1、专题5 立体几何第3讲 空间向量及其在立体几何中的应用(A卷)1.（2015江苏省扬州中学开学检测25）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，AP1，AD，E为线段PD上一点，记 当时，二面角的平面角的余弦值为（1）求AB的长；（2）当时，求直线BP与直线CE所成角的余弦值2.（2015山西省太原市高三模拟试题二19）3.（2015山东省枣庄市高三下学期模拟考试19）4、(2015山东省滕州市第五中学高三模拟考试18)（13分）如图，棱锥的底面ABCD是矩形，平面ABCD，。求证：（1）平面（2）求二面角的余弦值（3）在线段上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角
2、的正弦值为，若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由。5.( 2015临沂市高三第二次模拟考试数学（理）试题18) （本小题满分12分）一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面ABCD为一个矩形，其中AB=6,AD=4，顶部线段EF/平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=，二面角的余弦值为.设M,N分别是AD，BC的中点.（I）证明：平面平面ABCD；（II）求直线BF与平面EFCD所成角的正弦值.6(2015聊城市高考模拟试题18)（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，AD/BC，Q是AD的中点，M是棱PC上的点，且PM=3MC（I）求证：平面底面ABCD；（I
3、I）求二面角的大小7. (2015山东省潍坊市第一中学高三过程性检测17)（本小题满分12分）如图1在中，D、E分别为线段AB、AC的中点，.以DE为折痕，将折起到图2的位置，使平面平面DBCE，连接，设F是线段上的动点，满足.（I）证明：平面平面；（II）若二面角的大小为45，求的值.8.(2015北京市东城区综合练习二17）（本小题共14分） 如图，三棱柱的侧面是边长为的正方形，侧面侧面，是的中点（）求证：平面；（）求证：平面；（）在线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求的长；若不存在，说明理由9（2015.山东东营二模19）(本小题满分12分)在三棱柱中，侧面为矩形，是的中点，与交于
4、点，且平面.()证明：；()若，求直线与平面所成角的正弦值.O10（2015厦门市高三适应性考试17）（本小题满分13分）如图，梯形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC2AB4，E，F分别在线段BC，AD上，EFAB将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC.（）若BE3，在线段AD上一点取一点P，使，求证：CP平面ABEF；（）若平面ABEF平面EFDC，且线段FA,FC,FD的长成等比数列，求二面角EACF的大小第3讲 空间向量及其在立体几何中的应用(A卷) 参考答案与详解1.【答案】（1）1；（2）.【命题立意】本题考查的是利用坐标法求线段的长度和异面直线所成角的大小.【解析】(
5、1)因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，2，0)，E，.设B(m，0，0)(m0)，则C(m，2，0)，(m，2，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1 3分又n2(1，0，0)为平面DAE的法向量， 4分由题设易知|cosn1，n2|，即，解得m1.即AB=1. 6分（2）易得，所以直线BP与直线CE所成角的余弦值为.10分2.【答案】（1）略 （2）【命题立意】本题主要考查线面垂直的判定与性质以及利用空间向量求二面角以及学生的空间想
6、象能力和运算能力，难度中等.【解析】3【答案】（1）（2） 【命题立意】第一问是求棱长的问题，主要用到利用余弦定理解三角形问题，要求学生熟练掌握公式。第二问是建立直角坐标系求面面角的余弦值，要求学生较强的计算能力和空间想象能力。【解析】4【答案】见解析【命题立意】本题主要考查空间直线与平面的垂直、二面角的求解，探索性问题。考查空间想象能力及逻辑思维能力.【解析】（1）由勾股定理得，余略 （2）以AB、AD、AP为建系 易求面的法向量 面PBD的法向量 故所求值为（3）在DP上，可设 面PBD的法向量，记所求角为， 即5【答案】（I）证明；（II）;【命题立意】空间几何元素位置关系的证明（面面垂
7、直的证明），空间线面角的定义以及范围【解析】6【答案】（I）略（II） 【命题立意】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力【解析】 6分7.【答案】（1）略 （2）【命题立意】本题主要考查面面垂直的性质与判定、线面垂直的判定以及利用空间向量求二面角的余弦值，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算能力，难度中等.【解析】8.【答案】（1）略 （2）略 （3）【命题立意】本题主要考查线面平行的判定、面面垂直的性质和线面垂直的判定以及利用空间向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力和推理能力、计算能力，难度中等.
8、【解析】（）证明：连接与相交于，则为的中点，连接因为为的中点， 所以因为平面，平面，所以平面 4分（）证明：，在中，因为，所以 因为侧面侧面，侧面侧面，平面，所以平面 8分（）解：两两互相垂直，建立空间直角坐标系假设在线段上存在一点，使二面角为平面的法向量，设所以，设平面的法向量为，则所以令，得，所以的法向量为因为，所以，解得，故因此在线段上存在一点，使二面角为，且. 14分 9.【答案】见解析【命题立意】本题主要考查空间直线垂直、线面垂直的证明及空间向量在立体几何中的应用.【解析】(1)由题意，又，.又，与交于点，又，.6分(2)如图，分别以所在直线为轴，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角
9、坐标系，则，,，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以.设直线与平面所成角为，则10.【答案】(I)略；(II)60【命题立意】本题旨在考查线面平行的判定定理和利用空间向量求二面角的大小.【解析】(I)在梯形ABCD中， ADBC， EFAB ，BE3，AF=3， 又AD6，BC4，EC=1，FD=3，在线段AF上取点Q，使，连接,，四边形ECPQ为平行四边形，平面ABEF，平面ABEF，CP平面ABEF.（）在梯形ABCD中，ABAD，ADBC，EFAF， EFFD，平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDC=，AF平面EFDC，AF平面EFDC，设，EFBA2，线段AF，FC，FD的长成等比数列，化简得，或（舍），以F为原点，FE，FD，FA分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设是平面ACE的一个法向量，则，即，取，则，；又，设是平面ACF的一个法向量，则，即，取，则；， 二面角E-AC-F为锐角， 二面角E-AC-F为.
