1、第三节圆的方程 考纲传真1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想(对应学生用书第114页) 基础知识填充1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圆心，半径2. 点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y
2、0b)2r2.知识拓展1二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是2以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆()(3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()解析由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1
3、)(3)(4)正确(2)中，当t0时，表示圆心为(a，b)，半径为|t|的圆，不正确答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是()Aa2或aBa0C2a0D2aD由题意知a24a24(2a2a1)0，解得2a.3(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()AB CD2A圆x2y22x8y130，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线axy10的距离d1，解得a.4(2017西安质检)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_x2(y1)21两圆关于直线对称则圆心关
4、于直线对称，半径相等，则圆C的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x2(y1)21.5圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_. 【导学号：00090274】(x2)2y210设圆心坐标为C(a,0)，点A(1,1)和B(1,3)在圆C上，|CA|CB|，即，解得a2，所以圆心为C(2,0)，半径|CA|，圆C的方程为(x2)2y210.(对应学生用书第115页)求圆的方程(1)(2015全国卷)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()ABCD(2)(2016天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆
5、C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_(1)B(2)(x2)2y29(1)法一：在坐标系中画出ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|AC|BC|2(也可以借助图形直接观察得出)，所以ABC为等边三角形设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心所以|AE|AD|，从而|OE|，故选B法二：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则解得所以ABC外接圆的圆心为.因此圆心到原点的距离d.(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.规律方法1.直接法求圆的方程
6、，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程2待定系数法求圆的方程：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质变式训练1(1)(2018郑州模拟)经过点A(5,2)，B(3，2)，且圆心在直线2xy30上的圆的方程为_. 【导学号：00090275】(2)(2018青岛模拟)圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截
7、x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为_(1)x2y24x2y50(或(x2)2(y1)210)(2)(x2)2(y1)24(1)法一：圆过A(5,2)，B(3，2)两点，圆心一定在线段AB的垂直平分线上易知线段AB的垂直平分线方程为y(x4)设所求圆的圆心为C(a，b)，则有解得a2，且b1.因此圆心坐标C(2,1)，半径r|AC|.故所求圆的方程为(x2)2(y1)210.法二：设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则解得D4，E2，F5，所求圆的方程为x2y24x2y50.(2)设圆C的圆心为(a，b)(b0)，由题意得a2b0，且a2()2b2，解得a2，b1，故所求圆的
8、标准方程为(x2)2(y1)24.与圆有关的最值问题已知M(x，y)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值解(1)由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心C的坐标为(2,7)，半径r2.又|QC|4，|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由直线MQ与圆C有交点，所以2，可得2k2，的最大值为2，最小值为2.母题探究1(变化结论)在本例的条件下，求yx的最大值和最小值解设yxb，则xyb0.当直线yxb
9、与圆C相切时，截距b取到最值，2，b9或b1.因此yx的最大值为9，最小值为1.母题探究2(变换条件)若本例中条件“点Q(2,3)”改为“点Q是直线3x4y10上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值解圆心C(2,7)到直线3x4y10上动点Q的最小值为点C到直线3x4y10的距离，|QC|mind7.又圆C的半径r2，|MQ|的最小值为72.规律方法1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解2某些与圆相关的最值可利用函数关系求解根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、基本不等式求最值
10、是比较常用的变式训练2已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k(如图1)所以的最大值为，最小值为.图1图2图3(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图2)所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知
11、识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.与圆有关的轨迹问题(2018烟台模拟)已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|.
12、设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.规律方法求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解(2)定义法：根据圆的定义列方程求解(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解变式训练3(2018武威模拟)设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，.从而又N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点P在直线OM上的情况)
