1、课时跟踪检测(五十九)最值、范围、证明问题一保高考，全练题型做到高考达标1(2015贵阳期末)已知椭圆 C 的两个焦点是(0，3)和(0，3)，并且经过点32，1，抛物线 E 的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆 C 的右顶点 F.(1)求椭圆 C 和抛物线 E 的标准方程；(2)过点 F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线 l1，l2，l1 交抛物线 E 于点 A，B，l2 交抛物线 E 于点 G，H，求 AG HB 的最小值解：(1)设椭圆 C 的标准方程为y2a2x2b21(ab0)，焦距为 2c，则由题意得 c 3，2a341 32341 324，a2，b2a2c21，椭圆 C 的标准方程为
2、y24x21.右顶点 F 的坐标为(1,0)设抛物线 E 的标准方程为 y22px(p0)，p21,2p4，抛物线 E 的标准方程为 y24x.(2)设 l1 的方程：yk(x1)，l2 的方程：y1k(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)由ykx1，y24x消去 y 得：k2x2(2k24)xk20，4k416k2164k40，x1x22 4k2，x1x21.同理 x3x44k22，x3x41，AG HB(AF FG)(HF FB)AF HF AF FB FG HF FG FB|AF|FB|FG|HF|x11|x21|x31|x41|(x1x2x1x
3、21)(x3x4x3x41)84k24k2824k24k216，当且仅当4k24k2，即 k1 时，AG HB 有最小值 16.2(2015福建高考)已知点 F 为抛物线 E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线 E 上，且|AF|3.(1)求抛物线 E 的方程；(2)已知点 G(1,0)，延长 AF 交抛物线 E 于点 B，证明：以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切解：(1)由抛物线的定义得|AF|2p2.因为|AF|3，即 2p23，解得 p2，所以抛物线 E 的方程为 y24x.(2)法一：因为点 A(2，m)在抛物线 E：y24x 上，所以 m2
4、2.由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2 2)由 A(2,2 2)，F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y2 2(x1)由y2 2x1，y24x，得 2x25x20，解得 x2 或 x12，从而 B12，2.又 G(1,0)，所以 kGA 2 20212 23，kGB 201212 23，所以 kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点 F 到直线 GA，GB 的距离相等，故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切法二：设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r.因为点 A(2，m)在抛物线 E：y24x 上，所以 m2 2.由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2
5、 2)由 A(2,2 2)，F(1,0)可得直线 AF 的方程为y2 2(x1)由y2 2x1，y24x，得 2x25x20，解得 x2 或 x12，从而 B12，2.又 G(1,0)，故直线 GA 的方程为 2 2x3y2 20，从而 r|2 22 2|894 217.又直线 GB 的方程为 2 2x3y2 20，所以点 F 到直线 GB 的距离d|2 22 2|894 217r.这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切3如图所示，已知直线 l 过点 M(4,0)且与抛物线 y22px(p0)交于 A，B 两点，以弦AB 为直径的圆恒过坐标原点 O.(1)求抛物线的
6、标准方程；(2)设 Q 是直线 x4 上任意一点，求证：直线 QA，QM，QB 的斜率依次成等差数列解：(1)设直线 l 的方程为 xky4，代入 y22px 得 y22kpy8p0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 y1y22kp，y1y28p，而OA OB 0，故 0 x1x2y1y2(ky14)(ky24)8pk2y1y24k(y1y2)168p，即 08k2p8k2p168p，得 p2，所以抛物线方程为 y24x.(2)设 Q(4，t)由(1)知 y1y24k，y1y216，所以 y21y22(y1y2)22y1y216k232.因为 kQAy1tx14y1ty21444y
7、1ty2116，kQBy2tx24y2ty22444y2ty2216，kQM t8，所以 kQAkQB4y1ty2116 4y2ty22164y1ty2216y2ty2116y2116y22164y1y2216y1ty2216ty2y2116y2ty2116ty21y2216y21y221616 ty21y2232t8164y21y22 t16k23232t816416k232t42kQM.所以直线 QA，QM，QB 的斜率依次成等差数列4已知 F1，F2 分别为椭圆 C1：y2a2x2b21 的上、下焦点，F1 是抛物线 C2：x24y 的焦点，点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点，
8、且|MF1|53.(1)求椭圆 C1 的方程；(2)与圆 x2(y1)21 相切的直线 l：yk(xt)，kt0 交椭圆 C1 于 A，B，若椭圆 C1上一点 P 满足OAOB OP，求实数 的取值范围解：(1)由题知 F1(0,1)，所以 a2b21，又由抛物线定义可知 MF1ym153，得 ym23，于是易知 M2 63，23，从而 MF22 632231 273，由椭圆定义知 2aMF1MF24，得 a2，故 b23，从而椭圆 C1 的方程为x23 y241.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由OAOB OP 知，x1x2x0，y1y2y0，且x203 y
9、2041，又直线 l：yk(xt)，kt0 与圆 x2(y1)21 相切，所以有|kt1|1k21，由 k0，可得 k 2t1t2(t1，t0)，又联立ykxt，4x23y212 消去 y，得(43k2)x26k2tx3k2t2120，且 0 恒成立，x1x2 6k2t43k2，x1x23k2t21243k2，所以 y1y2k(x1x2)2kt 8kt43k2，所以得 P6k2t43k2，8kt43k2.代入式得12k4t2243k2216k2t2243k221，所以 2 4k2t243k2.又将式代入得，24 1t2 21t21，t0，t1.易知 1t2 21t211 且 1t2 21t21
10、3，所以 20，43 43，4，所以 的取值范围为2，2 332 33，0 0，2 332 33，2.二上台阶，自主选做志在冲刺名校(2016赣江模拟)如图所示，设 F(c,0)是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点，直线 l：xa2c 与 x 轴交于 P 点，MN 为椭圆的长轴，已知|MN|8，且|PM|2|MF|.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点 P 的直线 m 与椭圆相交于不同的两点 A，B.证明：AFMBFN；求ABF 面积的最大值解：(1)|MN|8，a4，又|PM|2|MF|，e12.c2，b2a2c212.椭圆的标准方程为x216y2121.(2)证明：当 AB 的斜率为
11、0 时，显然AFMBFN0，满足题意；当 AB 的斜率不为 0 时，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，AB 的方程为 xmy8，代入椭圆方程整理得(3m24)y248my1440.576(m24)0，得 m24，yAyB 48m3m24，yAyB 1443m24.则 kAFkBF yAxA2 yBxB2yAmyA6yBmyB6yAmyB6yBmyA6myA6myB62myAyB6yAyBmyA6myB6，而 2myAyB6(yAyB)2m1443m246 48m3m240，kAFkBF0，AFMBFN.综上可知，AFMBFN.SABFSBFPSAFP12|PF|yByA|72 m243m24，即 SABF 72 m243m2416723 m2416m24722 3163 3，当且仅当 3 m2416m24，即 m2 213时(此时适合于 0 的条件)取到等号ABF 面积的最大值是 3 3.
