1、利用导数解决函数的零点问题建议用时：45分钟1(2019全国卷)已知函数f(x)ln x.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线yln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线yex的切线解(1)f(x)的定义域为(0,1)(1，)因为f(x)0，所以f(x)在(0,1)，(1，)单调递增因为f(e)10，f(e2)20，所以f(x)在(1，)有唯一零点x1(ex1e2)，即f(x1)0.又01，fln x1f(x1)0，故f(x)在(0,1)有唯一零点.综上，f(x)有且仅有两个零点(2)因为eln x0，故点B在曲线yex
2、上由题设知f(x0)0，即ln x0，连接AB，则直线AB的斜率k.曲线yex在点B处切线的斜率是，曲线yln x在点A(x0，ln x0)处切线的斜率也是，所以曲线yln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线yex的切线2(2019武汉调研)已知函数f(x)exax1(aR)(e2.718 28是自然对数的底数)(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论g(x)f(x)在区间0,1上零点的个数解(1)因为f(x)exax1，所以f(x)exa，当a0时，f(x)0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间；当a0时，令f(x)0，得xln a，令f(x)0，得xln a，
3、所以f(x)的单调递减区间为(，ln a)，单调递增区间为(ln a，)(2)令g(x)0，得f(x)0或x，先考虑f(x)在区间0,1上的零点个数，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增且f(0)0，所以f(x)在0,1上有一个零点；当ae时，f(x)在(，1)上单调递减，所以f(x)在0,1上有一个零点；当1ae时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a,1)上单调递增，而f(1)ea1，当ea10，即1ae1时，f(x)在0,1上有两个零点，当ea10，即e1ae时，f(x)在0,1上有一个零点当x时，由f0得a2(1)，所以当a1或ae1或a2(1)时，g(x)在0,1上有
4、两个零点；当1ae1且a2(1)时，g(x)在0,1上有三个零点3(2019辽宁锦州联考)已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若函数f(x)在x0处取得极值，求实数a的值；并求此时f(x)在2,1上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围解(1)由f(x)exaxa，得f(x)exa.因为函数f(x)在x0处取得极值，所以f(0)e0a0，所以a1.经检验，a1，符合题意，所以f(x)ex1.所以当x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增易知f(x)在2,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，且f(2)3，f(1)e，f(2)f(1)，所以f(x)在2,1上的最大值为3.(2)f(x)exa，由于ex0，当a0时，f(x)0，f(x)是增函数，且当x1时，f(x)exa(x1)0.当x0时，取x，则f1aa0，所以函数f(x)存在零点，不满足题意当a0时，令f(x)exa0，xln(a)当x(，ln(a)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以xln(a)时，f(x)取得最小值函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0.综上所述，所求实数a的取值范围是(e2,0).
