1、河北省邯郸市永年区第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，1-8为单选，9-12为多选，共60分）1. 从已经编号的名学生中抽取人进行调查，采用系统抽样法若第组抽取的号码是，则第组抽取的号码是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据系统抽样流程先计算出组距，若要计算第组号码，只需给第一组组抽出的组距加上倍的组距即可.【详解】若采用系统抽样抽取个人，需将已经编号的名学生分成组，每组人，若第组抽取的号码为，则第组抽取的号码是.故选：B.【点睛】利用系统抽样进行抽样时，注意抽取的号码依次成等差数列，然后可根据等差数列的性质求
2、解第组抽取的号码.2. 甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”（即乙领取的钱数不少于丙、丁）的概率是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用隔板法得到共计有种领法，乙获得“最佳手气”的情况总数，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有种领法，乙领2元获得“最佳手气”的情况有2种，乙领3元获得“最佳手气”的情况有1种，乙获得“最佳手气”的情况总数，乙获得“最佳手气”的概率故选A【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想
3、，是基础题3. 对甲、乙两个大学生一周内每天的消费额进行统计，得到样本的茎叶图，如图所示，则下列判断错误的是A. 甲消费额的众数是57，乙消费额的众数是63B. 甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56C. 甲消费额平均数大于乙消费额的平均数D. 甲消费额的方差小于乙消费额的方差【答案】D【解析】【分析】由茎叶图计算两组的众数，中位数，平均数，方差即可得解【详解】由茎叶图可得：对于A，甲组数据中的众数为57，乙组数据中的众数为63，可得正确；对于B，甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56，可得正确；对于C，可得，可得正确；对于D，可得：，可得甲消费额的方差大于乙消费额的方差，故D
4、错误；故选D【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查数据的几个常见的量，本题是一个基础题，解题时注意对于数据的个数不要弄丢数据，属于基础题4. 抛物线C：的焦点为F，点M为C上第一象限内一点，y轴上一点N位于以MF为直径的圆上，则N的纵坐标为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用已知条件，求出圆的方程，然后求解即可【详解】抛物线C：的焦点为，点M为C上第一象限内一点，所以M(4,8),y轴上一点N位于以MF为直径的圆上，故圆心为（4，4）,半径为4，即，时，故选C【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查5. 已知，函数的图象在点处的切线为l，则l在y轴上的截距
5、为A. B. C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距【详解】函数，可得，切线的斜率为：，切点坐标，切线方程l为：，l在y轴上的截距为：故选D【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力求切线方程的方法：求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.6. 已知双曲线C：的一个焦点和抛物线的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程为A. B
6、. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标与抛物线的焦点坐标，然后求解即可【详解】抛物线的焦点，双曲线C：的一个焦点和抛物线的焦点相同，可得，可得，解得，所以双曲线C的渐近线方程：故选B【点睛】本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力7. 正方体中，O为底面ABCD的中心，则直线与平面所成角的正弦值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值【详解】正方体中，O为底面ABCD的中心，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正
7、方体中棱长为2，则1，0，0，2，1，设平面的法向量y，则，取，得0，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为故选A【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可8. 已知双曲线C：，P是双曲线C上不同于顶点的动点，经过P分别作曲线C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线围成平行四边形OAPB，则四边形OAPB的面积是A. 2B. 1C. D. 【答案】B【解析】
8、【分析】设，则，求得渐近线方程，设出PA，PB的方程，运用点到直线的距离公式求得渐近线和PA的距离，以及B的坐标，再由平行四边形的面积公式，计算可得所求值【详解】设，则，设PA和渐近线平行，PB和渐近线平行，由PA：，PB：，且PA和渐近线的距离为，由和，求得，可得，即有四边形OAPB的面积是故选B【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式和化简运算能力，属于中档题9. 以下命题中，不正确的为（ ）A. 是，共线的充要条件；B. 若，则存在唯一的实数，使；C. 若，则；D. 若，为空间的一个基底，则，构成空间的另一个基底；【答案】ABC【解析】【分析】利
9、用充分条件和必要条件的定义可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；易得，均与垂直，可判断C选项的正误；假设，共面，可设，判断关于m、n的方程组是否有解，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，充分性：若，则，方向相反，且，充分性成立；必要性：若，共线且方向相同，则，即必要性不成立，所以，是，共线的充分不必要条件，A选项错误；对于B选项，若，则，但不存在实数，使得，B选项错误；对于C选项，若，则，均与垂直，不一定有，C选项错误；对于D选项，假设，共面，可设，由于，为空间的一个基底，可得 ，该方程组无解，假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.故选：ABC.【点睛】方法点睛：要证明，
10、构成空间的另一个基底，可假设，从而判断关于m、n的方程组无解即可10. 已知下列几个命题：其中结论正确的是（ ）A. 的两个顶点为，周长为，则点轨迹方程为；B. “”是“”的必要不充分条件；C. 已知命题，则为真，为假，为假；D. 双曲线的离心率为【答案】CD【解析】【分析】根据椭圆的定义对A选项进行判断；根据必要不充分条件的定义对B选项进行判断；根据命题的真假判断C选项，根据双曲线的离心率公式判断D选项.【详解】A：的两个顶点为，周长为，则点轨迹方程为，当时，构不成三角形，所以A选项错误；B：当时，但，故B选项错误；C：已知命题为真命题，为假命题，则为真，为假，为假，C选项正确；D：双曲线，
11、标准方程为，离心率，D选项正确；故选：CD.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)11. （多选）下列命题是真命题的有（ ）.A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则C. 平面，的法向量分别为，则D. 平面经过三点，向量是平面的法向量，则【答案】AD【解析】【分析】根
12、据空间向量数量积的值即可判断A；根据空间向量数量积的值即可判断B；根据两平面法向量之间的关系可判断C；，利用法向量与上面两向量的数量积可判断D.【详解】，则，直线与垂直，故A正确；，则，则，或，故B错误；，与不共线，不成立，故C错误；点，.向量是平面的法向量，即，解得，故D正确.故选：AD【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了基本运算能力，属于基础题.12. 如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，点Q在侧面内运动，给出下列结论：其中结论正确的是A. 若，则动点Q的轨迹是线段；B. 若，则动点Q的轨迹是圆的一部分；C. 若，则动点Q的轨迹是椭圆的一部分；D. 若点Q到与的距离相等，则
13、动点Q的轨迹是抛物线的一部分【答案】AB【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对于A、B、C、D，分别利用解析法求出轨迹方程，判断轨迹类型.【详解】建立如图示的坐标系，则对于A：若，则，即1+y-1-z=0即动点Q的轨迹是线段.故A正确；对于B：若，则，即则动点Q的轨迹是圆的一部分.故B正确；对于C：若，则Q的轨迹是平面与圆锥侧面的交线，且平面与圆锥的一条母线所在的直线平行，所以动点Q的轨迹是抛物线的一部分，故C错误.对于D：若点Q到与的距离相等，则，所以Q的轨迹是双曲线的一部分，故D错误.故选：AB【点睛】建立适当的空间直角坐标系，用坐标法求轨迹方程的解决立体几何中轨迹问题的有效方法.二、填空
14、题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数的图象在点处的切线斜率为_【答案】0【解析】【分析】先对函数进行求导运算，根据在点处切线的斜率为在点处的导数值，可得答案【详解】，函数的图象在点处的切线斜率为：0故答案为0【点睛】本题主要考查函数的导数和在某点处切线斜率的关系属基础题14. 已知平行六面体ABCDA1B1C1D1所有棱长均为1，BAD=BAA1=DAA1=60，则AC1的长为 【答案】【解析】【详解】试题分析：由已知得=，由此利用向量法能求出AC1的长解：平行六面体ABCDA1B1C1D1所有棱长均为1，BAD=BAA1=DAA1=60，=，2=（）2=+2|cos60+2|cos
15、60+2cos60=1+1+1+=6，AC1长为|=故答案为考点：棱柱的结构特征15. 已知四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，底面ABCD，底面ABCD为正方形，现在球O的内部任取一点，则该点取自四棱锥的内部的概率为_【答案】【解析】【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体，则正方体的对角线的长是外接球的直径，即，即，则四棱锥的条件，球的体积为，则该点取自四棱锥的内部的概率，故答案为【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率
16、时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在的区域（事实也是角）任一位置是等可能的16. 椭圆C：的左、右焦点分别为，点P是椭圆C上的点，则椭圆C的短轴长是_【答案】【解析】【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理以及三角形的面积，转化求解即可【详解】椭圆C：的左、右焦点分别为，点P是椭圆C上的点，可得：，解得：则椭圆C的短轴长是故答案为【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力三、解答题（本大题共6小题，共700分）17. 已知p：，q：，且q是
17、p必要条件，求实数a的取值范围【答案】【解析】【分析】求出p的等价条件，结合必要条件的定义转化为当时，恒成立问题进行求解即可【详解】由得，即p：，若q是p的必要条件，即，即当时，恒成立，即恒成立，设，函数的导数，当时，恒成立，即此时为增函数，即当时，函数取得最小值为，则，即实数a的取值范围是【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的定义，根据必要条件的定义转化为不等式恒成立是解决本题的关键判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若
18、pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系18. 某洗车店对每天进店洗车车辆数x和用次卡消费的车辆数y进行了统计对比，得到如下的表格：车辆数x1018263640用次卡消费的车辆数y710171823根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；的结果保留两位小数试根据求出的线性回归方程，预测时，用次卡洗车的车辆数参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是；其中，【答案】()；()27.【解析】【分析】由已知图表结合公式即可求得y关于x的线性回归方程；在中求得的线性回
19、归方程中，取求得y值，则答案可求【详解】，则y关于x的线性回归方程为；由的线性回归方程可得，当时，用次卡洗车的车辆数估计是【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.19. 过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一
20、种很好的方式随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来为了研究某种理财工具的使用情况，现对年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：，并整理得到频率分布直方图：估计使用这种理财工具的人员年龄的中位数、平均数；采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？在中抽取的8人中，随机抽取2人，则第三组至少有1个人被抽到的概率是多少？【答案】() 中位数为，平均数为47；() 三个组依次抽取的人数为2，4，2；().【解析】【分析】由频率分布直方图能求出中位数和平均数的估计值;第二组、第三组、第四组的频率比为1：2：1，由此能求出三个组依次抽取
21、的人数;在中抽取的8人中，随机抽取2人，基本事件总数，第三组至少有1个人被抽到的对立事件是第三组没有人被抽到，利用对立事件概率计算公式能求出第三组至少有1个人被抽到的概率【详解】年龄在，的频率为，中位数为，平均数的估计值为：第二组、第三组、第四组的频率比为1：2：1，三个组依次抽取人数为2，4，2在中抽取的8人中，随机抽取2人，基本事件总数，第三组至少有1个人被抽到的对立事件是第三组没有人被抽到，第三组至少有1个人被抽到的概率【点睛】本题考查中位数、平均数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20. 已知椭圆的左右焦点分别为
22、、，左顶点为A，若，椭圆的离心率为（1）求椭圆的标准方程（2）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率及焦距，可得，即可得答案；（2）设，再将向量的数量积转化为坐标运算，研究函数的最值，即可得答案；【详解】解：（1）由题意，椭圆的离心率为，椭圆的标准方程为（2）设，P点在椭圆上，由椭圆方程得，二次函数开口向上，对称轴，当时，取最小值0，当时，取最大值12的取值范围是【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、向量数量积的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题转化为二次函数的最值问题.21. 如
23、图所示的多面体中，四边形ABCD为菱形，面ABCD，异面直线AF，CD所成角的余弦值为求证：面面EDB；求二面角的余弦值【答案】()详见解析；().【解析】【分析】推导出，从而，进而面EBD，由此能证明面面EDB;推导出四边形EFOD是平行四边形，从而，由面ABCD，得面ABCD，以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值【详解】四边形ABCD是菱形，面ABCD，面ABCD，面EBD，面ACF，面面EDB四边形ABCD是菱形，四边形EFOD是平行四边形，面ABCD，面ABCD，以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐
24、标系，则，0，设0，则，解得，则0，1，1，设平面AFB的法向量y，则，取，得，设平面AFE的法向量y，则，取，得0，设二面角的平面角为，由图形得为钝角，则二面角的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可.22. 已知，圆上的动点T满足：线段TQ的垂直平分线与线段TP相交于点K求点K的轨迹C的方程；经过点的斜率之积为的两条直线，分别与曲线
25、C相交于M，N两点，试判断直线MN是否经过定点若是，则求出定点坐标；若否，则说明理由【答案】()；() 经过定点.【解析】【分析】利用椭圆的定义即可得出k的轨迹方程；设直线AM的方程为，代入椭圆方程消元，得出M，N坐标的关系，求出MN的方程，即可求出点的坐标【详解】，点K的轨迹是以P，Q为焦点，长轴长为4，焦距为的椭圆，点K的轨迹方程为：，设直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为，联立可得，整理，可得，则，则，代入，可得，同理可得，当M，N的横坐标不相等时，直线MN的斜率，故直线MN的方程为，令，可得，此时直线MN经过点，当M，N的横坐标相等时，有，解得，此时点M，N的横坐标为，此时直线MN经过点，综上所述直线MN经过点【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，定点问题，考查了运算求解能力，属于中档题圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.
