1、20192020学年度高二学期高三年级二模考试数学（文科）试卷第卷一、选择题1.集合，则集合中元素的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】画出指数函数和二次函数的图像，根据交集的含义，即可容易求得.【详解】作出与的图象可知两个函数有两个公共点，故集合中元素的个数为2故选：C.【点睛】本题考查集合的交运算，指数函数的图像，属综合基础题.2.设（为虚数单位），则（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求模即可详解：复数 故选A. 点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3.已知直
2、线和平面，有如下四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中真命题的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据面面垂直，线面垂直以及线面平行的判定，即可容易判断.【详解】若，则一定有，故正确；若，则，又因为，故可得，故正确；若，故可得/，又因为，故可得，故正确；若，则或，故错误；综上所述，正确的有.故选：C【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直的判定以及线面平行的判定，属综合基础题.4.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形.如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影.其正六边形的边长计算方法如下：，其中，.根据每层
3、边长间的规律.建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料.所用材料中.横向梁所用木料与正六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5层，若，.则这五层正六边形的周长总和为( ) A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的定义，结合已知可以判断数列是等差数列，最后利用等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】由已知得：，因此数列是以为首项，公差为等差数列，设数列前5项和为，因此有，所以这五层正六边形的周长总和为.故选：C【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了等差数列的定义，考查了等差数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.5.若98与63的最大公约数为，二进制数化为十进制数为，则（ ）
4、A. 53B. 54C. 58D. 60【答案】C【解析】由题意知，与63的最大公约数为7，又，选C点睛：求两个正整数的最大公约数时，可用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当出现整除时，就得到要求的最大公约数6.已知四边形ABCD为平行四边形，M为CD中点，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则可得，再利用向量数量积的运算即可求解.【详解】 .故选：A【点睛】本题考查了向量的加、减、数乘以及数量积的运算，需掌握三角形法则，属于基础题.7.如图所示的曲线图是2020年1月25日至2
5、020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是（ ）A. 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了B. 1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C. 2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D. 2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率【答案】D【解析】【分析】根据新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，提取出需要的信息，逐项判定，即可求解.【详解】由新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，可得：对于A中，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西
6、安所占比例为，故A正确；对于B中，由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确；对于C中，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了例，故C正确；对于D中，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，显然，故D错误.故选：D.【点睛】本题主要考查了图表的信息处理能力，其中解答中根据曲线图，提取出所用的信息是解答的关键，着重考查信息提取能力.8.记不等式组 ，表示的平面区域为 .下面给出的四个命题： ； ； ； 其中真命题的是：A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由
7、约束条件作出可行域，利用目标函数的几何意义求解z=x+y，z12xy，z2，z3x2+y2，的范围，判断命题的真假即可【详解】实数x，y满足，由约束条件作出可行域为D，如图阴影部分，A（2，0），B（0，2），C（1，3），z=x+y经过可行域的点A及直线BC时分别取得最值，可得：z2，2，所以错误；z12xy经过可行域的B、C时分别取得最值，可得：z15，2，所以正确；z2，它的几何意义是可行域内的点与（1，1）连线的斜率，可得：DA的斜率是最大值为：；BD的斜率取得最小值为：；z2，；所以错误；z3x2+y2，它的几何意义是可行域内的点与（0，0）连线的距离的平方，最小值为原点到直线y=x
8、+2的距离的平方：（）2，最大值为OC的平方：（10）2+（30）210，z3，10所以正确；故选C【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键9.达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对蒙娜丽莎的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知，设可得于是可得，进而得出结论详解】解：依
9、题意，设则，设蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为则，故选：A【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10.在如图所示的空间几何体中，下面的长方体的三条棱长，上面的四棱锥中，则过五点、的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在四棱锥中，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用勾股定理求得四棱锥的外接球半径，由此求得外接球的表面积.【详解】问题转化为求四棱锥的外接球的表面积，所以外接圆的半径为，由于平面，则平面，平面，所以平面平面，所以外接球的所以故选:C【点睛】本小题主要考查四棱锥外接球表面积
10、的计算，属于基础题.11.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根【详解】解：函数的定义域是，是函数的唯一一个极值点是导函数的唯一根，在无变号零点，即在上无变号零点，令，因为，所以在上单调递减，在上单调递增所以的最小值为，所以必须，故选A【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题对参数需要进行讨论12.已知抛物线的方程为，为其焦点，过的直线与抛物线交于两点（点在轴上方），点，连接交轴于，过作交于，若，则斜率为( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析
11、】根据抛物线方程，求得焦点坐标和准线方程，作垂直于准线交准线于，画出几何关系图形.由且，可得，结合抛物线定义可知求得点的横坐标，代入抛物线方程可求得纵坐标.由两点间斜率公式可得直线斜率，即为的斜率.【详解】抛物线的方程为，为其焦点，过的直线与抛物线交于两点（点在轴上方），点，连接交轴于，则，准线方程为.根据题意画出几何关系如下图所示：作垂直于准线交准线于.且，则，垂直于准线交准线于，则，即，解得，代入抛物线方程可得，斜率，即为的斜率，所以.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线标准方程及其几何性质的综合应用，平行线分线段成比例性质应用，直线与抛物线位置关系的综合应用，属于中档题.第卷二、填空题13
12、.已知双曲线C：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为_【答案】4.【解析】【分析】利用双曲线的性质及条件列a,b,c的方程组，求出c可得.【详解】因为双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 ，所以,解得，所以双曲线的焦距为4.故答案为4.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，注意隐含条件，考查运算求解能力，属于基础题.14.设数列的前项和为，且满足，则_【答案】【解析】【分析】由题意可得数列的首项为，在中将换为，两方程相减可得数列的通项公式，再由等比数列求和公式计算可得所求和【详解】解：，可得时， ，时，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，
13、可得故答案为【点睛】本题主要考查了赋值法及等比数列的前项和公式，考查计算能力及分析能力，属于中档题15.如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为_m【答案】60【解析】【分析】由已知可以求出、的大小，在中，利用锐角三角函数，可以求出.在中，运用正弦定理，可以求出.在中，利用锐角三角函数，求出.【详解】由题意可知：，由三角形内角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：，在中，.【点睛】本题考查了锐角三角函数、正弦定理，考
14、查了数学运算能力.16.九章算术卷第五商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马，平面，.上有一点，使截面的周长最短，则与所成角的余弦值等于_.【答案】【解析】【分析】要使截面的周长最短，则最短，连接，交于，作交于，连接，则与所成角为，计算得到答案.【详解】要使截面的周长最短，则最短，将底面沿展开成平面图形（如图），连接，交于，则，当共线时等号成立，此时，由，则，故，故，作交于，连接，则与所成角为，易得，由于，.故答案为：.【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17.2020年1月，教育部关于在部分高校开展基础学科招生改
15、革试点工作的意见印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）.强基计划聚焦高端芯片与软件智能科技新材料先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.新材料产业是重要的战略性新兴产业，下图是我国2011-2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图.其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（）.（1）求2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数；（2）从2012年至2019年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上
16、一年的年增加量不少于6000亿元的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.（结论不要求证明）【答案】（1）3.26亿万元（2）（3）从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.【解析】【分析】（1）由柱状图表得出这5年的市场规模，运用公式求平均数即可；（2）根据柱状图表算出从2012年起，每年新材料产业市场规模的增加值，利用古典概型算出概率；（3）由折线图判断从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.【详解】（1）2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数万亿元；（2）设表示事件“从2012年至20
17、19年中随机挑选一年，读年新材料产业市场规模的增加值达到6000亿元”，从2012年起，每年新材料产业市场规模的增加值依次为：3000，2000，3000，5000，6000，4000，8000，6000（单位：亿元），所以.（3）从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.【点睛】本题主要考查了古典概率的计算，统计图表的认识，样本的数字特征，考查学生数据分析能力，以及对平均数，方差概念的理解.18.已知函数.(I)求f(0)的值；(II)从；这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期.【答案】(I) ；(II)
18、时，；时，.【解析】【分析】(I)将代入求值即可；(II)用二倍角和辅助角公式化简可得，再由可得，结合正弦函数图象求解最值；，利用抛物线知识求解【详解】(I)；(II)，由题意得，故，所以当时，取最小值.，令，当时，函数取得最小值为.，【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或的形式；（2）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值. （3）换元转化为二次函数研究最值.19.如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.（1）证明：平面.（2）
19、若，当三棱锥的体积最大时，求到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理，可得平面，进而有，再由已知可得，即可得证结论；（2）由体积公式，要使三棱锥的体积最大时，为弧的中点，求出，进而求出，用等体积法，即可求解.【详解】（1）证明：因为平面平面是正方形，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为点在以为直径的半圆弧上，所以.又，所以平面.（2）当点位于的中点时，的面积最大，三棱锥的体积也最大.因为，所以，所以的面积为，所以三棱锥的体积为.因为平面，所以，的面积为.设到平面距离为，由，得，即到平面的距离为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，空间中垂直的相互转化
20、是解题的关键，考查用等体积法求点到面的距离，属于中档题.20.已知动点到两点，的距离之和为4，点在轴上的射影是C，.（1）求动点的轨迹方程；（2）过点的直线交点的轨迹于点，交点的轨迹于点，求的最大值.【答案】（1）.（2）1【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义和题设条件，求得点的轨迹方程是，设点坐标为，由所以点的坐标为，代入即可求解.（2）若轴，求得；若直线不与轴垂直，设直线的方程为，根据圆的弦长公式，求得，再联立方程组，结合根与系数的关系，求得的表达式，代入化简，即可求解.【详解】（1）设，因为点到两点的距离之和为4，即 可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，所以，即，且，则，所以点的轨
21、迹方程是.设点坐标为，因所以点的坐标为，可得，化简得点的轨迹方程为.（2）若轴，则，.若直线不与轴垂直，设直线的方程为，即，则坐标原点到直线的距离，.设.将代入，并化简得，.，.，当且仅当即时，等号成立.综上所述，最大值为1.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，圆的性质，及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若，且，证明：.【答案】（1）单
22、调递减区间为；单调递增区间为.（2）见解析【解析】【分析】(1)先求函数定义域，对函数求导，分别解不等式和，得函数增区间和减区间即可；(2)由,得，可构造函数，则，探究在上的单调性，构造函数，探究在上的单调性,再结合关系式，利用单调性可得出结论【详解】（1）的定义域为，由，得，从而；由，得，从而；所以，的单调递减区间为；单调递增区间为.（2），即，令，则，.当时，；当时，故时，恒成立，所以在上单调递增，不妨设，注意到，所以，令，则，令，则，所以在上单调递增，从而，即，所以在上单调递减，于是，即，又，所以，于是，而在上单调递增，所以，即.【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于含三角函数
23、与指数函数的极值点偏移问题，难点在于选取合适的函数求导以及通过放缩对不等式进行转换，属于难题请考生在第（22）、（23）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号选修4-4：坐标系与参数方程22.在极坐标系中，圆的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.（1）求圆的直角坐标方程；（2）已知曲线的参数方程为(为参数)，曲线与圆交于两点，求圆夹在两点间的劣弧的长.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1），代入，即可得到圆的直角坐标方程；（2）通过消参可得曲线的普通方程为，则联立方程，可求出，由，可求出劣弧的圆心角为，进而可求弧长.【详解】（
24、1）解：因为，则，整理得，所以圆的直角坐标方程为.（2）解：曲线的普通方程为，由题意知，当时，的交点为，即 ，解得，即，当时，的交点为，即，解得，即，由（1）知，圆心，半径.，则，则，所以劣弧的长为.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了参数方程转化为普通方程，考查了弧长的求解，考查了直线与圆的位置关系.本题的关键是求出劣弧的圆心角.选修4-5：不等式选讲23.已知函数 （1）求不等式的解集；（2）设的最小值为，若，且，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解；（2）先求出s=1，再求出，构造函数求取值范围.【详解】（1），由；由；由；所以或.（2），.设,当时，函数单调递减，所以；当时，函数单调递减，所以；当时，函数单调递增，所以所以.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查三角绝对值不等式和绝对值的范围的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
