1、湖南省株洲市第二中学2020届高三数学下学期4月模拟考试试题（含解析）一选择题.1. 已知集合，则集合不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】集合是数集，求出函数值域，是的子集，根据选项可得.【详解】, 即 ，,又故选：D【点睛】本题考查集合交集运算. 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.2. 设复数的共轭复数为且满足关系，那么等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先设根据题意得到方程组，求解，即可得出结果【详解】设则.故选：A.【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记复数模的计算公式，以及共轭复数的概念即可，属于常考题型.3. 等比数列的各项和均为正数，
2、 ，,则（ ）A. 14B. 21C. 28D. 63【答案】C【解析】【分析】根据题中的条件求出等比数列的公比，再根据即可得到所求【详解】设等比数列的公比为，即，解得或，又，故选C【点睛】本题考查等比数列项的运算，解题时注意将问题转化为基本量（首项和公比）的运算，另外解题时还需注意数列中项之间性质的灵活应用，以减少计算量、提高解题的效率4. 若x,y满足约束条件的取值范围是A. 0,6B. 0,4C. 6, D. 4, 【答案】D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是4，+）
3、故选D5. 如图，分别是边长为4的等边的中线，圆是的内切圆，线段与圆交于点.在中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等边三角形中心的性质，求得内切圆的半径和阴影部分面积，再根据几何概型计算公式计算出所求的概率.【详解】在中，因为，所以，即圆的半径为，由此可得图中阴影部分的面积等于，的面积为，故所求概率.故选A.【点睛】本题考查几何概型问题，考查数据处理能力和应用意识.属于中档题.6. 已知等边三角形的边长为2，其重心为，则（ ）A. 2B. C. D. 3【答案】C【解析】分析】以中垂线为轴建立坐标系，利用重心求出点坐标，再求出
4、向量坐标，运用向量数量积坐标进行计算【详解】如图所示建立平面直角坐标系.则，重心为， 点的坐标为.则，所以.故选：C【点睛】本题考查平面向量数量积的运算(1)根据定义计算数量积的思路：根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解.(2)利用坐标计算数量积的方法：先根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；再根据数量积的坐标公式进行运算即可7. “十一”黄金周来临，甲、乙、丙三个大学生决定出去旅游，已知一人去泰山，一人去西嶽，一人去云南.回来后，三人对自己的去向，作如下陈述：
5、甲：“我去了泰山，乙去了西藏”乙：“甲去了西藏，丙去了泰山.”丙：“甲去了云南，乙去了泰山.”事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半.根据如上信息，可判断下面正确的是（ ）A. 甲去了西藏B. 乙去了泰山C. 丙去了西藏D. 甲去了云南【答案】D【解析】【分析】对甲：“我去了泰山，乙去了西藏.” 的陈述进行判断，验证甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半的事实是否成立，可得答案【详解】若甲的陈述“我去了泰山”正确，则“乙去了西藏”错误，则乙去了云南，丙去了西藏，则乙丙的陈述都错误；若甲的陈述“我去了泰山” 错误，则“乙去了西藏” 正确，则甲去了云南，丙去了泰山，验证乙丙的陈述都说对了一半，符合题意.
6、故选：D【点睛】本题考查逻辑推理能力. 在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程8. 在数列中，已知，且对于任意的，都有，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，代入已知可得，将变形为：，即可求得，裂项得：，问题得解【详解】因为对于任意的，都有，取，有，即，则 ，所以，所以 .故选C【点睛】本题主要考查了等差数列前项和公式、裂项求和、赋值法，还考查计算能力及转化能力，属于中档题9. 已知，若，则（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】先根据题中条件求出，再将代入解析式，即可得出结果.【详解】因为，所以，因此，故；所以.
7、故选B【点睛】本题主要考查函数求值问题，根据题意先求出参数，进而可求出结果，属于常考题型.10. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据所给函数，画出函数图象，根据及恰有三个零点，即可根据图象判断m的取值范围【详解】由题意，画出函数的图象如下图所示：恰有三个零点即有三个不同交点，即有三个不同交点由图象可知，当直线斜率在之间时，有三个交点即 所以可得所以选A【点睛】本题考查了函数图象的画法，根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题11. 如图，直角梯形，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（ ）A. B.
8、C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得在四棱锥中平面作于，作于，连，可证得平面然后作于，可得即为点到平面的距离在中，根据等面积法求出的表达式，再根据基本不等式求解可得结果【详解】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥中，底面为边长是1的正方形，侧面中，且，平面作于，作于，连，则由平面，可得，平面又平面，平面在中，作于，则平面又由题意可得平面，即为点到平面的距离在中，设，则，由可得，当时等号成立，此时平面，综上可得点到平面距离的最大值为故选B【点睛】本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算，解题的关键是作出表示点面距的垂线段，另外根据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键在求得点
9、面距的表达式后再运用基本不等式求解，此时需要注意等号成立的条件，本题难度较大12. 已知函数是定义在上偶函数，设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 在 上是增函数，易得 是偶函数，故选A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数与方程、函数与不等式、导数的应用，涉及函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先 在 上是增函数，易得 是偶函数，故选A.二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数，则函数的图象在处的切线方程为_.【答案】【解
10、析】【分析】函数求导，计算，点斜式方程写出切线方程.【详解】, 点 点斜式方程写出切线方程：故答案为：【点睛】本题考查求“在”曲线上一点处的切线方程.其方法：求“在”曲线上一点处的切线方程：点为切点，切线斜率为，有唯一的一条切线，对应的切线方程为14. 已知二项式的展开式中，二项式系数之和为64，含的项的系数为，则_.【答案】2【解析】【分析】利用二项式系数之和为64，求出，利用二项展开式得到求出参数.【详解】 二项式系数之和为64, 得 ，的项的系数为，令， ， 故答案为：【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数可依据条件写出第项，再由特定项
11、的特点求出值即可(2)已知展开式的某项或其系数求参数可由某项得出参数项，再由通项公式写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数15. 如图，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求出抛物线的焦点，准线方程为，三角形周长转化为，求出范围可解.【详解】抛物线的焦点，准线方程为，圆的圆心， 三角形周长为： 周长的取值范围是 故答案为：【点睛】利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径16. 三棱锥
12、中，底面是边长为3的等边三角形，侧面为等腰三角形，且腰长为，若，则三棱锥外接球表面积是_【答案】【解析】【分析】根据题意，将题中所述三棱锥在直三棱柱中进行截取，再求三棱柱的外接球半径，即为所求外接球的半径，结合球的表面积公式即可求得结果.【详解】三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，侧面三角为等腰三角形，且腰长为，平面，将三棱锥还原成三棱柱，则上下底面中心的连线的中点为三棱锥外接球的球心，如图，=2，三棱锥外接球表面积故答案为：【点睛】空间几何体与球接、切问题求解方法求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何
13、中元素间的关系求解若球面上四点，构成的三条线段，两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解三解答题17. 在中，角，的对边分别为，（1）若，且为锐角三角形，求的值；（2）若，求的取值范围【答案】（1）b5（2）【解析】【分析】（1）运用二倍角的余弦公式，化简整理可得，再由余弦定理，解方程可得；（2）运用正弦定理和两角和差的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围；【详解】解：（1），又为锐角，而，即，解得或（舍去），；（2）由正弦定理可得，【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题18. 如图四棱锥中，
14、底面，是边长为2的等边三角形，且，点是棱上的动点.（I）求证：平面平面；（）当线段最小时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（I）证明见解析；（）【解析】【分析】（）由底面可得取的中点，连接，根据等腰三角形的性质可得，于是得到平面，根据面面垂直的判定可得所证结论（）取中点，连接，可证得，建立空间直角坐标系然后根据向量的共线得到点的坐标，再根据线段最短得到点的位置，进而得到求出平面的法向量后根据线面角与向量夹角间的关系可得所求【详解】（）证明：底面，底面， 取的中点，连接，是等边三角形，点共线，从而得，又，平面，平面，平面平面. （）解：取中点，连接，则，底面，两两垂直以为原点如图建立空间直角
15、坐标系，则，,设平面的法向量为，由，得，令，得设，则，当时，有最小值，且，此时设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为【点睛】空间向量的引入，为解决立体几何中的探索性问题提供了新的解决方法，即根据计算可解决探索性问题解答空间角的有关问题时，可转化为向量的数量积问题来处理，但要注意向量的夹角与空间角的关系，在进行代数运算后还需要再转化为几何问题，属于中档题19. 已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设点分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点作直线交椭圆于，两点，求四边形面积的最大值（为坐标原点）.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）点代入椭圆方程，离心率 与 联立
16、求解椭圆方程；（2）设直线方程，与椭圆联解，利用根与系数关系及三角形面积公式得四边形面积，再利用换元法和对勾函数单调性求出四边形面积的最大值.【详解】点代入椭圆方程， 又离心率 与，则 椭圆的方程为：（2）设直线方程为 , 化简得： ， 四边形面积： 令 ， 在上单增，当且仅当即时等号成立.四边形面积的最大值为3【点睛】与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围20. 十九大以来，某贫困地区扶贫办
17、积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据与公式 ，若 ，则 ； ； .（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ，其中近似为年平均收入 近似为样本方差 ，经计算得：，利用该正态分布，求：（i）在2019年脱贫攻坚工作中
18、，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?【答案】（1）17.4；（2）（i）14.77千元（ii）978位【解析】【分析】（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数；（2）（i）根据正态分布可得：即可得解；（ii）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法
19、则求得概率最大值的k的取值即可得解.【详解】（1）由频率分布直方图可得：；（2）（i）由题，所以满足题意，即最低年收入大约14.77千元；（ii），每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X，恰有k位农民中的年收入不少于12.14千元的概率得，所以当时，当时，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位.【点睛】此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强.21. 已知函数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当，时，对任意，有成立
20、，求实数的取值范围【答案】（1）当，时，函数在上单调递增；当，时，函数在上单调递减，在上单调递增（2）【解析】【分析】（1）求出导数对分类讨论，明确函数函数的单调性；（2）对任意，有成立，等价于，函数在上单调递减，在上单调递增，为与中的较大者再利用导数求解不等式即可.【详解】（1）函数的定义域为当时，所以 当时，所以函数在上单调递增 当时，令，解得，当时，所以函数在上单调递减；当时，所以函数在上单调递增综上所述，当，时，函数在上单调递增；当，时，函数在上单调递减，在上单调递增（2）因为对任意，有成立，所以当即时，令，得；令，得所以函数在上单调递减，在上单调递增，为与中的较大者设 ，则，所以在上
21、单调递增，故所以，从而 所以即设 ，则所以在上单调递增又，所以的解为因为，所以的取值范围为【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为；（3）若恒成立，可转化为.22. 已知曲线的参数方程为（为参数），为曲线上的一动点.（I）求动点对应的参数从变动到时，线段所扫过的图形面积；（）若直线与曲线的另一个交点为，是否存在点，使得为线段的中点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（）；（）存在点满足题意，且.【解析】【分析】（）先判断出线段所扫过的图形由一
22、三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并结合扇形的面积可得所求（）设，由题意得，然后根据点在曲线上求出后可得点的坐标【详解】（）设时对应的点为时对应的点为，由题意得轴，则线段扫过的面积. （）设， ，为线段的中点， ， 在曲线上，曲线的直角坐标方程为， ，整理得， 存在点满足题意，且点的坐标为【点睛】本题考查参数方程及其应用，解题的关键是将问题转化为普通方程后再求解，考查转化和计算能力，属于中档题23. 已知函数，.（1）若，解不等式；（2）若不等式至少有一个负数解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时，利用零点分段法去绝对值，将不等式变为分段不等式来求得解
23、集；（2）作出函数的图象和函数的图象,通过数形结合与分类讨论的数学思想方法求得的取值范围.【详解】（1）若，则不等式+化为2当x1时，23，即，因为不等式对应的一元二次方程，故不等式无解； 当时，即，解得 综上，不等式+3的解集为 （2）作出的图象如图所示，当时，的图象如折线所示， 由，得，若相切，则，得，数形结合知，当时，不等式无负数解，则 当时，满足至少有一个负数解 当时，的图象如折线所示， 此时当时恰好无负数解，数形结合知，当时，不等式无负数解，则 综上所述，若不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是(，2)【点睛】本题考查含参绝对值不等式的求解，以及考查学生数形结合的能力，属中档题.
