1、赣马高级中学2010级高一数学导学案 对数函数(3) 【学习导航】 知识网络 指数函数应用剩留量问题复利问题增长(降低)率问题选用函数模拟数据学习目标 1熟练掌握指数函数的图象和性质;2能运用指数函数的图象和性质解决一些实际问题,体会指数函数是一类重要的函数模型; 3培养学生从特殊到一般的抽象、归纳的能力以及分析问题、解决问题的能力【新课导学】1指数函数增长模型.在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为,平均增长率为,则对于时间的总产值,可以用公式 表示.【互动探究】例1:某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,这种物质剩留的质量是原来的84%写出这种物质的剩留
2、量关于时间的函数关系式例2:某种储蓄按复利计算利息,若本金为元,每期利率为,设存期是,本利和(本金加上利息)为元(1)写出本利和随存期变化的函数关系式;(2)如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和分析:复利要把本利和作为本金来计算下一年的利息例3:2000至2002年,我国国内生产总值年平均增长7.8%左右按照这个增长速度,画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象,并通过图象观察到2010年我国国内生产总值约为2000年的多少倍(结果取整数)指数函数与二次函数的选择 例4: 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、万件、万件,为了估测
3、以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系,模拟函数可以选用二次函数或(其中为常数)已知4月份该产品的产量为万件,请问用哪个函数作为模拟函数较好并说明理由【迁移应用】1.(1) 一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件个,计划从今年开始的年内,每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长,则此种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式为 _(2)一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件的成本是元/个, 计划从今年开始的年内, 每年生产此种规格电子元件的单件成本比上一年下降,则此种规格电子元件的单件成本随年数变化的函数关系式是_2. 年月日,美国某城市的日报
4、以醒目标题刊登了一条消息:”市政委员会今天宣布:本市垃圾的体积达到”,副标题是:”垃圾的体积每三年增加一倍”.如果把三年作为垃圾体积加倍的周期,请你完成下面关于垃圾体积与垃圾体积的加倍的周期(年)数的关系的表格,并回答下列问题:周期数体积(1) 设想城市垃圾的体积每三年继续加倍,问年后该市垃圾的体积是多少?(2) 根据报纸所述的信息,你估计年前垃圾的体积是多少?(3) 如果,这时的表示什么信息?(4) 写出与的函数关系式,并画出函数图象(横轴取轴);(5) 曲线可能与横轴相交吗?为什么?答案例1:讨论函数的奇偶性与单调性。【解】由题意可知:解得:定义域为又为偶函数证明:在是任取令,则,即又在上
5、是增函数即在上单调递增。同理可证:在上单调递减。点评:判断函数奇偶性,必须先求出定义域,单调性的判断在定义域内用定义判断。例2:(1)求函数的单调区间(2)若函数在区间上是增函数,的取值范围【解】(1)令在上递增,在上递减,又, 或,故在上递增,在上递减, 又为减函数,所以,函数在上递增,在上递减(2)令, 函数为减函数,在区间上递减,且满足,解得,所以,的取值范围为点评:利用对数函数性质判断函数单调性时,首先要考察函数的定义域,再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间例3:已知满足 ,求函数的最值。【解】由题意:可转化为:,将看作整体,解得:,即,所以令,则则所以,点评:利用函数的单调性求
6、函数最值(或值域)是求函数最值(或值域)的主要方法之一,本题首先要根据条件求出的取值范围,体现了整体思想方法,然后转化为二次函数,体现了化归的思想方法,换元法的使用是实现化归思想的一种手段,也是化归的一个过程。追踪训练一1 函数的定义域是(0,2),值域是,单调增区间是(0,1)2求函数的最小值和最大值。答案:1。定义域:值域:单调增区间:2最小值, 最大值7例4:若方程的所有解都大于1,求的取值范围。分析:由对数函数的性质,方程可变形为关于的一元二次方程,化归为一元二次方程解的讨论。【解】原方程可化为: 即 令,则方程等价于若原方程的所有解都大于1,则方程(*)的所有解都大于0,则解得:(1)有关对数方程解的情况讨论,通常是利用换元法,将方程转化为一元一次或一元二次方程解的讨论;如果是方程解的个数问题,又可以用函数的图象求解,如求方程的实根的个数。(2)换元后必须保证新变量与所替换的量的取值范围的一致性。1 已知方程(1)若方程有且只有一个根,求的取值范围 (2)若方程无实数根,求的取值范围 答案:(1) (2)