1、课时作业(五十五)一、选择题1设动点P在直线x10上,O为坐标原点,以OP为直角边,点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ,则动点Q的轨迹是()A椭圆 B两条平行直线C抛物线 D双曲线解析:设Q(x,y),P(1,a),aR,则有0,且|,消去a,得x2y21.x2y20,y1.即动点Q的轨迹为两条平行直线y1.答案:B2如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析:由条件知|PM|PF|.|PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|.P点的轨迹是以O、
2、F为焦点的椭圆答案:A3方程(x2y24)0的曲线形状是()解析:由题意可得或xy10.它表示直线xy10和圆x2y240在直线xy10右上方的部分答案:C4(2013东北三校高三第二次联合模拟考试)已知圆M过定点(2,0)且圆心M在抛物线y24x上运动,若y轴截圆M所得弦为AB,则弦长|AB|等于()A4 B3C2 D与点M位置有关的值解析:设M坐标为(x0,y0),圆的半径r2(x02)2yx4x044x0x4,圆心到y轴的距离为x0(如图),|AB|224,选A.答案:A5(2013江西省高三联考)如图,单位圆O上有一动直径AB,其中点A以速度沿圆周逆时针运动,同时动直径AB上有一动点P
3、以速度2从A出发沿AB往返运动则点P的轨迹是()解析:当运动秒时,如图(1)当运动1秒时,如图(2)所以点P的轨迹是答案:A二、填空题6直线1与x,y轴交点的中点的轨迹方程_解析:设直线1与x,y轴交点为A(a,0),B(0,2a),A,B中点为M(x,y),则x,y1,消去a,得xy1,a0,a2,x0,x1.答案:xy1(x0,x1)7平面上有三点A(2,y),B,C(x,y),若,则动点C的轨迹方程为_解析:,.,0,得2x0.得y28x.答案:y28x8已知真命题:若A为O内一定点,B为O上一动点,线段AB的垂直平分线交直线OB于点P,则点P的轨迹是以O,A为焦点,OB长为长轴长的椭圆
4、类比此命题,写出另一个真命题:若A为O外一定点,B为O上一动点,线段AB的垂直平分线交直线OB于点P,则点P的轨迹是_解析:如图,连接AP,由于P是线段AB垂直平分线上一点,故有|PA|PB|,因此|PA|PO|PB|PO|OB|R定值,其中R为O的半径 .又由于点A在圆外,故|PA|PO|OB|Rb0)的离心率为,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为2.(1)求椭圆C1的方程;(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程解:(1)由e,得a23c2,又c2a2b2,解得
5、ab由题意可知2a2b2,即ab,由得:a,b,所以椭圆C1的方程是1.(2)点M在线段PF2的垂直平分线上,|MP|MF2|,故动点M到定直线l1:x1的距离等于它到定点F2(1,0)的距离,因此动点M的轨迹C2是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,所以点M的轨迹C2的方程为y24x.11(2013江西省高三联考)过动点M(x,y)引直线l:y1的垂线,垂足为A,O是原点,直线MO与l交于点B,以AB为直径的圆恒过点F(0,1)(1)求动点M的轨迹C的方程(2)一个具有标准方程的椭圆E与(1)中的曲线C在第一象限的交点为Q,椭圆E与曲线C在点Q处的切线互相垂直且椭圆E在Q处的切线被曲线C所截得
6、的弦的中点横坐标为,求椭圆E的方程解:(1)设M(x,y),则A(x,1),B,又F(0,1)由0.得x24y(x0)(2)设Q(x0,y0),所求椭圆E的方程为1(a0,b0,ab),则过点Q的曲线C的切线方程为x0x2y2y00,E的切线方程为b2x0xa2y0ya2b2,由(x0,2)(b2x0,a2y0)0,而x4y00,得a22b2,将b2x0xa2y0ya2b2代入x24y得y0x22x0x4b20,得x1x22,得x0y0,结合x4y0得x02,y02,代入椭圆方程得b28,故所求椭圆方程为1.12(2013云南昆明高三检测)如图,已知抛物线P:y2x,直线AB与抛物线P交于A,
7、B两点,OAOB,OC与AB交于点M.(1)求点M的轨迹方程;(2)求四边形AOBC的面积的最小值解:(1)设M(x,y),A(y,y1),B(y,y2),M是线段AB的中点x,y.OAOB,0.yyy1y20.依题意知y1y20,y1y21.把、代入得:x,即y2(x1)点M的轨迹方程为y2(x1)(2)依题意得四边形AOBC是矩形,四边形AOBC的面积为S|.yy2|y1y2|2,当且仅当|y1|y2|时,等号成立,S2.四边形AOBC的面积的最小值为2.热点预测13(2013内江市第二次模拟)已知动圆P过定点F(0,),且与直线l相切,椭圆N的对称轴为坐标轴,一个焦点是F,点A(1,)在
8、椭圆N上(1)求动圆圆心P的轨迹M的方程和椭圆N的方程;(2)已知与轨迹M在x4处的切线平行的直线与椭圆N交于B、C两点,试探求使ABC面积等于的直线l是否存在?若存在,请求出直线l的方程;若不存在,请说明理由解:(1)由题意知:点P到定点F(0,)和直线y的距离相等,故P的轨迹M是以F为焦点,y为准线的抛物线,p2轨迹M的方程为:x24y又由题意:可设椭圆方程为:1(ab0)2a4a2,又c,b,椭圆N的方程为1.(2)不存在满足条件的直线l.理由如下:若存在这样的直线l,轨迹M为抛物线x24y,它在x4处的切线斜率为k.故可设l的方程为:yxm,联立消去y整理得,4x22mxm240(2m)216(m24)0,m28且m0,设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1x2m,x1x2,由两点间的距离公式可求得|BC| 又点A到l距离d, m48m2180,显然此方程无解,即m不存在,故这样的直线l不存在