1、平面的基本性质与推论自主学习 学习目标1掌握平面的基本性质和三个推论，会用三种语言表述性质与推论2了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系 自学导引1平面的基本性质(1)基本性质1：如果一条直线上的_点在一个平面内，那么这条直线上的_点都在这个平面内，这时我们说直线在平面内或_(2)基本性质2：经过_的三点，有且只有一个平面也可简单说成，_的三点确定一个平面(3)基本性质3：如果不重合的两个平面有_公共点，那么它们有且只有_过这个点的公共直线如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面_这条公共直线叫做两个平面的_2平面基本性质的推论(1)推论1经过_有且只有一个平面
2、(2)推论2经过_有且只有一个平面(3)推论3经过_有且只有一个平面3共面和异面直线如果两直线共面，那么它们_或者_，否则称它们为_对点讲练知识点一多线共面例1已知直线ab，直线l与a、b都相交，求证：过a、b、l有且只有一个平面点评证明多线共面的一种方法是先由推论3确定一个平面，再利用基本性质1依次证明其余各线也在这个平面内另一种方法是先由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另一个平面，再让这两个面重合变式训练1两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内知识点二证明多点共线问题例2已知ABC在平面外，ABP，ACR，BCQ，如图所示求证：P、Q、R三点共线点评证明多点共线的方法是利用基
3、本性质3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上本题也可先确定点P、R在同一条直线上，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法变式训练2如图所示，ABP，CDP，A，D与B，C分别在平面的两侧，ACQ，BDR.求证：P，Q，R三点共线知识点三证明线共点问题例3在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFCDHHA23，求证：EF，GH，BD交于一点点评证明若干条线共点，一般可先证其中两条相交于一点，再证其他线也过该点即可，本题在解答中应用了两个相交平面的公共点必然在它们的交线上这一结论变式训练3如图所示，在正方体AB
4、CDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点求证：CE、D1F、DA三线交于一点1三个基本性质的作用：基本性质1判定直线在平面内的依据；基本性质2判定点共面、线共面的依据；基本性质3判定点共线、线共点的依据2注意事项(1)应用基本性质2时，要注意条件“三个不共线的点”事实上，共线的三点是不能确定一个平面的(2)在立体几何中，符号“”与“”的用法与读法不要混淆(3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化. 课时作业一、选择题1下列命题：书桌面是平面；8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；有一个平面的长是50 m，宽是20 m；平面是绝对的平、无厚度，可以无
5、限延展的抽象数学概念其中正确命题的个数为()A1 B2 C3 D42点A在直线l上，而直线l在平面内，用符号表示为()AAl，l BAl，lCAl，l DAl，l3已知平面与平面、都相交，则这三个平面可能的交线有()A1条或2条 B2条或3条C1条或3条 D1条或2条或3条4已知、为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()AAa，A，Ba，BaBM，M，N，NMNCA，AADA、B、M，A、B、M，且A、B、M不共线、重合5平面平面l，点A，B，C，且Cl，ABlR，过A、B、C三点确定平面，则等于()A直线AC B直线BCC直线CR D以上都不对题号12345答案二、填空题6
6、下列命题中，正确的是_(填序号)若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点；若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线；若点A既在平面内，又在平面内，则与相交于直线l，且A在l上；两条直线不能确定一个平面7读图，用符号语言表示下列图形中元素的位置关系(1)图可以用符号语言表示为_；(2)图可以用符号语言表示为_8.如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是_(填序号)A、M、O三点共线；A、M、O、A1四点共面；A、O、C、M四点共面；B、B1、O、M四点共面三、解答题9如图，直角梯形ABDC中，ABCD，ABCD，S是
7、直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由10如图，已知平面，且l.设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)【答案解析】自学导引1(1)两所有平面经过直线(2)不在同一条直线上不共线(3)一个一条相交交线2(1)一条直线和直线外一点(2)两条相交直线(3)两条平行直线3平行相交异面直线对点讲练例1证明方法一la，b，l共面方法二ab，a，b确定一个平面.alA，直线a，l确定一个平面.又B，B，a，a，平面与重合故直线a，b，l共面变式训练1已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1、l2、l3在
8、同一平面内证明方法一(同一法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C.又Bl3，Cl3，l3.直线l1、l2、l3在同一平面内方法二(重合法)l1l2A，l1、l2确定一个平面.l2l3B，l2、l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A、B、C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内例2证明方法一ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由基本性质3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上P、Q、R三点共线方法二APAR
9、A，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B面APR，C面APR，BC面APR.QBC，Q面APR，又Q，QPR，P、Q、R三点共线变式训练2证明ABP，CDP，ABCDP.AB，CD可确定一个平面，设为.AAB，CCD，BAB，DCD，A，C，B，D.AC，BD，平面，相交ABP，ACQ，BDR，P，Q，R三点是平面与平面的公共点P，Q，R都在与的交线上，故P，Q，R三点共线例3证明因为E、G分别为BC、AB的中点，所以GEAC.又因为DFFCDHHA23，所以FHAC且HFAC，从而FHGE.故E，F，H，G四点共面所以四边形EFHG是一个梯形，GH和EF
10、交于一点O.因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两个平面的交线上而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点变式训练3证明连接EF，D1C，A1B.E为AB的中点，F为AA1的中点，EF A1B.又A1BD1C，EFD1C，E，F，D1，C四点共面，且EFD1C，D1F与CE相交于点P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD.P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又平面A1D1DA平面ABCDDA，根据基本性质3，可得PDA，即CE、D1F、DA相交于一点课时作业1A由平面的概念，它是平
11、滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题、都不正确，故选A.2B3.D4CA，A，A.由基本性质可知为经过A的一条直线而不是A.故A的写法错误5CABlR，Rl，RAB.又l，l，R，R，又C，C，CR.67(1)l，m，n，lnP，ml(2)l，mA，mB8解析连接AO，AO是平面AB1D1和平面BB1D1D的交线，MA1C，A1C面AA1C1C，M面AA1C1C，又M面AB1D1MAO，即A、M、O三点共线，因此均正确只有不正确9解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于ABCD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示EAC，AC平面SAC，E平面SAC.同理，可证E平面SBD.点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线10证明梯形ABCD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的两条腰，AB，CD必定相交于一点，设ABCDM.又AB，CD，M，且M，M.又l，Ml，即AB，CD，l共点