1、黑龙江省牡丹江一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：（单选，共5×12=60分）1（5分）已知点M的极坐标为，下列所给四个坐标中能表示点M的坐标是（）ABCD2（5分）参数方程表示的曲线是（）A椭圆B双曲线C抛物线D圆3（5分）直线x2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）ABCD4（5分）在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（）ABCD5（5分）曲线（为参数）的对称中心（）A在直线y=2x上B在直线y=2x上C在直线y=x1上D在直线y=x+1上6（
2、5分）已知抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有（）A|FP1|+|FP2|=|FP3|B|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C2|FP2|=|FP1|+|FP3|D|FP2|2=|FP1|FP3|7（5分）在方程（为参数且R）表示的曲线上的一个点的坐标是（）A（2，7）B（1，0）C（，）D（，）8（5分）已知过曲线（为参数，0）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）A（，）BC（，）D9（5分）在极坐标系下，已知点，则ABO为（）A正三角形B直角三角形C锐角等腰三角形D直角
3、等腰三角形10（5分）点P在双曲线：（a0，b0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，F1PF2=90，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A2B3C4D511（5分）已知直线（t为参数）与曲线C：24cos+3=0交于A、B两点，则|AB|=（）A1BCD12（5分）己知集合M=（x，y）|x2+2y2=3，N=（x，y）|y=mx+b若对所有mR，均有MN，则b的取值范同是（）A，B（，）C（，D，二、填空题：（共5x4=20分）13（5分）将参数方程（为参数）化为普通方程为14（5分）直线为参数）上与点A（2，3）的距离等于的点的坐标是 15（5分）（坐标系与参数
4、方程选做题）在极坐标系中，直线（cossin）+2=0被曲线C：=2所截得弦的中点的极坐标为16（5分）实数x、y满足3x2+2y2=6x，则的最大值为三、解答题：（17题10分，18题至22题各12分）17（10分）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积18（12分）已知曲线C的极坐标方程是=4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）（）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；（）若直线l与曲线C
5、相交于A，B两点，且|AB|=，试求实数m的值19（12分）已知过点P（1，2），倾斜角为的直线l和抛物线x2=y+m （1）m取何值时，直线l和抛物线交于两点？（2）m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为20（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（1，0），直线l与曲线C交于A，B两点（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|MB|的值21（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 （为参数），经坐标变换（a0，b0）后所得曲线记为CA、B是曲线C上
6、两点，且OAOB（1）求曲线C的普通方程；（2）求证：点O到直线AB的距离为定值22（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由黑龙江省牡丹江一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（单选，共5×12=60分）1（5分）已知点M的极坐标为，下列所给四个坐标中能表
7、示点M的坐标是（）ABCD考点：点的极坐标和直角坐标的互化 专题：计算题分析：由于 和是终边相同的角，故点M的极坐标也可表示为解答：解：点M的极坐标为，由于 和是终边相同的角，故点M的坐标也可表示为，故选D点评：本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，是一道基础题2（5分）参数方程表示的曲线是（）A椭圆B双曲线C抛物线D圆考点：参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：把参数方程（t为参数）消去参数，化为普通方程后，即可得到结论解答：解：参数方程，22可得：x2y2=4参数方程表示的曲线是双曲线故选：B点评：本题考查参数方程与普通方程之间的转化，关键是利用已知条件消去参数3（5分）
8、直线x2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）ABCD考点：椭圆的简单性质 专题：计算题分析：直线x2y+2=0与坐标轴的交点为（2，0），（0，1），依题意得解答：直线x2y+2=0与坐标轴的交点为（2，0），（0，1），直线x2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；故故选A点评：本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型4（5分）在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（）ABCD考点：圆的参数方程；中点坐标公式 专题：计算题分析：根据B，C两个点在圆上，可
9、以写出两个点对应的坐标，根据中点的坐标公式，表示出中点的坐标，得到要求的中点对应的参数值解答：解：xB=a+t1cosxC=a+t2cos对于中点M有xM=（x B+xC）=（a+t1cos+a+t2cos）=a+（t1+t2）cos同理yM=b+（t1+t2）cos线段BC的中点M对应的参数值是（t1+t2）故选B点评：本题考查圆的参数方程和中点的坐标公式，本题解题的关键是已知圆上的点，写出点对应的参数式，本题是一个基础题5（5分）曲线（为参数）的对称中心（）A在直线y=2x上B在直线y=2x上C在直线y=x1上D在直线y=x+1上考点：圆的参数方程 专题：选作题；坐标系和参数方程分析：曲线
10、（为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论解答：解：曲线（为参数）表示圆，圆心为（1，2），在直线y=2x上，故选：B点评：本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题6（5分）已知抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有（）A|FP1|+|FP2|=|FP3|B|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C2|FP2|=|FP1|+|FP3|D|FP2|2=|FP1|FP3|考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；压轴题分析：把2x2=x1+x3等式两边同时加p整理成进而根据抛物线的定义可得2|FP
11、2|=|FP1|+|FP3|解答：解：2x2=x1+x3，由抛物线定义可得2|FP2|=|FP1|+|FP3|故选C点评：本题主要考查了抛物线的简单性质属基础题7（5分）在方程（为参数且R）表示的曲线上的一个点的坐标是（）A（2，7）B（1，0）C（，）D（，）考点：抛物线的参数方程 专题：计算题分析：先利用二倍角公式将参数方程化成普通方程，再将选项中点逐一代入验证即可解答：解：cos2=12sin2=12x2=y方程（为参数且R）表示x2=（1y）将点代入验证得C适合方程，故选C点评：本题主要考查了抛物线的参数方程化成普通方程，解题的关键是消参，属于基础题8（5分）已知过曲线（为参数，0）上
12、一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）A（，）BC（，）D考点：直线的倾斜角；圆的参数方程 专题：直线与圆分析：先将曲线的极坐标方程化为普通方程并求出直线的方程，再将二者联立即可解出解答：解：将曲线（为参数，0）消去参数，化为普通方程为（y0）直线PO的倾斜角为，=1，直线po的方程为：y=x，联立（y0），解得，即P故选D点评：本题考查了将曲线的极坐标方程化为普通方程及直线与曲线相交的问题，熟练的计算是解决问题的关键9（5分）在极坐标系下，已知点，则ABO为（）A正三角形B直角三角形C锐角等腰三角形D直角等腰三角形考点：三角形的形状判断 专题：计算题分析：先把极坐标系下的点A，
13、B，C的坐标转化为直角坐标系下的点，然后根据两点就的距离公式可求，AC，AB，BC，从而可进行判断解答：解：极坐标系下，点，则在直角坐标系下A（0，2），B（1，1），C（0，0）AC=2，AB=BC= AC2=AB2+BC2三角形ABO为等腰直角三角形故选D点评：本题主要考查了三角形的形状的判断，解题的关键是要把极坐标系转化为直角坐标系，还要注意两点间的距离公式的应用10（5分）点P在双曲线：（a0，b0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，F1PF2=90，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A2B3C4D5考点：双曲线的简单性质；等差数列的性质 专题：压轴题分析：
14、通过|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为md，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=，由此求得离心率的值解答：解：因为F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为md，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m（md）=2a，m+d=2c，（md）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=，故离心率e=5，故选D点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题11（5分）已知直线（t为参数）与曲线C：24cos+3=0交于A、B两点，则|AB|=（）A1BCD考点：
15、简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：首先，将直线的参数方程化为普通方程、圆的极坐标方程化为直角坐标方程，然后，结合弦长公式进行求解解答：解：由直线（t为参数），得 xy1=0，由24cos+3=0，得x2+y24x+3=0，化为标准方程为：（x2）2+y2=1，它表示圆心为（2，0），半径为1的圆圆心到直线的距离为d=，弦长2=，故选：D点评：本题重点考查了直线的参数方程和普通方程互化、圆的极坐标方程和直角坐标方程的互化弦长公式等知识，属于中档题解题关键是准确得到相应的方程的形式12（5分）己知集合M=（x，y）|x2+2y2=3，N=（x，y）|y=mx+
16、b若对所有mR，均有MN，则b的取值范同是（）A，B（，）C（，D，考点：直线与圆锥曲线的关系；子集与交集、并集运算的转换 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由MN，可得y=mx+b与x2+2y2=3有交点，联立方程，利用判别式，即可求得b的取值范围解答：解：由题意，MN，y=mx+b与x2+2y2=3有交点直线方程代入椭圆方程，整理可得（1+2m2）x2+4mbx+2b23=0=16m2b24（1+2m2）（2b23）02b23+6m2对所有mR，均有MN，2b23故选A点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题二、填空题：（共5x4=20分）13
17、（5分）将参数方程（为参数）化为普通方程为y=x2（2x3）考点：参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：把y=sin2代入x=2+sin2可得x=2+y（0y1）解答：解：由参数方程（为参数），把y=sin2代入x=2+sin2得x=2+y（0y1）即y=x2（2x3）故答案为：y=x2（2x3）点评：本题考查了参数方程化为普通方程的方法，考查了三角函数的单调性和有界性，属于基础题14（5分）直线为参数）上与点A（2，3）的距离等于的点的坐标是 （3，4）或（1，2）考点：直线的参数方程；两点间距离公式的应用 专题：计算题分析：根据点在直线上，设直线上的点的坐标为（2t，3+），然
18、后代利用两点间距离公式列出等式，求出参数t的值，最后回代入点的坐标即得解答：解：设直线上的点的坐标为（2t，3+），则由两点间的距离公式得：得：t=，距离等于的点的坐标是：（3，4）或（1，2），故答案为；（3，4）或（1，2）点评：本小题主要考查直线的参数方程、两点间距离公式的应用、方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，方程思想、化归与转化思想属于基础题15（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线（cossin）+2=0被曲线C：=2所截得弦的中点的极坐标为考点：简单曲线的极坐标方程 专题：计算题分析：把直线和圆的极坐标方程化为极坐标方程，利用直线和圆相交的性质得到 1=1，解
19、得m的值，可得中点A 的直角坐标，再化为极坐标解答：解：直线（cossin）+2=0即 xy+2=0，曲线C：=2 即 =2，即 x2+y2=4，表示以原点O为圆心，以2为半径的圆设弦的中点为A（m，m+2），则由OA垂直于直线可得 1=1，解得m=1，故弦的中点为A（1，1），它的极坐标为，故答案为 点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求点的极坐标，直线和圆相交的性质，属于基础题16（5分）实数x、y满足3x2+2y2=6x，则的最大值为2考点：椭圆的参数方程；三角函数的最值 专题：计算题；三角函数的求值；坐标系和参数方程分析：3x2+2y2=6x，配方得，3（x1）2+2
20、y2=3，令x=1+cos，y=sin，0，2），则=，由三角函数的同角公式，和余弦函数的值域，以及二次函数的性质即可得到最大值解答：解：3x2+2y2=6x，配方得，3（x1）2+2y2=3，令x=1+cos，y=sin，0，2），则=，由于1cos1，则当cos=1时，取得最大值=2故答案为：2点评：本题考查运用椭圆的参数方程求最值的方法，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题三、解答题：（17题10分，18题至22题各12分）17（10分）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之
21、积考点：直线的参数方程；直线与圆的位置关系；圆的参数方程 专题：计算题；压轴题分析：（1）利用公式和已知条件直线l经过点P（1，1），倾斜角，写出其极坐标再化为一般参数方程；（2）由题意将直线代入x2+y2=4，从而求解解答：解：（1）直线的参数方程为，即（5分）（2）把直线代入x2+y2=4，得，t1t2=2，则点P到A，B两点的距离之积为2点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必的热点问题18（12分）已知曲线C的极坐标方程是=4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参
22、数方程是（t是参数）（）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；（）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|=，试求实数m的值考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：（）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l的参数方程消去参数，化为普通方程（）利用点到直线的距离公式求出圆心（2，0）到直线y=xm的距离d，再由弦长公式求得d，再根据这两个d相等，从而求得m的值解答：解：（）把曲线C的极坐标方程是=4cos化为直角坐标方程为x2+y24x=0，即 （x2）2+y2=4把直线l的参数方程是（t是参数），消去参数化为普通
23、方程为y=xm（）曲线表示一个圆，圆心（2，0）、半径为2，求出圆心（2，0）到直线y=xm的距离为 d=，再由弦长公式求得d=，故有=，求得m=1，或 m=3点评：本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题19（12分）已知过点P（1，2），倾斜角为的直线l和抛物线x2=y+m （1）m取何值时，直线l和抛物线交于两点？（2）m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为考点：直线与圆锥曲线的关系 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由点斜式方程得到直线方程，联立抛物线方程，消去y，得到二次
24、方程，由判别式大于0，解出即可；（2）由（1）运用韦达定理，以及弦长公式，列方程，解出即可解答：解：（1）由已知可得直线l：y+2=（x1），联立得x2x+2m=0，因为有两个交点，所以4（+2m）0，解得m； （2）设直线l交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则x1+x2=，x1x2=+2m，则|AB|=，解得，m=点评：本题考查抛物线的方程和运用，考查联立直线方程和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式解题，考查运算能力，属于中档题20（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（1，0），直线l
25、与曲线C交于A，B两点（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|MB|的值考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程 专题：计算题；综合题分析：（1）将直线l的参数方程消去参数t得直线的普通方程，再化成直线l的极坐标方程，曲线C的极坐标方程化成：sin=2cos2，最后再化成普通方程即可；（2）将直线的参数方程代入y=x2得关于t的一元二次方程，再结合根与系数的关系即得|MA|MB|=|t1t2|=2解答：解（1）将直线l的参数方程消去参数t得：x=1+y，直线l的极坐标方程，（3分）曲线C的极坐标方程化成：sin=2cos2，
26、其普通方程是：y=x2（2分）（2）将代入y=x2得，3分点M（1，0）在直线上，|MA|MB|=|t1t2|=2（2分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化、直线的参数方程，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化21（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 （为参数），经坐标变换（a0，b0）后所得曲线记为CA、B是曲线C上两点，且OAOB（1）求曲线C的普通方程；（2）求证：点O到直线AB的距离为定值考点：参数方程化成普通方程；伸缩变换 专题：坐标系和参数方程分析：（1）首先，根据坐标变换，得到曲线C的参数方程，然后，消去参数，得到其普通方程；
27、（2）利用点到直线的距离公式求解和化简即可解答：解：（1）（a0，b0），（为参数）为曲线C的参数方程 （3分） 消参可得曲线C的普通方程为（a0，b0）（6分）（2）以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系 （7分）所以有，=，设A（1，），B（2，+），则|AB|=，点O到AB直线的距离为=点O到AB直线的距离为定值（12分）点评：本题重点考查了参数方程、距离公式等知识，属于中档题22（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l
28、：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2，求出椭圆上的点到点Q的距离，利用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n21，求出|AB|，点O到直线l距离，表示出面积，利用基本不等式，即可确定三角形面积的最大值，从而可求点M的坐标解答：解：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2椭圆上的点到点Q的距离=当b1时，即b1，得b=1当b1时，即b1，得b=1（舍）b=1椭圆方程为（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n21|AB|=，点O到直线l距离=m2+n2101，当且仅当，即m2+n2=21时，SAOB取最大值，又解得：所以点M的坐标为或或或，AOB的面积为点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的求解，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键
