1、福建省莆田市莆田第七中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）1.若，则下列正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除【详解】A选项不正确，因为若，则不成立；B选项不正确，若时就不成立；C选项不正确，同B，时就不成立；D选项正确，因为不等式两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D【点睛】本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌
2、握不等式的运算性质2.数列，的一个通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式【详解】数列an各项值为，各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，|an|2n1又数列的奇数项为负，偶数项为正，an（1）n（2n1）故选C【点睛】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其规律是关键解题时应注意数列的奇数项为负，偶数项为正，否则会错3.命题“若，则，”的否命题为（）A. 若，则，B. 若，则或C. 若，则，D. 若，则或【答案】D【解析】【分析】
3、根据否命题是对命题的条件和结论均要否定求得.【详解】否命题是对命题的条件和结论均要否定，故选D.【点睛】本题注意区分“否命题”和“命题的否定”，属于基础题.4.已知,则“”是“”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解出不等式x23x0，再判断命题的关系【详解】x23x0得，x0，或x3；x0，或x3得不出x40，“x23x0”不是“x40”充分条件；但x40能得出x3，“x23x0”“x40”必要条件故“x23x0”是“x40”的必要不充分条件故选B【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若
4、则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件5.若的三个内角满足，则（ ）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】【分析】由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.【详解】由，可得出，设，则，则角为最大角，由余弦定理得，则角为钝角，因此，为钝角三角形，故选C.【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形
5、的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6.设是等差数列的前项和，若，则( )A. 21B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，可求出，再结合可求出答案.【详解】因为是等差数列，所以，即，则.故选C.【点睛】本题考查了等差中项及等差数列的前项和，考查了学生的计算能力，属于基础题.7.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出变量满足可行域，目标函数可化为，直线在轴上的截距最小时，最小，当直线过点时满足题意.【详解】画出变量满足的可行域（见下图阴影部分），目标函数可化为
6、，显然直线在轴上的截距最小时，最小，平移直线经过点时，最小，联立，解得，此时.故选A.【点睛】本题考查了线性规划，考查了数形结合的数学思想，属于基础题.8.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意an是公比为2的等比数列，S7=381，解得a1=3故选B9.在ABC中，若cosC，则ABC为（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D
7、. 等边三角形【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理化简已知不等式，求得，由此判断出三角形的形状.【详解】依题意，由余弦定理得，化简得，所以，故为钝角，所以三角形为钝角三角形.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.10.一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南海里方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么、两点间的距离是（ ）A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里【答案】A【解析】【详解】如图，在中，,则；由正弦定理得，得,即B、C两点间的距离是10海里考
8、点：解三角形11.已知若x，y均为正数，则的最小值是A. B. C. 8D. 24【答案】C【解析】【分析】由已知可得，展开整理后利用基本不等式即可求解【详解】，y均为正数，则当且仅当且即，时取等号，的最小值是8故选C【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是对应用条件的配凑12.已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过将利用合一公式变为，代入A求得A角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值.【详解】，为三角形内角，则，当且仅当时取等号【点睛】本题主要
9、考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）13.若不等式的解集为R，实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意，可得，即，求解即可.【详解】由题意，可得，即，解得.故答案为.【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了学生的推理能力，属于基础题.14.数列中，则的通项公式为 ；【答案】【解析】试题分析：，且，是以3位首项、3为公比的等比数列，则.考点：等比数列15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_.【
10、答案】【解析】【分析】利用正弦公式将b代换，求出，再用a，b，c成等比数列表示出，分析特点，再次采用正弦定理即可求得【详解】由正弦定理可知，易得，又a，b，c成等比数列，所以，.则【点睛】本题主要考查正弦定理的具体用法，边化角是正弦定理使用中考察频率最高的一种形式，做题时应优先考虑16.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.记此数列为，则_ 【答案】2【解析】【分析】结合数列的性质和等差数列求和公式确定的值即可.【详解】将所给的数列分组，第1组为：，第2组为：，第3组为：，则
11、数列的前n组共有项，由于，故数列的前63组共有2016项，数列的第2017项为，数列的第2018项为.【点睛】本题主要考查等差数列前n项和公式的应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在中，若，求的值；若的面积为，求b的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由已知及正弦定理即可计算求得的值由已知利用三角形面积公式可求的值，根据余弦定理可得的值【详解】解：在中，由正弦定理，可得：；，的面积为，解得：，由余弦定理可得：【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考
12、查了计算能力和转化思想，属于基础题18.已知数列的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求数列通项公式主要借助于分情况求解，最后要验证结果是否能够合并；（2）整理数列的通项公式得，结合特点可采用分组求和试题解析：（1）当时，当时，也适合时，（2），考点：数列求通项及分组求和19.设命题p：实数x满足x2-2ax-3a20（a0），命题q：实数x满足0（）若a=1，p，q都为真命题，求x的取值范围；（）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】（）2，3）； （）.【解析】【分析】（）把a=1代入x2-2ax-3a20，化为
13、x2-2x-30，可得-1x3；求解分式不等式可得q为真命题的x的范围，取交集得答案；（）求解x2-2ax-3a20（a0），得-ax3a，由0，得2x4，由q是p的充分不必要条件，可得2，4）（-a，3a），由此列关于a的不等式组求解【详解】（）a=1，则x2-2ax-3a20化为x2-2x-30，即-1x3；若q为真命题，则0，解得2x4p，q都为真命题时x取值范围是2，3）；（）由x2-2ax-3a20（a0），得ax3a，由0，得2x4，q是p的充分不必要条件，2，4）（a，3a），则，即【点睛】本题考查复合命题的真假判断与应用，考查数学转化思想方法，是中档题20.北京某附属中学为了改
14、善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元（1）若学生宿舍建筑为层楼时，该楼房综合费用为万元，综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出的表达式；（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？【答案】（1）；（2）学校应把楼层建成层，此时平均综合费用为每平方米万元【解析】【分析】由已知求出第层楼房每平方
15、米建筑费用为万元，得到第层楼房建筑费用，由楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高万元，然后利用等差数列前项和求建筑层楼时的综合费用；设楼房每平方米的平均综合费用为，则，然后利用基本不等式求最值【详解】解：由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为万元，且楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高万元，可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用：万元建筑第1层楼房建筑费用为：万元楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：万元建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：；设该楼房每平方米的平均综合费用为，则：，当且仅当，即时，上式等号成立学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米万元【点睛】本题考查简单的数学建模思想方法
16、，训练了等差数列前n项和的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题21.已知数列是递增的等差数列，其前项和为，且，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可求出，由数列是递增的等差数列，可知，由成等比数列，可得到，即可求出，进而可求出的通项公式；（2）结合（1）可求出，进而可求得，然后利用裂项求和法可求得的前项和.【详解】（1）因为数列是递增的等差数列，所以，故，又成等比数列，则，即，解得.则，故.（2），则，故，则.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式的求法，考查了裂项相消求和法的运用，属于中档题.22.如图，在中，点在边上，为的平分线， （1）求；（2）若,求【答案】(1)(2) 【解析】【分析】（1）令，正弦定理，得，代入面积公式计算得到答案.（2）由题意得到，化简得到，再利用面积公式得到答案.【详解】(1)因为的平分线，令在中，由正弦定理，得 所以. (2) 因为，所以，又由,得，因为，所以所以.【点睛】本题考查了面积的计算，意在考查学生灵活利用正余弦定理和面积公式解决问题的能力.
