1、温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层作业 十七抛物线方程及性质的应用(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2019广州高二检测)已知M是抛物线C:y2=2px(p0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则MKF=()A.45B.30C.15D.60【解析】选A.因为|MF|=p,所以xM=p-=,所以yM=p,所以MKF=45.2.若动圆的圆心在抛物线x2=12y上,且与直线y+3=0相切,则此圆恒过定点()A.(0,2)B.(0,-3)C
2、.(0,3)D.(0,6)【解析】选C.直线y+3=0为抛物线的准线,由抛物线定义知圆心到直线y=-3的距离与到点(0,3)的距离相等,因此此圆恒过定点(0,3).3.（2019全国卷）若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=( )A2B3C4D8【解析】选D.因为椭圆的焦点为,抛物线的焦点为，由已知可得，解得p=8.4.已知正三角形AOB的一个顶点O是坐标原点,另外两个顶点A,B在抛物线y2=2px(p0)上,且AOB的面积等于4,则抛物线的方程是()A.y2=xB.y2=xC.y2=4xD.y2=8x【解析】选A.设点A(xA,yA)(yA0),B(xB,yB)(yBb0
3、),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到+=1,解得y=3,可得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.6.过抛物线E:x2=2py(p0)的焦点,且与其对称轴垂直的直线与E交于A,B两点,若E在A,B两点处的切线与E的对称轴交于点C,则ABC外接圆的半径是()A.pB.pC.pD.2p【解析】选B.不妨令点A在第一象限,可得A,B,所以E在A点处的切线方程为x=y+,所以点C,所以ABC外接圆的圆心是抛物线的焦点,所以ABC外接圆的半径为p.7.(2019德阳高二检测
4、)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D, E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10【解析】选A.因为抛物线的焦点为(1,0),由题意可得两条直线都有斜率,设直线l1的方程为y=k(x-1),直线l2的方程为y=- (x-1),由消去y整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=1,所以弦长|AB|=,同理可得弦长|DE|=4(k2+1),所以|AB|+|DE|=+4(k2+1)=44(2+2)=16,当且仅当k2=
5、1时取等号,|AB|+|DE|的最小值为16.8.已知A,B是抛物线y2=2px(p0)上的两点,O为原点,若|=|,且抛物线的焦点恰好为AOB的垂心,则直线AB的方程是()A.x=pB.x=pC.x=pD.x=3p【解析】选C.因为|=|,所以A,B关于x轴对称.设A(x0,),B(x0,-).因为AFOB,F,所以=-1,所以x0=p.二、填空题(每小题5分,共10分)9.抛物线y=x2上到直线2x-y=4的距离最短的点坐标是_.【解析】设P(x,y)为抛物线y=x2上任一点,则P到直线的距离d=,所以x=1时d取最小值,此时P(1,1).答案:(1,1)10.(2019曲靖高二检测)已知
6、抛物线C:x2=2y,直线l:y=x-2,设P为直线l上的动点,过P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B.则直线AB恒过定点,这个定点的坐标为_.【解析】设A,B, 以A为切点的切线方程为y-=x1(x-x1),即y=x1x-,同理以B为切点的切线方程为y=x2x-,设P(x,y),所以P,由已知直线AB的斜率必存在,设AB的方程为y=kx+b,由得x2-2kx-2b=0,所以x1+x2=2k,x1x2=-2b,所以P(k,-b),由P在直线y=x-2上可得b=2-k,则AB方程为y=kx+(2-k),即k(x-1)+2-y=0,所以直线AB过定点(1,2).答案:(1,2)三、解答题(每小题
7、10分,共20分)11.如图所示,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值.(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【解析】(1)由得x2-4x-4b=0.(*)因为直线l与抛物线C相切,所以=(-4)2-4(-4b)=0,解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)即为x2-4x+4=0,解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.12.双曲线C:-=1(a0)的左
8、、右焦点分别为F1,F2,过F2作与x轴垂直的直线交双曲线C于A,B两点,F1AB的面积为12,抛物线E:y2=2px(p0)以双曲线C的右顶点为焦点.(1)求抛物线的方程.(2)如图,点P(t0)为抛物线E的准线上一点,过点P作y轴的垂线交抛物线于点M,连接PO并延长交抛物线于点N,求证:直线MN过定点.【解析】(1)设F2(c,0)(c0),则c=,令x=c,代入C的方程,得|yA|=.所以=2c2|yA|=12,所以a=1,故=a=1,即p=2.所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)由(1)知P(-1,t)(t0),则M.直线PO的方程为y=-tx,代入抛物线E的方程有N.当t24时,k
9、MN=,所以直线MN的方程为y-t=,即y=(x-1).所以此时直线MN过定点(1,0).当t2=4时,直线MN的方程为x=1,此时仍过点(1,0),即直线MN过定点.1.(5分)抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线C上一点,且P在第一象限,PMl于点M,线段MF与抛物线C交于点N,若PF的斜率为,则=()A.B.C.D.【解析】选A.由题意可得直线PF的方程为y= (x-1),代入抛物线的方程消去x整理得3y2-16y-12=0,解得y=6或y=-,因为P在第一象限,所以y=6,所以P(9,6),所以M(-1,6),设=t(t0),则xN=,yN=,因为线段MF与抛物线C交于
10、点N,所以=4,解得t2=10,所以t=,即=.2.(5分)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为()A.B.C.1D.2【解析】选D.由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过A作AA1l于A1,过B作BB1l于B1,设弦AB的中点为M,过M作MM1l于M1,则|MM1|=.|AB|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|6,|AA1|+|BB1|6,2|MM1| 6,|MM1|3,故M到x轴的距离d2.【拓展延伸】“两看两想”的应用与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦
11、点弦有关问题的重要途径.【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.B.3C.D.【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F,准线是l,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于=.3.(10分)(2019潜江高二检测)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛
12、物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|.(2)若|AF|2=|AM|AN|,求圆C的半径.【解析】(1)抛物线E:y2=4x的准线l的方程为x=-1,由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=,所以|MN|=2=2=2.(2)设C,则圆C的方程为+(y-y0)2=+,即x2-x+y2-2y0y=0,由x=-1,得y2-2y0y+1+=0.设M(-1,y1),N(-1,y2),则由|AF|2=|AM|AN|,得|y1y2|=4,所以+1=4,解得y0=,此时0.所以圆心C的坐
13、标为,从而|CO|2=,|CO|=,即圆C的半径为.4.(10分)(2019东莞高二检测)在直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,若椭圆M:+=1(ab0)经过点F,抛物线C和椭圆M有公共点E,且|EF|=.(1)求抛物线C和椭圆M的方程.(2)是否存在正数m,对于经过点P(0,m)且与抛物线C有A,B两个交点的任意一条直线,都有焦点F在以AB为直径的圆内?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为抛物线C:x2=2py(p0)经过点E,且|EF|=.所以+=,解得p=4,所以抛物线C:x2=8y,焦点F(0,2),t2=,由题意知解得所以椭
14、圆M:+=1,故抛物线C的方程为x2=8y,椭圆M的方程为+=1.(2)假设存在正数m符合题意,由题意知直线AB的斜率一定存在,设直线AB的方程为y=kx+m,由消去y,整理得x2-8kx-8m=0,因为直线与抛物线有两个交点且m0,所以=64k2+32m0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8k,x1x2=-8m,所以y1+y2=8k2+2m,y1y2=m2.因为=(x1,y1-2),=(x2,y2-2),所以=x1x2+y1y2-2(y1+y2)+4=m2-12m+4-16k2,由题意知0恒成立,所以m2-12m+416k2恒成立,因为kR,所以m2-12m+40,解得6-4m0,所以6-4m6+4.故存在正数m适合题意,此时m的取值范围为(6-4,6+4).关闭Word文档返回原板块
