1、等差数列及其前n项和考试要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系1等差数列(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示数学语言表示为an1and(nN*)，d为常数(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d.3等
2、差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)当d0时，等差数列an的通项公式andn(a1d)是关于d的一次函数(2)当d0时，等差数列an的前n项和Snn2n是关于n的二次函数4等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，(mN*)也是等差数列，公差为
3、m2d.(5)若an是等差数列，则也是等差数列，其首项与an的首项相同，公差是an的公差的.(6)若等差数列an的项数为偶数2n，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd，.(7)若an，bn均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则.(8)若等差数列an的项数为奇数2n1，则S2n1(2n1)an1；.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的. ()(3)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(4)等差数列的前n项和公
4、式是常数项为0的二次函数()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1等差数列an中，a4a810，a106，则公差d等于()AB C2DAa4a82a610，a65，又a106，公差d.故选A.2设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于()A31B32 C33D34B设数列an的公差为d，法一：由S55a330得a36，又a62，S832.法二：由得S88a1d82832.3已知等差数列8，3,2,7，则该数列的第100项为_487依题意得，该数列的首项为8，公差为5，所以a1008995487.4某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60
5、个座位，则剧场总共的座位数为_820设第n排的座位数为an(nN*)，数列an为等差数列，其公差d2，则ana1(n1)da12(n1)由已知a2060，得60a12(201)，解得a122，则剧场总共的座位数为820. 考点一等差数列基本量的运算 解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、
6、优化解题过程1(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5Ban3n10CSn2n28nDSnn22nA设等差数列an的首项为a1，公差为d.由题知，解得an2n5，Snn24n，故选A.2(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5等于()A12B10C10D12B设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，得32a1d4a1d，将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.故选B.3算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数
7、学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1()A23B32C35D38C由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为3，则9a1(3)207，解得a135，故选C.点评：涉及等差数列基本量的运算问题其关键是建立首项a1和公差d的等量关系 考点二等差数列的判定与证明 等差数列的判定与证明的方法方法解读适合题型定义法若anan1(n2，nN*)为同一常数an是等差数列解答题中证明问题等差中项法2anan1an
8、1(n2，nN*)成立an是等差数列通项公式法anpnq(p，q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证SnAn2Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列典例1若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，因为Sn0，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列(2)由(1)可得2n，所以Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式故an点评：证明成等差数列的关键是为与n无关的
9、常数，同时注意求数列an的通项公式时务必检验其通项公式是否包含n1的情形已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3；(2)证明数列是等差数列，并求an的通项公式解(1)由已知，得a22a14，则a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.(2)由已知nan1(n1)an2n(n1)，得2，即2，所以数列是首项1，公差d2的等差数列则12(n1)2n1，所以an2n2n. 考点三等差数列性质的应用 利用等差数列的性质解题的两个关注点(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2amamnamn可实现项的合并与拆分，在Sn中
10、，Sn与a1an可相互转化(2)利用Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，可求S2m或S3m.等差数列项的性质典例21(1)已知数列an是等差数列，若a94，a5a6a76，则S14()A84B70 C49D42(2)已知在等差数列an中，a5a64，则log2(2a12a22a10)()A10B20 C40D2log25(3)设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37等于()A0B37 C100D37(1)D(2)B(3)C(1)因为a5a6a73a66，所以a62，又a94，所以S147(a6a9)42.故选D.(2)log2(2a12a22a1
11、0)log22a1log22a2log22a10a1a2a105(a5a6)5420.故选B.(3)设an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以anbn为等差数列又a1b1a2b2100，所以anbn为常数列，所以a37b37100.点评：一般地amanamn，等号左右两边必须是两项相加，当然也可以是amnamn2am.等差数列前n项和的性质典例22(1)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S57，S1021，则S15等于()A35B42 C49D63(2)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 018，6，则S2 021_.
12、(1)B(2)4 042(1)由题意知，S5，S10S5，S15S10成等差数列，即7,14，S1521成等差数列，S1521728，S1542，故选B.(2)由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d，则6d6，d1，2 020d2 0182 0202，S2 0214 042.点评：本例(2)，也可以根据条件先求出a1，d，再求结果，但运算量大，易出错1已知等差数列an的前n项和为Sn，若m1，且am1am1a10，S2m139，则m等于()A39B20 C19D10B数列an为等差数列，则am1am12am，则am1am1a10可化为2ama10，解得am1.又S2m1(2m1)am3
13、9，则m20.故选B.2等差数列an中，a13a8a15120，则2a9a10的值是()A20B22 C24D8C因为a13a8a155a8120，所以a824，所以2a9a10a10a8a10a824.3设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的nN*，都有，则的值为()AB CDC由题意可知b3b13b5b11b1b152b8，.故选C. 考点四等差数列的前n项和及其最值 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大
14、值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.典例3等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A5B6 C7D8C法一：(邻项变号法)由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列，从而得到a70，a80，当n14时，an0.所以当n12或n13时，Sn取得最大值法二：Sn20nn2n2.因为nN*，所以当n12或n13时，Sn有最大值法三：由S10S15，得a11a12a13a14a150.所以5a130，即a130.所以当n12或n13时，Sn有最大值点评：本例用了三种不同
15、的方法，其中方法一是从项的角度分析函数最值的变化；方法二、三是借助二次函数的图象及性质给予解答，三种方法各有优点，灵活运用是解答此类问题的关键1设数列an是公差d0的等差数列，Sn为其前n项和，若S65a110d，则Sn取最大值时，n的值为()A5B6 C5或6D11C由题意得S66a115d5a110d，化简得a15d，所以a60，故当n5或6时，Sn最大2(2019北京高考)设an是等差数列，a110，且a210，a38，a46成等比数列(1)求an的通项公式；(2)记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值解(1)an是等差数列，a110，且a210，a38，a46成等比数列(a38)2(a210)(a46)，(22d)2d(43d)，解得d2，ana1(n1)d102n22n12.(2)法一：(函数法)由a110，d2，得Sn10n2n211n2，n5或n6时，Sn取最小值30.法二：(邻项变号法)由(1)知，an2n12.所以，当n7时，an0；当n6时，an0.所以Sn的最小值为S5S630.
