，中，由余弦定理可得，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的定义及双曲线的简单性质即可，属于常考题型.三解答题17.中，内角，的对边分别为，已知，.（1）求；（2）若，点在边上，求的大小.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）根据，利用余弦定理化简得到，再结合求解.（2）根据，得到，在中，由正弦定理求得，再根据，求角即可.【详解】（1）因为，由余弦定理得，.（2），在中，由正弦定理得，又，.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了逻辑推理和运算求解能力，属于中档题.18.如图，在三棱柱中，平面平面，为正三角形，为线段的中点.（1）证
15、明：平面平面；（2）若与平面所成角的大小为60，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设，的中点分别为，连接，先证明平面，再通过证明四边形为平行四边形，得到，则可得平面，进而可证明平面平面；（2）先得到为与平面所成的角，故，再以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求【详解】（1）设，的中点分别为，连接，为正三角形，平面平面，平面平面，平面，平面，分别为，的中点，且，在棱柱中，又为的中点，四边形为平行四边形，平面，平面，平面平面；（2）平面平面，在平面内的射影落在上，为与平面所成的角，
16、故，连接，则点为线段的中点， 则，设，则，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，平面平面，平面平面，平面，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，二面角的余弦值为.【详睛】本题主要考查空间面面垂直的判定与性质，线面角的定义以及二面角求法等知识，考查空间想象能力推理论证能力运算求解能力，是中档题.19.近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲，乙两同学一起收集6家农户的数据，进行回归分折，得到两个回归摸型：模型：，模型： ，对以上两个回归方程进行残差分析，得到下
17、表：种植面积(亩)234579每亩种植管理成本(百元)252421221614模型估计值25.2723.6221.9717.0213.72残差-0.270.38-0.97-1.020.28模型26.8420.1718.8317.3116.46-1.840.833.17-1.31-2.46（1）将以上表格补充完整，并根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好；（2）视残差的绝对值超过1.5的数据视为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重新求回归方程.附：，；【答案】（1）表格答案见解析，模型拟合效果比较好.（2）【解析】【分析】（1）令时，求得，令时，求得，填入表格即可.根据残
18、差平方和公式，分别求得模型的残差平方和，模型的残差平方和，再比较下结论.（2）根据视残差的绝对值超过1.5的数据视为异常数据，应剔除第四组数据，分别求得，利用公式进而求得，写出回归方程.【详解】（1）当时，当时，完成表格如下：种植面积(亩)234579每亩种植管理成本(百元)252421221614模型估计值25.2723.62219720.3217.0213.72残差-0.270.38-0.971.68-1.020.28模型26.8422.3920.1718.8317.3116.46-1.841.610.833.17-1.31-2.46模型的残差平方和为，模型的残差平方和为，所以模型的残差平
19、方和比模型的残差平方和小，所以模型拟合效果比较好.（2）由题意知，应剔除第四组数据，所求回归方程为.【点睛】本题考查回归分析，线性回归方程模型的建立，还考查了数据处理能力和运算求解能力，属于中档题.20.已知动圆过点且与直线相切.（1）求圆心的轨迹的方程；（2）过的直线与交于，两点，分别过，做的垂线，垂足为，线段的中点为.求证：；记四边形，的面积分别为，若，求.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】分析】（1）根据抛物线的定义得到点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，进而求得方程；（2）设，则，得到，设直线的方程为，与联立，分，两种情况，结合直线垂直的条件证得结果；根据三角形的面积比，得到坐标
20、比，结合，从而得到，得到结果.【详解】（1）动圆过点且与直线相切，点到的距离等于到的距离，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为.（2）证法一：设，则，为线段的中点，依题意可设直线的方程为，由得，当时，关于轴对称，点恰为与轴的交点，满足；当时，综上，.证法二：连接，设直线与轴的交点为，轴，同理，又，即.法一：由得，同理，故，由知，异号，故，.法二：由得，同理，故，由对称性，不妨设点在轴上方，直线的倾斜角为，由定义易得，同理，即，.【点睛】本题考查抛物线的定义和方程，直线与抛物线的位置关系，弦长，面积等基础知识，考查运算求解能力推理论证能力，考查数形结合思想，化归于转化思想.21.已知函数
21、.（1）讨论的单调性；（2）若有两个不同的零点，且，求证：.(其中是自然对数的底数)【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到，再分， 讨论求解.（2）根据为的零点，有，用导数求得m的范围，再利用零点存在定理得到 ，令，结合（1）在上的单调性求解.【详解】（1）定义域为，当时，在单调递增；当时，由，得；由得，在上单调递增，在上单调递减.（2）为的零点，即，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，又，令，则，由（1）知，当时，在上单调递减，.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的零点，导数与不等式的证明，还考查了分类讨论，转化化归的思想和推理论证运算求解
22、能力，属于难题.22.在平面直角坐标系中，的方程为，的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求和的极坐标方程；（2）直线与交于点，与交于点（异于），求的最大值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）结合直角坐标方程、参数方程和极坐标方程间的关系，求出直线l和曲线C的极坐标方程即可；（2）将射线与曲线C和直线l的极坐标方程联立，可求得的表达式，然后求出的取值范围即可.【详解】（1）由得，即，所以的极坐标方程为.由得，即，所以，即，所以的极坐标方程为.（2）由得，由得，所以，所以当或时，的最大值为.【点睛】本题主要考查直角坐标方程、参数方程和极坐标
23、方程间的转化，利用三角函数求最值是解决本题的关键，考查学生的计算求解能力，属于中档题.23.已知函数是奇函数.（1）求，并解不等式；（2）记得最大值为，若、，且，证明.【答案】（1），不等式的解集为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由函数是上的奇函数可得出，可求得的值，然后利用函数奇偶性的定义验证函数为奇函数，并利用零点分段法求解不等式，可得出不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求得，可得，然后利用柯西不等式可证得成立.【详解】（1）函数是上的奇函数，当时，即函数为奇函数，由，可得.当时，则，不成立；当时，则，解得，此时；当时，则恒成立，此时.综上所述，不等式的解集为；（2）由绝对值三角不等式可得，则.由柯西不等式得，即，当，时，等号成立.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了利用零点分段法解绝对值不等式，以及利用柯西不等式证明不等式，考查计算能力与推理论证能力，属于中等题.
