1、突破练(二)1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m(a，c)，n(cos C，cos A)(1)若mn，ca，求角A；(2)若mn3bsin B，cos A，求cos C的值解(1)mn，acos Accos C.由正弦定理得sin Acos Asin Ccos C，化简得sin 2Asin 2C.A，C(0，)，2A2C(舍)或2A2C，AC，B，在RtABC中，tan A，A.(2)mn3bcos B，acos Cccos A3bsin B.由正弦定理得sin Acos Csin Ccos A3sin2B，从而sin(AC)3sin2B.ABC，sin(AC)sin B
2、，从而sin B，cos A0，A(0，)，A，sin A.sin Asin B，ab，从而AB，B为锐角，cos B.cos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B.2如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点(1)求证：BF平面A1EC；(2)求证：平面A1EC平面ACC1A1.证明(1)连接AC1并交A1C于点O，连接OE，OF，在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OAOC1.又因为F为AC的中点，所以OFCC1且OFCC1.因为E为BB1的中点，所以BECC1且BECC1，所以BEOF且BEOF，所以四边形BE
3、OF是平行四边形，所以BFOE.又BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF平面A1EC.(2)由(1)知BFOE，因为ABCB，F为AC的中点，所以BFAC，所以OEAC.又因为AA1底面ABC，而BF底面ABC，所以AA1BF.由BFOE得OEAA1，而AA1，AC平面ACC1A1，且AA1ACA，所以OE平面ACC1A1.因为OE平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A1.3.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”(1)求椭圆C2的方程；(
4、2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQx轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为PA1A2的垂心(垂心为三角形三条高的交点)(1)解由题意可知A1(，0)，A2(，0)，椭圆C1的离心率e.设椭圆C2的方程为1(ab0)，则b.因为，所以a2.所以椭圆C2的方程为1.(2)证明设P(x0，y0)，y00，则1，从而y122x.将xx0代入1得1，从而y23，即y.因为P，H在x轴的同侧，所以取y，即H(x0，)所以kA1PkA2H1，从而A1PA2H.又因为PHA1A2，所以H为PA1A2的垂心4如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草
5、，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BCa，ABC，设ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.(1)用a，表示S1和S2；(2)当a固定，变化时，求的最小值解(1)S1asin acos a2sin 2，设正方形边长为x，则BQ，RCxtan ，xtan xa，x，S22，(2)当a固定，变化时，令sin 2t，则(0t1)，利用单调性求得t1时，min.5已知函数f(x)aln x(a为常数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y50垂直，求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当x1时，f(x)2x3恒成立，求a的取值范围解(1)函
6、数f(x)的定义域为x|x0，f(x).又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y50垂直，所以f(1)a12，即a1.(2)由f(x)(x0)，当a0时，f(x)0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(0，)当a0时，由f(x)0，得0x，所以f(x)的单调增区间为；由f(x)0，得x，所以f(x)的单调减区间为.(3)设g(x)aln x2x3，x1，)，则g(x)2.令h(x)2x2ax1，考虑到h(0)10，当a1时，h(x)2x2ax1的对称轴x1，h(x)在1，)上是减函数，h(x)h(1)a10，所以g(x)0，g(x)在1，)上是减函数，所以g(x)g(1)0，即f(
7、x)2x23恒成立当a1时，令h(x)2x2ax10，得x11，x20，当x1，x1)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在1，x1)上是增函数；当x(x1，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(x1，)上是减函数所以0g(1)g(x1)，即f(x1)2x13，不满足题意综上，a的取值范围为a1.6已知无穷数列an的各项均为正整数，Sn为数列an的前n项和(1)若数列an是等差数列，且对任意正整数n都有Sn3(Sn)3成立，求数列an的通项公式；(2)对任意正整数n，从集合a1，a2，an中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a
8、1，a2，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合()求a1，a2的值；()求数列an的通项公式解(1)设无穷等差数列an的公差为d，因为S(Sn)3对任意正整数n都成立，所以分别取n1，n2时，则有：因为数列an的各项均为正整数，所以d0.可得a11，d0或d2.当a11，d0时，an1，Sn3(Sn)3成立；当a11，d2时，Snn2，所以Sn3(Sn)3.因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an1或an2n1.(2)()记An1,2，Sn，显然a1S11.对于S2a1a21a2，有A21,2，Sn1，a2，1a2，|1a2|1,2,3,4，故1a24，所以a23.()由题意可知，集合a1，a2，an按上述规则，共产生Sn个正整数而集合a1，a2，an，an1按上述规则产生的Sn1个正整数中，除1,2，Sn这Sn个正整数外，还有an1，an1i，|an1i|(i1,2，Sn)，共2Sn1个数所以，Sn1Sn(2Sn1)3Sn1.又Sn13，所以Sn3n13n.当n2时，anSnSn13n3n1.而a11也满足an3n1.所以，数列an的通项公式是an3n1.