1、第二节函数的单调性与最值1单调函数的定义增函数减函数定义在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2A当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间A上是增加的当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间A上是减少的如果函数yf(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数图像描述自左向右看图像是逐渐上升的自左向右看图像是逐渐下降的2单调区间的定义如果函数yf(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间3函数的最值(1)最大值点：函数yf(x)在区间a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上
2、所有点的函数值都不超过f(x0)(2)最值：函数的最大值和最小值统称为最值1函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结2两函数f(x)，g(x)在x(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)g(x)也为增(减)函数，但f(x)g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比试一试1下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2)ByCyx Dyx解析：选A选项A的函数yln(x2)的增区间为(2，)，所以在(0，)上一定是增函数2函数f(x)x22x
3、(x2,4)的单调增区间为_；f(x)max_.解析：函数f(x)的对称轴x1，单调增区间为1,4，f(x)maxf(2)f(4)8.答案：1,481判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性2求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对
4、比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域练一练1(2013北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay ByexCyx21 D. ylg|x|答案：C2函数f(x)在区间2,3上的最大值是_，最小值是_答案：考点一求函数的单调区间1.函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_解析：要使ylog5(2x1)有意义，则2x10，即x，而
5、ylog5u为(0，)上的增函数，当x时，u2x1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是.答案：2函数yx|1x|的单调增区间为_解析：yx|1x|作出该函数的图像如图所示由图像可知，该函数的单调增区间是(，1答案：(，1类题通法求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即：(1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法考点二函数单调性的判断典例试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解设1x1x20时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递增类
6、题通法1利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底2利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确针对训练判断函数g(x)在 (1，)上的单调性解：任取x1，x2(1，)，且x1x2，则g(x1)g(x2)，由于1x1x2，所以x1x20，因此g(x1)g(x2)0，即g(x1)0时，f(x)x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又当x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数(2)f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3
7、)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.角度二比较两个函数值或两个自变量的大小2已知函数f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析：选B函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.角度三解函数不等式3已知定义在R上的函数f(x)是增函数，则满足f(x)f(2x3)的x的取值范围是_解析：依题意得，不等式f(x)f(2x3)等价于x3，即满足f(x)f(2x3)的
8、x的取值范围是(3，)答案：(3，)角度四求参数的取值范围或值4已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内2比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解课堂练通考点1下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是()Af(x)3xBf(x)x23xCf(x) Df(x)|x|解析：选C当x0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x
9、为减函数；当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数故选C.2函数f(x)|x2|x的单调减区间是()A1,2 B1,0C0,2 D2，)解析：选A由于f(x)|x2|x结合图像可知函数的单调减区间是1,23已知函数f(x)为R上的减函数，若mn，则f(m)_f(n)；若ff(n)；1，即|x|1，且x0.故1x(1,0)(0,1)4函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_解析：由于yx在R上递减，ylog2(x2)在1,1上递增，所以f(x)在1,1上单调递减，故f(x)在1,1上的最大值为f(1)3.答案：35
10、函数f(x)在区间(2，)上是递增的，求实数a的取值范围解：f(x)a.任取x1，x2(2，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).函数f(x)在区间(2，)上是递增的，f(x1)f(x2)0，x120，x220，12a，即实数a的取值范围是.课下提升考能第组：全员必做题1下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()Ayx1 Byx3Cy Dyx|x|解析：选Dyx1是非奇非偶函数，A错；yx3是减函数，B错；y在(0，)上为减函数，C错；yx|x|为奇函数，当x0时，yx2为增函数，由奇函数性质得yx|x|在R上为增函数，故选D.2若函数f(x)4x2mx5在2，)上递增，在(，2上递减，则f(
11、1)()A7 B1C17 D25解析：选D依题意，知函数图像的对称轴为x2，即 m16，从而f(x)4x216x5，f(1)416525.3.定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1C6 D12解析：选C由已知得当2x1时，f(x)x2，当10.a的取值范围是(0,15已知奇函数f(x)对任意的正实数x1，x2(x1x2)，恒有(x1x2)(f(x1)f(x2)0，则一定正确的是()Af(4)f(6) Bf(4)f(6) Df(4) 0知f(x)在(0，)上递增，所以f(4)f(6)6已知函数f(x)(a0，x0)，
12、若f(x)在上的值域为，则a_.解析：由反比例函数的性质知函数f(x)(a0，x0)在上单调递增，所以即解得a.答案：7设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_解析：g(x)如图所示，其递减区间是0,1)答案：0,1)8使函数y与ylog3(x2)在(3，)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是_解析：由ylog3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数，故在(3，)上是增函数又函数y2，使其在(3，)上是增函数，故4k0，得k0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：任设x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增
13、(2)任设1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，a1.综上所述知01时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在(0，)上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.第组：重点选做题1设函数f(x)定义在R上，f(2x)f(x)，且当x1时，f(x)ln x，则有()Aff(2)f Bff(2)fCfff(2) Df(2)ff解析：选C由f(2x)f(x)可知f(x)的图像关于直线x1对称，当x1时，f(x)ln x，可知当x1时f(x)为增函数，所以当x1时f(x)为减函数，因为|21|，所以fff(2)故选C.2若函数f(x)|logax|(0a1)在区间(a,3a1)上单调递减，则实数a的取值范围是_解析：由于f(x)|logax|(0a1)的递减区间是(0,1，所以有0a3a11，解得a.答案：
