1、学习目标1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法知识点一不同底指数函数图像的相对位置思考y2x与y3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？答案经描点观察，在y轴右侧，2x3x，即y3x图像在y2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y2x在y3x图像上方梳理一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图像时，图像的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应
2、的底数由大变小即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大这一性质可通过令x1时，ya去理解，如图(2)指数函数yax与yx(a0且a1)的图像关于y轴对称知识点二比较幂的大小思考若x1x2，则ax1与ax2(a0且a1)的大小关系如何？答案当a1时，yax在R上为增函数，所以ax1ax2，当0a1时，yax在R上为减函数，所以ax1ax2.梳理一般地，比较幂大小的方法有(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断知识点三解指数方程
3、、不等式思考若aa，则x1，x2的大小关系如何？答案当f(x)在区间m，n上单调递增(减)时，若x1，x2m，n，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)所以，当0a1时，aax1x2，当a1时，aax1x2.此原理可用于解指数方程、不等式梳理简单指数不等式的解法(1)形如af(x)ag(x)的不等式，可借助yax的单调性求解(2)形如af(x)b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解(3)形如axbx的不等式，可借助两函数yax，ybx的图像求解知识点四与指数函数复合的函数单调性思考y的定义域与y的定义域是什么关系？y的单调性与y的单调性有什么关系？答案由于
4、yax(a0且a1)的定义域为R，故y的定义域与y的定义域相同，故研究y的单调性，只需在y的定义域内研究若设0x1x2，则，不等号方向的改变与yx，y的单调性均有关梳理一般地，有形如yaf(x)(a0，且a1)函数的性质(1)函数yaf(x)与函数yf(x)有相同的定义域(2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有相同的单调性；当0a0，原方程可化为t26t50，解得t5或t1，即5x5或5x1，x1或x0.类型二指数函数单调性的应用例2比较下列各题中两个值的大小(1)1.72.5,1.73；(2)1.70.3,1.50.3；(3)1.70.3,0.83.1.解(1)1.71，y1.7x在
5、(，)上是增函数2.53，1.72.51.73.(2)方法一1.71.5，在(0，)上，y1.7x的图像位于y1.5x的图像的上方而0.30，1.70.31.50.3.方法二1.50.30，且0.3，又1,0.30，0.31，1.70.31.50.3.(3)1.70.31.701,0.83.10.801，1.70.30.83.1.反思与感悟当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和1.跟踪训练2比较下列各题中的两个值的大小(1)0.80.1,1.250.2；(2)，1.解(1)00.81，y0.8x在R上是减函数0.20.1，0.80.20.80.1，即0.
6、80.11.250.2.(2)01，函数yx在R上是减函数又0，01，即1.例3解关于x的不等式：a2x1ax5(a0，且a1)解(1)当0a1时，a2x1ax5，2x1x5，解得x6.综上所述，当0a1时，不等式的解集为x|x6反思与感悟解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响跟踪训练3已知(a2a2)x(a2a2)1x，则x的取值范围是_答案(，)解析a2a2(a)21，(a2a2)x(a2a2)1xx1xx.x(，)例4(1)求函数y的单调区间；(2)求函数y2x8x17的单调区间解(1)y的定义域为R.在(，3上，y
7、x26x17是减少的，y在(，3上是增加的在3，)上，yx26x17是增加的，y在3，)上是减少的y的增区间是(，3，减区间是3，)(2)设tx，又yt28t17在(0,4上递减，在4，)上递增令x4，得x2.当2x1，即4t1t2，t8t117t8t217.y2x8x17的单调增区间是2，)同理可得减区间是(，2反思与感悟复合函数单调性问题归根结底是由x11时，y关于u为增函数；当0a1时，原函数的增区间为1，)，减区间为(，1；当0a1时，原函数的增区间为(，1，减区间为1，)(2)已知函数的定义域为x|x0设y，u0.2x，易知u0.2x为减函数而根据y的图像可知在区间(，1)和(1，)
8、上，y是关于u的减函数，原函数的增区间为(，1)和(1，)1若a0.5，b0.5，c0.5，则a、b、c的大小关系是()AabcBabcCacbDbca答案B解析y0.5x在R上是减函数，且，0.50.50.5.2方程42x116的解是()AxBxCx1Dx2答案B解析42x142，2x12，x.3函数f(x)的递增区间为()A(，0 B0，)C(1，) D(，1)答案A解析f(x)，01，f(x)的递增区间为u(x)x21的递减区间，即(，04设0a1，则关于x的不等式的解集为_答案(1，)解析0a1，yax在R上是减函数，又2x23x22x22x3，解得x1.5若指数函数yax在1,1上的
9、最大值与最小值的差是1，则底数a_.答案解析若0a1，则aa11，即a2a10，解得a或a(舍去)综上所述a.1比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则amc且cbn，则ambn.2解简单指数不等式问题的注意点(1)形如axay的不等式，可借助yax的单调性求解如果a的值不确定，需分0a1两种情况进行讨论(2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解(3)形如axbx的不等式，可借助图像求解3(1)研究yaf(x)型单调区间时，
10、要注意a1还是0a1时，yaf(x)与f(x)的单调性相同当0a1时，yaf(x)与f(x)的单调性相反(2)研究yf(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间课时作业一、选择题1设x0，且1bxax，则()A0ba1B0ab1C1baD1ab答案B解析1bxax，x0，0a1,0b1.当x1时，a，0abf(n)，则m、n的关系为()Amn0CmnDmn答案D解析0f(n)，m0，且a1)，满足f(1)，则f(x)的递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B解析由f(1)，得a2，所以a(a舍去)，即f(x)()|2x4|.由于y|2x4|在(，2上递减，在
11、2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减故选B.5设y140.9，y280.48，y3()1.5，则()Ay3y1y2By2y1y3Cy1y2y3Dy1y3y2答案D解析40.921.8,80.4821.44，()1.521.5，根据y2x在R上是增函数，得21.821.521.44，即y1y3y2，故选D.6设f(x)|3x1|，cbf(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是()A3c3bC3c3a2D3c3af(a)f(b)可知c，b，a不在同一个单调区间上故有c0.f(c)13c，f(a)3a1.f(c)f(a)，即13c3a1,3c3a1对一切实数x成立，则实数m的取
12、值范围是_答案1，)解析4x2x1m1等价于(2x)222x12m，即(2x1)22m.2x(0，)，2x1(1，)，2m1，解得m1.三、解答题11已知函数f(x)2a4x2x1.(1)当a1时，解不等式f(x)0；(2)当a，x0,2时，求f(x)的值域解(1)当a1时，f(x)24x2x1.f(x)0，即2(2x)22x10，解得2x1或2x0，不等式f(x)0的解集为(0，)(2)当a时，f(x)4x2x1，x0,2设t2x.x0,2，t1,4yg(t)t2t1 (1t4)画出g(t)t2t1 (1t4)的图像(如图)，可知g(t)ming(1)1，g(t)maxg(4)11，f(x)
13、的值域为1,1112已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)12x，求不等式f(x)的解集解f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.当x0时，f(0)0不成立；当x0时，f(x)f(x)(12x)2x1.由2x1，2x21，得x0时，由12x，得x.综上可知x(，1)13已知函数f(x).(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明；(2)当x(1，)时，求函数f(x)的值域解(1)函数f(x)为奇函数，证明如下：函数f(x)的定义域为R，又f(x)f(x)，f(x)是奇函数(2)令2xt，则g(t)1.x(1，)，t2，t13，0，112时，f(x)是增函数，则af(1.10.9)
14、，bf(0.91.1)，cf(2)的大小关系是_(按由大到小排列)答案bac解析f(x)f(4x)，f(x)关于x2对称又f(x)在(2，)上是增函数，f(x)在(，2)上是减函数又1.10.91,00.91.11，0.91.11.10.9f(1.10.9)f(2)，即bac.15已知函数f(x)3xk3x为奇函数(1)求实数k的值；(2)若关于x的不等式f()f()0只有一个整数解，求实数a的取值范围解(1)显然f(x)的定义域为R.f(x)是奇函数，f(x)f(x)3xk3x3xk3x(k1)(3x3x)0对一切实数x都成立，k1.(2)易得f(x)为R上的增函数，又f(x)是奇函数，f()f(13ax2)03ax213ax22ax24xax2(ax2)(2x1)0时，由不等式只有一个整数解，可知不等式的解集为，且121a2，实数a的取值范围是1,2)
