1、2012-2013学年广东省揭阳市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1（5分）=（）A2iB2+iC2iD2+i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果解答：解：=2i，故选C点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（5分）集合A=0，4，B=x|x2+4x0，则AB=（）ARBx|x0C0D考点：交集及其运算专题：不等式的解法及应用分析：解元二次不等式求得B，再根据两个集合的
2、交集的定义求得AB解答：解：集合A=0，4，B=x|x2+4x0=x|4x0=4，0，AB=0，故选C点评：本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，一元二次不等式的解法，属于基础题3（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x2y2=2的右焦点重合，则p的值为（）A2B2C4D4考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质专题：计算题分析：将双曲线化成标准方程，求得a2=b2=2的值，从而得到双曲线的右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得 =2，所以p的值为4解答：解：双曲线x2y2=2的标准形式为：=1a2=b2=2，可得c=2，双曲线的右焦点为F（2，0）抛物线y2=2px（p0）的
3、焦点与双曲线x2y2=2的右焦点重合，=2，可得p=4故选D点评：本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题4（5分）不等式x10成立的充分不必要条件是（）A1x0或x1B0x1Cx1Dx2考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题分析：由x10，得x1，综合选项可得x2x1，而x1不能推出x2解答：解：由x10，得x1，显然x2x1，而x1不能推出x2故x2是x10成立的充分不必要条件，故选D点评：本题考查充要条件的判断，属基础题5（5分）对于平面和共面的两直线m、n，下列命题中是真命题的为（）A若m，
4、mn，则nB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，n，m，n，则考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系专题：空间位置关系与距离分析：逐个验证：选项A，可得n，或n，故错误；选项B，可得mn，或mn相交，异面均有可能，故错误；选项C，由同垂直于一个平面的直线平行，故正确；选项D，需满足mn相交，才可推出，故错误解答：解：选项A，若m，mn，则n，或n，故A错误；选项B，若m，n，则可能mn，或mn相交，异面均有可能，故B错误；选项C，由同垂直于一个平面的直线平行，可知若m，n，则必有mn，故C正确；选项D，若m，n，m，n，需满足mn相交，才可推出，故D错误故选
5、C点评：本题考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断，属基础题6（5分）平面四边形ABCD中，则四边形ABCD是（）A矩形B菱形C正方形D梯形考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算专题：计算题；平面向量及应用分析：根据，得线段AB、CD平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形再由，得对角线AC、BD互相垂直，即可得到四边形ABCD是菱形解答：解：，即，可得线段AB、CD平行且相等四边形ABCD是平行四边形又，即，四边形ABCD的对角线互相垂直因此四边形ABCD是菱形故选：B点评：本题给出向量条件，判断四边形ABCD的形状，着重考查了平面向量的线性运算、数量积运算及其性质，考查了菱
6、形的判定方法，属于中档题7（5分）等比数列an中a1=512，公比，记（即表示数列an的前n项之积），中值为正数的个数是（）A1B2C3D4考点：数列的应用；等比数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：等比数列an中a10，公比q0，故奇数项为正数，偶数项为负数，利用新定义，即可得到结论解答：解：等比数列an中a10，公比q0，故奇数项为正数，偶数项为负数，故选B点评：本题考查等比数列，考查新定义，考查学生的计算能力，属于基础题8（5分）（2013河东区二模）给出计算 的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）Ai10Bi10Ci20Di20考点：循环结构专题：压轴题；图表型分析：
7、结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件解答：解：根据框图，i1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i10”故选A点评：本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件：关键是判断出有关字母的实际意义，要达到目的，需要对字母有什么限制9（5分）已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本中心点为（4，5），若解释变量的值为10，则预报变量的值约为（）A16.3B17.3C12.38D2.03考点：回归分析的初步应用；线性回归方程专题：概率与统计分析：先确定回归
8、方程，再将x=10代入，即可得出结论解答：解：设回归方程为y=1.23x+b，样本中心点为（4，5），5=4.92+bb=0.08y=1.23x+0.08x=10时，y=12.38故选C点评：本题考查回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题10（5分）定义域R的奇函数f（x），当x（，0）时f（x）+xf（x）0恒成立，若a=3f（3），b=f（1），c=2f（2），则（）AacbBcbaCcabDabc考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：先构造函数g（x）=xf（x），依题意得g（x）是偶函数，且g（x）0恒成立，从而故g（x）在x（，0）单调递减，根据偶函数的对称性得出
9、g（x）在（0，+）上递增，即可比较a，b，c的大小解答：解：设g（x）=xf（x），依题意得g（x）是偶函数，当x（，0）时，f（x）+xf（x）0，即g（x）0恒成立，故g（x）在x（，0）单调递减，则g（x）在（0，+）上递增，又a=3f（3）=g（3），b=f（1）=g（1），c=2f（2）=g（2）=g（2），故acb故选A点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于中档题二、填空题：本题共4小题，满分共20分，把答案填在答题卷相应的位置上11（5分）高一高二高三女生600y650男生xz750某
10、校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，则高二的学生人数为1200考点：分层抽样方法专题：概率与统计分析：依表可知x+y+z=4000600650750=2000，再由=0.2，求得x的值，即可求得高二的学生人数y+z的值解答：解：依表知x+y+z=4000600650750=2000，再由=0.2，于是x=800，故高二的学生人数为y+z=2000800=1200，故答案为 1200点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用各个个体被抽到的概率相等，属于基础题12（5分）（2011朝阳区三模）如果实数x，y满足条件那么
11、2xy的最大值为1考点：简单线性规划专题：图表型分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2xy表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可解答：解：先根据约束条件画出可行域，当直线2xy=t过点A（0，1）时，t最大是1，故答案为：1点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题13（5分）一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：由已知中的三视图，我们易判断出三棱柱的底面上的高和棱柱的高，进而求出底面面积，代入棱柱体积公式，即可得到答案解答：解：由已知中三视图，可得这是一个正
12、三棱柱底面的高为2，则底面面积S=4棱柱的高H=2则正三棱柱的体积V=SH=8故答案为：8点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何的形状，并分析出棱长，高等关键几何量是解答本题的关键，本题易将2当成底面的棱长，而错解为1214（5分）在ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（2bc）cosA=acosC，则cosA=考点：余弦定理专题：解三角形分析：由条件利用正弦定理可得 2sinBcosAsinCcosA=sinAcosC，利用两角和的正弦公式化简求得cosA的值解答：解：在ABC中，（2bc）cosA=acosC，由正弦定理可得 2sinBcosAs
13、inCcosA=sinAcosC，化简可得 2sinBcosA=sin（A+C），化简求得cosA=，故答案为 点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题三解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（12分）已知函数f（x）=sinx+cosx，f（x）是f（x）的导函数（1）求函数g（x）=f（x）f（x）的最小值及相应的x值的集合；（2）若f（x）=2f（x），求的值考点：利用导数研究函数的极值；两角和与差的正切函数专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）求出导数f（x），表示出g（x）并化简，由余弦函数的性质可求其最小值及相
14、应x的值的集合；（2）由f（x）=2f（x）可求得tanx值，利用和角正切公式可求得的值；解答：解：（1）f（x）=sinx+cosx，故f（x）=cosxsinx，g（x）=f（x）f（x）=（sinx+cosx）（cosxsinx）=cos2xsin2x=cos2x，当2x=+2k（kZ），即时，g（x）取得最小值1，相应的x值的集合为 （2）由f（x）=2f（x），得sinx+cosx=2cosx2sinx，cosx=3sinx，故，点评：本题考查导数的运算法则及两角和差的正切函数，考查学生的运算求解能力16（12分）设事件A表示“关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根”（1）若a、
15、b1，2，3，求事件A发生的概率P（A）；（2）若a、b1，3，求事件A发生的概率P（A）考点：古典概型及其概率计算公式；几何概型专题：概率与统计分析：（1）先求出关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根的条件，求出数对（a，b）的所有可能事件，再求出求出事件A包含的事件，根据公式计算即可；（2）先判断为几何概型，利用面积比计算即可解答：解：（1）由关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根，得04a24b20，故a2b2，当a0，b0时，得ab若a、b1，2，3，则总的基本事件数（即有序实数对（a，b）的个数）为33=9事件A包含的基本事件为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1）
16、，（3，2），（3，3），共有6个事件A发生的概率（2）若a、b1，3，则总的基本事件所构成的区域=（a，b）|1a3，1b3，是平面直角坐标系aOb中的一个正方形如图：其面积 事件A构成的区域是A=（a，b）|1a3，1b3，ab，是平面直角坐标系aOb中的一个等腰直角三角形，如图的阴影部分，其面积故事件A发生的概率点评：本题考查古典概型的概率计算及几何概型的概率计算17（14分）已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上是否存在点Q，使得MNQ的面积？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由考点：圆锥曲线的综合；圆锥曲线的轨迹问题专题：综合题；圆
17、锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）设动点坐标，利用，可得轨迹方程，从而可得动点P的轨迹C；（2）利用面积求得点Q的纵坐标，代入椭圆方程，即可求得点Q的坐标解答：解：（1）设动点P（x，y），又点M（4，0）、N（1，0）， （3分）由，得，（4分）（x28x+16）=4（x22x+1）+4y2，故3x2+4y2=12，即轨迹C是焦点为（1，0）、长轴长2a=4的椭圆； （7分）（2）设曲线C上存在点Q（x0，y0）满足题意，则 （9分），又|MN|=3，故|y0|=1 （11分）， （12分） （13分）曲线C上存在点使得MNQ的面积（14分）点评：本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程，考查
18、三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题18（14分）已知梯形ABCD中ADBC，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EFBC，AE=x沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD平面EBCF（如图）G是BC的中点（1）当x=2时，求证：BDEG；（2）当x变化时，求三棱锥DBCF的体积f（x）的函数式考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：空间位置关系与距离分析：（1）利用面面垂直的性质证线面垂直，由线面垂直线线垂直，再由线线垂直证线面垂直，由线面垂直的性质证得线线垂直；（2）根据题意先求得棱锥的高，再根据体积公式求三棱锥的体积即可解答：解：（1）证明：
19、作DHEF，垂足H，连结BH，GH，平面AEFD平面EBCF，交线EF，DH平面EBCF，DH平面EBCF，又EG平面EBCF，故EGDH ，EFBC，ABC=90四边形BGHE为正方形，EGBH 又BH、DH平面DBH，且BHDH=H，故EG平面DBH又BD平面DBH，EGBD （2）AEEF，平面AEFD平面EBCF，交线EF，AE平面AEFDAE面EBCF又由（1）DH平面EBCF，故AEGH，四边形AEHD是矩形，DH=AE，故以F、B、C、D为顶点的三棱锥DBCF的高DH=AE=x 又 三棱锥DBCF的体积f（x）=点评：本题考查线面垂直的性质及棱锥的体积19（14分）（2013浙江
20、模拟）数列an的前n项和，若，（1）求数列an的前n项和Sn；（2）求数列an的通项公式；（3）设，求数列bn的前n项和Tn考点：数列递推式；数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用数列an的前n项和，建立方程，求出a，b的值，即可求数列an的前n项和Sn；（2）利用，再写一式，两式相减，即可求数列an的通项公式；（3）求得数列bn的通项，利用裂项法即可求数列bn的前n项和Tn解答：解：（1）由，得，由，得，解得，故； （4分）（2）当n2时，（7分）由于也适合 （8分）； （9分）（3） （10分）数列bn的前n项和= （14分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考
21、查学生的计算能力，属于中档题20（14分）二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是（1）求f（x）的解析式；（2）实数a0，函数g（x）=xf（x）+（a+1）x2a2x，若g（x）在区间（3，2）上单调递减，求实数a的取值范围考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法专题：导数的综合应用分析：（1）由题意可设f（x）=ax（x1）（a0），又由最小值是，联合解之即可；（2）表示出g（x），求导数，令导函数小于0得到函数的单调减区间，让区间（3，2）为函数的单调递减区间的子集即可解答：解：（1）由二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0设f（x）=ax（x1）（a0），则
22、又f（x）的最小值是，故解得a=1f（x）=x2x； （4分）（2）g（x）=xf（x）+（a+1）x2a2x=x3x2+ax2+x2a2x=x3+ax2a2xg（x）=3x2+2axa2=（3xa）（x+a）（6分）由g（x）=0，得，或x=a，又a0，故（7分）当，即a0时，由g（x）0，得 （8分）g（x）的减区间是，又g（x）在区间（3，2）上单调递减，解得，故a6（满足a0）； （10分）当，即a0时，由g（x）0，得g（x）的减区间是，又g（x）在区间（3，2）上单调递减，解得，故a9（满足a0） （13分）综上所述得a9，或a6实数a的取值范围为（，96，+） （14分）点评：本题考查二次函数的性质，涉及函数由函数的导数来研究单调性问题，属中档题
