1、专题九 带电粒子在复合场中的运动1带电粒子在电场中常见的运动类型(1)匀变速直线运动：通常利用动能定理qUmv2mv来求解对于匀强电场，电场力做功也可以用WqEd求解(2)偏转运动：一般研究带电粒子在匀强电场中的偏转问题对于类平抛运动可直接利用平抛运动的规律以及推论；较复杂的曲线运动常用运动分解的方法来处理2带电粒子在匀强磁场中常见的运动类型(1)匀速直线运动：当vB时，带电粒子以速度v做匀速直线运动(2)匀速圆周运动：当vB时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度做匀速圆周运动3复合场中是否需要考虑粒子重力的三种情况(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或
2、磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应考虑其重力(2)题目中有明确说明是否要考虑重力的情况(3)不能直接判断是否要考虑重力的情况，在进行受力分析与运动分析时，根据运动状态可分析出是否要考虑重力1正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及初始运动状态的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析2灵活选用力学规律是解决问题的关键当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，应根据平衡条件列方程求解当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解当带电
3、粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解考向1带电粒子在叠加场中的运动例1如图1所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B0.5 T，还有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E2 N/C.在其第一象限空间有沿y轴负方向的、场强大小也为E的匀强电场，并在yh0.4 m的区域有磁感应强度也为B的垂直于纸面向里的匀强磁场一个带电荷量为q的油滴从图中第三象限的P点得到一初速度，恰好能沿PO做匀速直线运动(PO与x轴负方向的夹角为45)，并从原点O进入第一象限已知重力加速度g10 m/s2，问：图1(1)油滴在第三象
4、限运动时受到的重力、电场力、洛伦兹力三力的大小之比，并指出油滴带何种电荷；(2)油滴在P点得到的初速度大小；(3)油滴在第一象限运动的时间审题突破在第三象限油滴恰好能沿PO做匀速直线运动需要满足什么条件？根据夹角为45，重力、电场力有什么数值关系？油滴进入第一象限后做什么运动？解析(1)根据受力分析(如图)可知油滴带负电荷，设油滴质量为m，由平衡条件得：mgqEF11.(2)由第(1)问得：mgqEqvBqE解得：v4 m/s.(3)进入第一象限，电场力和重力平衡，知油滴先做匀速直线运动，进入yh的区域后做匀速圆周运动，轨迹如图，最后从x轴上的N点离开第一象限由OA匀速运动的位移为s1h其运动
5、时间：t10.1 s由几何关系和圆周运动的周期关系式T知，由AC的圆周运动时间为t2T0.628 s由对称性知从CN的时间t3t1在第一象限运动的总时间tt1t2t320.1 s0.628 s0.828 s答案(1)11油滴带负电荷(2)4 m/s(3)0.828 s以题说法带电粒子在叠加场中运动的处理方法1弄清叠加场的组成特点2正确分析带电粒子的受力及运动特点3画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止例如电场与磁场中满足qEqvB；重力场与磁场中满足mgqvB；重力场与电场中满足mgqE.(2)若三场共存时，合力为零，粒子做匀速
6、直线运动，其中洛伦兹力FqvB的方向与速度v垂直(3)若三场共存时，粒子做匀速圆周运动，则有mgqE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvBm.(4)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解 如图2所示，水平地面上方竖直边界MN左侧存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿竖直方向的匀强电场E2(未画出)，磁感应强度B1.0 T，MN边界右侧离地面h3 m处有长为L0.91 m的光滑水平绝缘平台，平台的左边缘与MN重合，平台右边缘有一质量m0.1 kg、电量q0.1 C的带正电小球，以初速度v00.6 m/s向左运动此时平台上方存在E12 N/C的匀强电
7、场，电场方向与水平方向成角，指向左下方，小球在平台上运动的过程中，为45至90的某一确定值小球离开平台左侧后恰好做匀速圆周运动小球可视为质点，g10 m/s2.求：图2(1)电场强度E2的大小和方向；(2)小球离开平台左侧后在磁场中运动的最短时间；(3)小球离开平台左侧后，小球落地点的范围(计算结果可以用根号表示)答案(1)10 N/C，方向竖直向上(2) s(3)距N点左边 m、右边 m的范围内解析(1)因为小球在MN边界左侧做匀速圆周运动，其所受到的电场力必等于自身重力，有qE2mg得E210 N/C，方向竖直向上(2)若90，小球匀速通过MN有最小速度：vmin0.6 m/s若45，小球
8、匀加速通过MN有最大速度此时E1qcos ma，a2 m/s2由vv2aL可得：vmax2 m/s综合分析得：小球通过MN后的速度为0.6 m/svA2 m/s小球以2 m/s在磁场中做匀速圆周运动的时间最短，根据Bqvm和T得：Rmax2 mT2 s，因为sin ，所以30所以小球在磁场中转过的角度为120，所以小球在磁场中运动的时间tT s.(3)小球落在N点左边最大距离时，设到N点距离为x，则xRmaxcos 30 m小球从MN边界飞出的最小半径Rmin0.6 m设小球落到N点右边时，到N点的距离为s，小球落在N点右边的最大距离由平抛运动得h2Rgt2svtvs 当R1 m时，s有最大值
9、因0.6 mR1.5 m，故s 成立代入数据解得s m，所以小球的落点在距N点左边 m、右边 m的范围内考向2带电粒子在组合场中的运动分析例2为研究带电粒子在电场和磁场中的偏转情况，在xOy平面内加如图3所示的电场和磁场，第二象限10 cmx0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B，其大小为0.2 T；在第一象限内有一电场强度方向沿y轴负方向且可沿x轴平移的条形匀强电场，其宽度d5 cm.在A(6 cm,0)点有一粒子发射源，向x轴上方180范围内发射速度大小为v2.0106 m/s的负粒子，粒子的比荷为q/m2.0108 C/kg，不计算粒子的重力和相互作用图3(1)若粒子与x轴正方向成30角方向
10、射入磁场，求该粒子在磁场中运动的时间；(2)求从A处发射的所有粒子中与y轴交点的最大值坐标；(3)当电场左边界与y轴重合时满足第(2)问条件的粒子经过电场后恰好平行x轴从其右边界飞出，求匀强电场的电场强度E的大小(4)现将条形电场沿x轴正向平移，电场的宽度和电场强度E仍保持不变，能让满足第(2)问条件的粒子经过电场后从右边界飞出，在此情况下写出电场左边界的横坐标x0与从电场右边界出射点的纵坐标y0的关系式，并绘出图线审题突破粒子速度确定、比荷确定，则在磁场中做圆周运动的半径一定，与x轴成30角方向射入时，对应的圆心角是多少呢？A与粒子做圆周运动的轨迹和y轴交点的连线是弦，弦何时最大？你能结合几
11、何关系得到电场左边界的横坐标x0与从电场右边界出射点纵坐标y0的函数关系表达式吗？解析(1)设带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得qvBm得r0.05 m5 cm粒子在磁场中运动的周期为T107 s如图所示为粒子在磁场中运动的轨迹由几何关系得60tT107 s.(2)设从y轴最上方飞出的粒子坐标为(0，y1)由几何关系得(2r)262y得y18 cm.(3)如图所示，设粒子从磁场射出时速度方向与x轴的夹角为，有sin ，即37，设粒子在电场中运动的时间为t1，t1设粒子的加速度大小为a，则a，vsin at1联立解得E1.92105 N/C.(4)如图所示，带电粒子离开磁场后
12、先做匀速直线运动，后做类平抛运动电场左边界的横坐标x0与从电场右边界出射点纵坐标y0的函数关系为y1(x0)tan y0，即y06.1250.75x0(cm)当x00时，从电场右边界出射点的纵坐标为y06.125 cm，当y00时，电场左边界的横坐标为x0 cm.图线如图所示答案(1)107 s(2)8 cm(3)1.92105 N/C(4)y06.1250.75x0(cm)见解析图以题说法设带电粒子在组合场内的运动实际上也是运动过程的组合，解决方法如下：(1)分别研究带电粒子在不同场区的运动规律在匀强磁场中做匀速圆周运动在匀强电场中，若速度方向与电场方向平行，则做匀变速直线运动；若速度方向与
13、电场方向垂直，则做类平抛运动(2)带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系处理(3)当粒子从一个场进入另一个场时，分析转折点处粒子速度的大小和方向往往是解题的突破口 如图4所示，相距3L的AB、CD两直线间的区域存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，其中PT上方的电场的场强方向竖直向下，PT下方的电场的场强方向竖直向上，电场的场强大小是电场的场强大小的两倍，在电场左边界AB上有点Q，PQ间距离为L.从某时刻起由Q以初速度v0沿水平方向垂直射入匀强电场的带电粒子，电量为q、质量为m.通过PT上的某点R进入匀强电场后从CD边上的M点水平射出，其轨迹如图，若PR两点的距离为2L.不计
14、粒子的重力试求：图4(1)匀强电场的电场强度的大小和MT之间的距离；(2)有一边长为a、由光滑弹性绝缘壁围成的正三角形容器，在其边界正中央开有一小孔S，将其置于CD右侧且紧挨CD边界，若从Q点射入的粒子经AB、CD间的电场从S孔水平射入容器中欲使粒子在容器中与器壁多次垂直碰撞后仍能从S孔射出(粒子与绝缘壁碰撞时无机械能和电量损失)，并返回Q点，需在容器中现加上一个如图所示的匀强磁场，粒子运动的半径小于a，求磁感应强度B的大小应满足的条件以及从Q出发再返回到Q所经历的时间答案(1)L(2)B，n1,2，n1,2，解析(1)设粒子经PT直线上的点R由E2电场进入E1电场，由Q到R及R到M点的时间分
15、别为t2与t1，到达R时竖直速度为vy，则由FqEma，2Lv0t2，Lv0t1，Lt，E12E2，得E1vyt2t1MTt联立解得MTL.(2)欲使粒子仍能从S孔处射出，粒子运动的半径为r，则qv0B(12n)ra，n1,2，解得：B，n1,2，由几何关系可知t3(2n)(3n)Tn1,2,3T代入B得T，n1,2，t2t12t2t，n1,2，10带电粒子在周期性变化的电磁场中的运动分析例3 (19分)如图5甲所示，在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿y轴正方向电场强度为正)在t0时刻由原点O发射初速度
16、大小为v0，方向沿y轴正方向的带负电粒子图5已知v0、t0、B0，粒子的比荷为，不计粒子的重力求：(1)tt0时，求粒子的位置坐标；(2)若t5t0时粒子回到原点，求05t0时间内粒子距x轴的最大距离；(3)若粒子能够回到原点，求满足条件的所有E0值解析(1)由粒子的比荷，则粒子做圆周运动的周期T2t0(1分)则在0t0内转过的圆心角(2分)由牛顿第二定律qv0B0m(2分)得r1(1分)位置坐标(，0)(1分)(2)粒子t5t0时回到原点，轨迹如图所示r22r1(2分)r1r2(1分)得v22v0(1分)又，r2(1分)粒子在t02t0时间内做匀加速直线运动，2t03t0时间内做匀速圆周运动
17、，则在05t0时间内粒子距x轴的最大距离：hmt0r2()v0t0.(2分)(3)如图所示，设带电粒子在x轴上方做圆周运动的轨道半径为r1，在x轴下方做圆周运动的轨道半径为r2，由几何关系可知，要使粒子经过原点，则必须满足：n(2r22r1)2r1，(n1,2,3，)(1分)r1r2(1分)联立以上各式解得vv0，(n1,2,3，)(1分)又由vv0(1分)得E0，(n1,2,3，)(1分)答案(1)(，0)(2)()v0t0(3)，(n1,2,3，)点睛之笔变化的电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性这种情况下要仔细分析带电粒子的运动过程、受力情况，弄清楚带电粒子在变化的电场、
18、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动径迹的草图(限时：15分钟，满分：20分)(2014山东24)如图6甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示t0时刻，一质量为m、带电量为q的粒子(不计重力)，以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区当B0和TB取某些特定值时，可使t0时刻入射的粒子经t时间恰能垂直打在P板上(不考虑粒子反弹)上述m、q、d、v0为已知量图6(1)若tTB，求B0；(2)若tTB，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；(3)若B0，为使粒子
19、仍能垂直打在P板上，求TB.答案(1)(2)(3)或解析(1)设粒子做圆周运动的半径为R1，由牛顿第二定律得qv0B0据题意由几何关系得R1d联立式得B0(2)设粒子做圆周运动的半径为R2，加速度大小为a，由圆周运动公式得a据题意由几何关系得3R2d联立式得a.(3)设粒子做圆周运动的半径为R，周期为T，由圆周运动公式得T由牛顿第二定律得qv0B0 由题意知B0，代入式得d4R粒子运动轨迹如图所示，O1、O2为圆心，O1O2连线与水平方向的夹角为，在每个TB内，只有A、B两个位置才有可能垂直击中P板，且均要求0，由题意可知T设经历完整TB的个数为n(n0,1,2,3，)若在A点击中P板，据题意
20、由几何关系得R2(RRsin )nd当n0时，无解当n1时，联立式得(或sin )联立式得TB当n2时，不满足090的要求若在B点击中P板，据题意由几何关系得R2Rsin 2(RRsin )nd当n0时，无解当n1时，联立式得arcsin(或sin )联立式得TB当n2时，不满足090的要求(限时：45分钟)题组1带电粒子在叠加场中的运动1如图1甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆形区域内加有与xOy平面垂直的匀强磁场在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q(q0)和初速度为v0的带电微粒(
21、已知重力加速度为g)图1(1)当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x轴正方向运动求电场强度E和磁感应强度B的大小和方向(2)调节坐标原点处的带电微粒发射装置，使其在xOy平面内不断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入第象限，如图乙所示现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动，则在保证电场强度E和磁感应强度B的大小和方向不变的条件下，求出符合条件的磁场区域的最小面积答案(1)E，沿y轴正方向B，垂直纸面向外(2)(1)R2解析(1)微粒沿x轴正方向运动，即带电微粒所受重力与电场力平衡设电场强度大小为
22、E，由平衡条件得：mgqE解得：E由于粒子带正电，故电场方向沿y轴正方向带电微粒进入磁场后，做匀速圆周运动，且半径rR.设匀强磁场的磁感应强度大小为B.由牛顿第二定律得：qv0Bm解得B，磁场方向垂直纸面向外(2)沿y轴正方向射入的微粒，运动轨迹如图所示：以半径R沿x轴正方向运动四分之一圆弧，该圆弧也恰为微粒运动的上边界以O点为圆心、R为半径做的四分之一圆弧BC为微粒做圆周运动的圆心轨迹微粒经磁场偏转后沿x轴正方向运动，即半径沿竖直方向并且射出点距圆心轨迹上各点的距离为R，射出点的边界与圆弧BC平行，如图中的圆弧ODA，圆弧OA与圆弧ODA之间的区域即为磁场区域的最小面积：S2(R2R2)(1
23、)R2.题组2带电粒子在组合场中的运动分析2如图2所示，在矩形区域CDNM内有沿纸面向上的匀强电场，场强的大小E1.5105 V/m；在矩形区域MNGF内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B0.2 T已知CDMNFG0.60 m，CMMF0.20 m在CD边中点O处有一放射源，沿纸面向电场中各方向均匀地辐射出速率均为v01.0106 m/s的某种带正电粒子，粒子质量m6.41027 kg，电荷量q3.21019 C，粒子可以无阻碍地通过边界MN进入磁场，不计粒子的重力求：图2(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径；(2)边界FG上有粒子射出磁场的范围长度；(3)粒子在磁场中运动的最长时间(后
24、两问结果保留两位有效数字)答案(1)0.2 m(2)0.43 m(3)2.1107 s解析(1)电场中由动能定理得：qEdmv2mv由题意知d0.20 m，代入数据得v2106 m/s带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，qBvm解得r0.2 m.(2)设粒子沿垂直于电场方向射入时，出电场时水平位移为s，则由平抛规律得：解得s m离开电场时，sin 1，130.由题意可知，PSMN，沿OC方向射出粒子到达P点，为左边界，垂直MN射出的粒子与边界FG相切于Q点，Q为右边界，QOr，轨迹如图范围长度为lsr(0.2) m0.43 m.(3)T，由分析可知，OO方向射出的粒子运动时间最长，设FG长度为Ls
25、in 2，230带电粒子在磁场中运动的最大圆心角为120，对应的最长时间为tmaxT2.1107 s3如图3所示，质量为m、电荷量为q的粒子从坐标原点O以初速度v0射出，粒子恰好经过A点，O、A两点长度为l，连线与坐标轴y方向的夹角为37，不计粒子的重力图3(1)若在平行于x轴正方向的匀强电场E1中，粒子沿y方向从O点射出，恰好经过A点；若在平行于y轴正方向的匀强电场E2中，粒子沿x方向从O点射出，也恰好能经过A点，求这两种情况电场强度的比值.(2)若在y轴左侧空间(第、象限)存在垂直纸面的匀强磁场，粒子从坐标原点O，沿与y轴成30的方向射入第二象限，恰好经过A点，求磁感应强度B.答案(1)(
26、2)解析(1)在电场E1中lsin tlcos v0t1在电场E2中lcos tlsin v0t2联立解得.(2)设轨迹半径为R，轨迹如图所示OC2Rsin 30由几何知识可得tan 30解得Rl又由qv0B得R联立解得B方向垂直纸面向里题组3带电粒子在周期性变化的电磁场中的运动分析4如图4a所示，水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，现将一重力不计、比荷1106 C/kg的正电荷置于电场中的O点由静止释放，经过105 s后，电荷以v01.5104 m/s的速度通过MN进入其上方的匀强磁场，磁场与纸面垂直，磁感应强度B按图b所示规律周期性变化(图b中磁场以垂直纸面向外为正，以电荷第一次通过MN
27、时为t0时刻)计算结果可用表示ab图4(1)求O点与直线MN之间的电势差；(2)求图b中t105 s时刻电荷与O点的水平距离；(3)如果在O点右方d67.5 cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，求电荷从O点出发运动到挡板所需的时间答案(1)112.5 V(2)4 cm(3)3.86105 s解析(1)电荷在电场中做匀加速直线运动，由动能定理Uqmv，U112.5 V.(2)当磁场垂直纸面向外时，设电荷运动的半径为r1由B1qv0，得r15 cm，周期T1105 s.当磁场垂直纸面向里时，设电荷运动的半径为r2r23 cm，周期T2105 s故电荷从t0时刻开始做周期性运动，其运动轨迹如图所示t105 s时刻电荷与O点的水平距离d2(r1r2)4 cm.(3)电荷第一次通过MN开始，其运动的周期T105 s，根据电荷的运动情况可知，电荷到达挡板前运动的完整周期数为15个，此时电荷沿MN运动的距离s15d60 cm，则最后7.5 cm的距离如图所示，有：r1r1cos 7.5 cm.解得：cos 0.5，则60，故电荷运动的总时间t总t115TT1T13.86104 s.
