1、8.2 双曲线知识梳理定义1.到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2|）的点的轨迹2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e（1）的点的轨迹方程1. =1，c=，焦点是F1（c，0），F2（c，0）2.=1，c=，焦点是F1（0，c）、F2（0，c）性质H：=1（a0，b0）1.范围：|x|a，yR2.对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：轴端点A1（a，0），A2（a，0）4.渐近线：y=x，y=x5.离心率：e=（1，+）6.准线：l1：x=，l2：x=7.焦半径：P（x，y）H，P在右支上，r1=|PF1|=ex+a，r2=|PF2|=exa；P在左
2、支上，r1=|PF1|=（ex+a），r2=|PF2|=（exa）思考讨论 对于焦点在y轴上的双曲线=1（a0，b0），其性质如何？焦半径公式如何推导？点击双基1.双曲线=1的渐近线方程是A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x解析：由双曲线方程可得焦点在x轴上，a=2，b=3.渐近线方程为y=x=x.答案：A2.过点（2，2）且与双曲线y2=1有公共渐近线的双曲线方程是A.=1 B.=1C.=1 D.=1解析：可设所求双曲线方程为y2=，把（2，2）点坐标代入方程得=2.答案：A3.如果双曲线1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距离是A.10 B. C.2 D. 解析：
3、利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=8=.答案：D4.已知圆C过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_.解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为（4，）.易求它到中心的距离为.答案：5.求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为_.解析：利用双曲线的定义.答案：=1（x0）典例剖析【例1】 根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（3，2）；（2）与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.剖析：设双曲线方程为
4、=1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程.解法一：（1）设双曲线的方程为=1，由题意，得 =，=1， 解得a2=，b2=4.所以双曲线的方程为=1.（2）设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为=1.解法二：（1）设所求双曲线方程为（0），将点（3，2）代入得，所以双曲线方程为.（2）设双曲线方程为1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为1.评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注
5、意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程axby=0，可设双曲线方程为a2x2b2y2=（0）.【例2】 （2002年全国，19）设点P到点M（1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围.剖析：由|PM|PN|=2m，得|PM|PN|=2|m|.知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值 范围.解：设点P的坐标为（x，y），依题意得=2，即y=2x（x0）. 因此，点P（x，y）、M（1，0）、N（1，0）三点不共线，得|PM|PN|0，0|m|0，15m20.解得0|m|，即m的取
6、值范围为（，0）（0，）.评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.【例3】 如下图，在双曲线=1的上支上有三点A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），它们与点F（0，5）的距离成等差数列.（1）求y1+y3的值；（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.剖析：可以验证F为焦点，利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列，进而有三点纵坐标成等差数列，由此易得y1+y3的值.为求出AC的中垂线所过定点，不妨设想作出A与C关于y轴的对称点A与C.由双曲线的对称性，易知A与C也在双
7、曲线上，且A、B、C满足题设条件，所以AC的中垂线也应过此定点.由两条中垂线关于y轴对称.所以定点应在y轴上.（1）解：c=5，故F为双曲线的焦点，设准线为l，离心率为e，由题设有2|FB|=|FA|+|FC|. 分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|，|FA|=e|AA1|，|FC|=e|CC1|，代入式，得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|，即2|BB1|=|AA1|+|CC1|.于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有2|BB2|=|AA2|+|CC2|，此即26=y1+y3，可见y1+y3=12.（2
8、）证明：AC的中垂线方程为y=（x），即y6=x+. 由于A、C均在双曲线上，所以有=1，=1.相减得=.于是有=（y1+y3）=12=13，故变为y=x+，易知此直线过定点D（0，）.评述：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题.闯关训练夯实基础1.设P是双曲线=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于A.1或5 B.6 C.7 D.9解析：由渐近线方程y=x，且a=2，b=3.据定义有|PF2|PF1|=4，|PF2|=7.答
9、案：C2. “ab0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：由ab0，b0或a0.由此可知a与b符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然.答案：C3.给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由|PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上._.解析：易知P与F1在y轴的同侧，|PF2|PF1|
10、=2a，|PF2|=17.答案：|PF2|=174.过点A（0，2）可以作_条直线与双曲线x21有且只有一个公共点.解析：数形结合，两切线、两交线.答案：45.已知双曲线的方程是16x29y2=144.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|PF2|=32，求F1PF2的大小.解：（1）由16x29y2=144得=1，a=3，b=4，c=5.焦点坐标F1（5，0），F2（5，0），离心率e=，渐近线方程为y=x.（2）|PF1|PF2|=6，cosF1PF2= = =0.F1PF2=90.6.已知双曲线x2=1与点P（
11、1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.（1）求直线AB的方程；（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.（1）解：设过P（1，2）点的直线AB方程为y2=k（x1），代入双曲线方程得（2k2）x2+（2k24k）x（k44k+6）=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，由已知=xp=1，=2.解得k=1.又k=1时，=160，从而直线AB方程为xy+1=0.（2）证明：按同样方法求得k=2，而当k=2时，0，所以这样的直线不存在.培养能力7.双曲线kx2y21，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲
12、线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程.解：由题意k0，c=，渐近线方程l为y=x，准线方程为x=，于是A（，），直线FA的方程为 y=，于是B（，）.由B是AC中点，则xC=2xBxA，yC=2yByA.将xC、yC代入方程kx2y21，得k2c410kc2250.解得k（1+）5，则k4.所以双曲线方程为4x2y218.（理）已知l1、l2是过点P（，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线 y2x21各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.（1）求l1的斜率k1的取值范围；（2）若A1B1A2B2，求l1、l2的方程.解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲
13、线不相交.设l1的斜率为k1，则l1的方程为yk1（x）.联立得 yk1（x），y2x21，消去y得（k121）x22k12x2k1210. 根据题意得k1210， 10，即有12k1240. 完全类似地有10， 20，即有1240， 从而k1（，）（，）且k11.（2）由弦长公式得A1B1. 完全类似地有A2B2. A1B1A2B2，k1，k2.从而l1：y（x），l2：y（x）或l1：y（x），l2：y（x）（文）在双曲线1上求一点M，使它到左右两焦点的距离之比为32，并求M点到两准线的距离解：设M（x1，y1），左右两焦点F1、F2，由双曲线第二定义得MF1ex1a，MF2ex1a，由已
14、知2（ex1a）3（ex1a），把e=，a=4代入，得x116，y13.点M的坐标为（16，3）.双曲线准线方程为x=.M（16，3）到准线的距离为12或19探究创新9.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C：=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.解：类似的性质为若MN是双曲线=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.设点M的坐标为
15、（m，n），则点N的坐标为（m，n），其中=1.又设点P的坐标为（x，y），由kPM=，kPN=，得kPMkPN=，将y2=x2b2，n2=m2b2，代入得kPMkPN=.评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求.思悟小结本节重点是求双曲线方程及由双曲线方程求基本量，难点是双曲线的灵活运用.解决本节问题应注意以下几点：1.由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：（1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防
16、止遗漏；（2）已知渐近线的方程bxay=0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2a2y2=（0），根据其他条件确定的值.若求得0，则焦点在x轴上，若求得0，则焦点在y轴上.2.由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错.3.解题中，应重视双曲线两种定义的灵活应用，以减少运算量.教师下载中心教学点睛本节的重点是双曲线的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程、准线方程、第二定义的应用.关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想.为此建议在教学中注意以下几
17、点：1.双曲线中有一个重要的RtOAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c.易见c2=a2+b2，若记AOB=，则e=.2.双曲线的定义用代数式表示为|MF1|MF2|=2a，其中2a|F1F2|，这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在.3.参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a0，b0；双曲
18、线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2=a2+b2；在方程Ax2+By2=C中，只要AB0且C0，就是双曲线的方程.4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是=0，则可把双曲线方程表示为=（0），再根据已知条件确定的值，求出双曲线的方程.拓展题例【例1】 已知双曲线=1的离心率e1+，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支
19、上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?解：设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|d，由双曲线的第二定义知=e，即|PF2|=e|PF1|. 再由双曲线的第一定义，得|PF2|PF1|=2a. 由，解得|PF1|=，|PF2|=，|PF1|+|PF2|F1F2|，+2c. 利用e=，由得e22e10，解得1e1+.e1，11+矛盾.在双曲线的左支上找不到点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项.【例2】 设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为，且点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程.分析：由双曲线中心在原点，准
20、线平行于x轴，可设双曲线的方程为=1.由离心率为，可得a2+b2=（a）2=c2.由点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，可转化为二次函数的最大（小）值问题来讨论，得到a、b应满足的另一关系式.从而求出a2、b2，本题得解.解：依题意，设双曲线的方程为=1（a0，b0）.e=，c2=a2+b2，a2=4b2.设M（x，y）为双曲线上任一点，则|PM|2=x2+（y5）2=b2（1）+（y5）2=（y4）2+5b2（|y|2b）.若42b，则当y=4时，|PM|min2=5b2=4，得b2=1，a2=4.从而所求双曲线方程为x2=1.若42b，则当y=2b时，|PM|min2=4b220b+25=4，得b=（舍去b=），b2=，a2=49.从而所求双曲线方程为=1.
