1、第五节空间向量的运算及应用最新考纲1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理1空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向
2、量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，其中，a，b，c叫做空间的一个基底3两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律：结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4空
3、间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3) 向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b5.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm01对空间任一点O，若xy(xy1)，则P，A，B三点共线2对空间任一点O，若xyz(xyz1)，则
4、P，A，B，C四点共面3平面的法向量的确定：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(2)若A，B，C，D是空间任意四点，则有0.()(3)设a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1设u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量若，则t()A3B4C5D6C，则uv262(4)4t0，t5.2.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交
5、点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()AabcB.abcCabc D.abcA()c(ba)abc.3已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A(1,1,1) B(1，1,1)C. D.C设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得xyz.故选C.4已知a(2,3,1)，b(4,2，x)，且ab，则|b| .2ab，ab0，即86x0，x2.b(4,2,2)，|b|2.考点1空间向量的线性运算用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中(3)利用三角形法则或平
6、行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来1.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，若xyz，则xyz .连接ON，设a，b，c，则()bca，aabc.又xyz，所以x，y，z，因此xyz.2.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解(1)因为P是C1D1的中点，所以aacacb.(2)因为N是BC的中点，所以abababc.(3)因为M是AA1的中点，所以aabc，又ca，所以abc.空间向量的
7、线性运算类似于平面向量中的线性运算考点2共线(共面)向量定理的应用证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面且同过点Pxy对空间任一点O，t对空间任一点O，xy对空间任一点O，x(1x)对空间任一点O，xy(1xy)如图，已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH.证明(1)连接BG，EG，则.由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面(2)因为()，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(1)本例(2)在证明中运用
8、了向量共线定理及线面平行的判定定理(2)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明 1.已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是()A2，B，C3,2 D2,2Aab，设bxa，解得或故选A.2已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于 a与b不共线，故存在实数x，y使得cxayb，解得故填.考点3空间向量数量积的应用(1)利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算(2)空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题a0，b0
9、，abab0.|a|.cosa，b.如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值解(1)记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|，即AC1的长为.(2)证明：1abc，ba，1(abc)(ba)ab|b|2bc|a|2abacbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600.1，AC1BD.(3)1bca，ab，|1|，|，1(bca)(ab)b2a2
10、acbc1.cos1，.AC与BD1夹角的余弦值为. 对于不方便建立空间直角坐标系的题目，常常借助基向量及数量积的定义求解；倘若建系方便，则通过坐标法求解教师备选例题如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)；(2).解设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)ca，a，(a)a2ac，(2)()()()()(ca)1111111111.如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，在底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别是A1B1，A1A的中点(1)求的模；(2)求cos，的值；(3)
11、求证：A1BC1M.解(1)如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系由题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以|.(2)由题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，所以(1，1,2)，(0,1,2)，3，|，|，所以cos，.(3)证明：由题意得C1(0,0,2)，M，(1,1，2)，所以00，所以，即A1BC1M.考点4利用向量证明平行与垂直1.利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向
12、向量平行面面平行证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题2.利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30角，求证：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面PAD.解(1)证明：由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直
13、线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30.PC2，BC2，PB4，D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，.设n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由即令y2，得n(，2,1)n2010，n.又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)法一：由(1)知(0,4,0)，(2，0，2)，设平面PAB的一个法向量为m(x0，y0，z0)，由即令x01，得m(1,0，)又平面PAD的一个法向量n(，2,1)，mn1()0210
14、，平面PAB平面PAD.法二：取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，(，2,1)PBAB，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，.BEDA.又PADAA，BE平面PAD.又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.点M的求解是本例的难点，求解的方式有两种：一是在平面BCP中借助直角三角形中的边角关系求解，二是借助向量共线定理利用4求解 如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由解以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设ABa.(1)证明：A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，.因为011(1)10，因此，所以B1EAD1.(2)存在满足要求的点P，假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE，此时(0，1，z0)，再设平面B1AE的一个法向量为n(x，y，z)(a,0,1)，.因为n平面B1AE，所以n，n，得取x1，则y，za，则平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.所以存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.
