1、江西省上饶市横峰中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题 理考试时间：120分钟 一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）1观察下列式子:，则可归纳出小于（ ）ABCD2下列求导结果正确的是（ ）ABCD3函数的导函数为，则函数有（）A最小值 B最小值 C极大值 D极大值4如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数yf(x)的图像是（ ） ABCD5函数y(x21)n的复合过程正确的是（ ）Ayun，ux21By(u1)n，ux2Cytn，t(x21)nDy(t1)n，tx216已知函数的导函数为，且满足，则曲线在点处的切线的
2、斜率等于（ ）ABCD736的所有正约数之和可按如下方法得到：因为362232，所以36的所有正约数之和为(1332)(223232)(222232232)(1222)(1332)91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为（ ）A201B411C465D5658已知的图象如图所示，则与的大小关系是（ ）Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定9若，则的解集为ABCD10“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲乙丙丁戊己庚辛壬癸被称为“十天干”，子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按
3、干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子乙丑丙寅癸酉甲戌己亥丙子癸未甲申乙酉丙戌癸巳，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（ ）A庚子年B辛丑年C己亥年D戊戌年11函数的定义域为为的导函数，且，则不等式的解集是（ ）ABCD12设函数，则满足的取值范围是（ ）ABCD二、填空题（共20分，每小题5分）13设x，用反证法证明命题“如果，那么且”时，应先假设“_”.14函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点_个.15观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中
4、有_小圆圈.16设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_三、解答题（共6小题，17题10分，后面5题每题12分，共70分）17求下列函数的导函数： （1）； （2）18已知函数（1）当f(x)在x1处取得极值时，求函数f(x)的解析式；（2）当f(x)的极大值不小于时，求m的取值范围19已知直线l：y4xa和曲线C：yx32x23相切求：（1）切点的坐标；（2）a的值20已知数列的前项和为，且.（1）求、；（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.21（1）求证：（其中）.（2）已知三数成等比数列,且分别为和的等差中项. 求证:.22已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围.
5、参考答案1C【分析】根据已知式子分子和分母的规律归纳出结论.【详解】由已知式子可知所猜测分式的分母为，分子第个正奇数，即，.故选：C.2C【分析】利用导数的求导法则以及复合函数的求导法则可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，A选项错误；对于B选项，B选项错误；对于C选项，C选项正确；对于D选项，D选项错误.故选：C.3C【分析】根据导函数求出函数的单调区间，根据极值的定义即可得出结果.【详解】由，令，解得，即函数的单调递增区间为；令，解得或；令，解得或，即函数的单调递减区间为，所以函数的极大值.故选：C4D【分析】根据与的变化趋势结合导数的几何意义判断即可；【详解】解：不妨设A固定，B从A点
6、出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢由上可知函数yf(x)的图像应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确故选：D5A【分析】直接根据函数的结构，找到内层函数和外层函数即可得解.【详解】函数y(x21)n，可由yun，ux21，利用复合函数求导.故选：A.6B【
7、分析】对函数求导，根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率即可.【详解】由可得，则，所以，由导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率等于.故选：B.7C【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照36的所有正约数之和的方法可得到200的所有正约数之和【详解】200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2002352，所以200的所有正约数之和为(122223)(1552)465，所以200的所有正约数之和为465.故选：C.8B【分析】根据导数的几何意义，结合图象可得答案.【详解】由导数的几何意义可知，f(xA)，f(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f(xA)f(x
8、B)故选：B9C【分析】由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项【详解】解：由题，的定义域为，令，整理得，解得或，结合函数的定义域知，的解集为故选：10B【分析】根据“干支纪年法”的规则判断【详解】天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年是“干支纪年法”中的甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到2021年，经过了7年，所以“天干”中的甲变为辛，地支中的午变为丑，即2021年是辛丑年，故选：B.11A【分析】依题意可得再定义域上单调递增，又，即可得到时，；时，；再分类讨论分别计算最后取并集即可；【详解】解：由题意可知在单
9、调递增，又，时，；时，；对于，当时，不等式成立，当时，不等式不成立；当时，且，不等式成立不等式的解集故选：.12A【分析】设，为奇函数且单调递增，进而化简不等式，即可求出结果.【详解】设，则，为奇函数所以在R上单调递增，解得故选：A【点睛】方法点睛：解与复合函数有关的不等式，讨论函数奇偶性和单调性是常用的方法.本题考查了解决问题的综合能力和逻辑推理能力，属于难题.13或【分析】假设结论的反面成立，即结论的否定注意存在量词与全称量词的互换【详解】结论：且的否定是或故答案为：或141【分析】根据导函数的图象和极小值的定义可得极小值点的个数.【详解】从导函数的图象上可得导数的零点有4个，其中满足零点
10、左侧附近导数小于零且右侧附近导数大于零的零点有1个，故答案为：1.15【分析】仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系，从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.【详解】观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，12+1，23+1，34+1，45+1，故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)n+1=n2-n+1.故答案为：n2-n+116【分析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义，即可求得答案.【详解】因为=，所以，则曲线在点处的切线斜率为，即，又所以所求切线的倾斜角为故答案为：17（1）；（2）.【分析】（ 1）根据导数的积的运算法则和求导公式计算即可；（ 2）原函数可化为，然后利
11、用反比例函数、对数函数的导数公式可得答案.【详解】（1）；（2），所以.18（1）；（2）1，)【分析】（1）求导，由求出，进而得出解析式；（2）根据导数求出极大值，再解不等式得出m的取值范围【详解】（1）因为，所以f(x)x2m2.因为f(x)在x1处取得极值，所以f（1）1m20(m0)，所以m1，故（2）f(x)x2m2.令f(x)0，解得xm.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，m)m(m，m)m(m，)f(x)00f(x)极大值极小值由上表，得，由题意知，所以m31，解得m1.故m的取值范围是1，)19（1）或(2，3)；（2）a或a5【分析】（1）设切点为，求出导
12、函数，得切线斜率，由已知切线方程求得切点坐标；（2）切线坐标代入已知切线方程可求得参数【详解】解：（1）设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，y3x24x，由题意可知直线l的斜率k4，解得x0或x02，代入曲线的方程，得切点的坐标为或(2，3)（2）当切点为时，有，解得a；当切点为(2，3)时，有342a，解得a5a或a520（1），；（2），证明见解析.【分析】（1）由，分别令，求解： （2）由（1）猜想，数列的通项公式为，由时成立，再假设，成立，然后论证时成立即可.【详解】（1），当时，解得，即有；当时，解得，则；当时，解得，则；（2）由（1）猜想可得数列的通项公式为.下面运用数学归纳
13、法证明.当时，由（1）可得成立；假设，成立，当时，即有，则，当时，上式显然成立；当时，即，则当时，结论也成立.由可得对一切，成立.【点睛】方法点睛：“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性21（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用分析法证明不等式；（2）由等差中项可得，再由等比数列得，代入式子化简可得.【详解】（1）要证：（），即证：（），两边平方得：（），即证：（），两边平方得：，即又恒成立，故原不等式成立（2）分别为为和的等差中项，
14、且又三数成等比数列，所以【点睛】方法点睛：本题考查利用分析法证明不等式，及利用数列证明等式，利用分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理，简单事实或题设的条件即可，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.22（1）在和上递增，在上递减；（2）.【分析】（1）直接求函数的导数，进而判断函数的单调性；（2）由，可知，分别求函数最值即可.【详解】（1）由，得，当或，当时，所以，在和上递增，在上递减；（2）因为在上递减，在上递增，所以，因为，所以恒成立，令，则，即：在上恒成立，令，则，所以在上递增，在上递减，所以，故的取随范围的.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理
