1、第九章平面解析几何第8课时双 曲 线考情分析考点新知建立并掌握双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程；掌握双曲线的简单几何性质，能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质. 掌握双曲线的简单应用.1. 若双曲线方程为x22y21，则它的左焦点的坐标为_答案：解析： 双曲线方程可化为x21， a21，b2. c2a2b2，c. 左焦点坐标为.2. 双曲线1的渐近线方程为_答案：y2x解析： a2，b4， 双曲线的渐近线方程为y2x.3. 若双曲线y21的一个焦点为(2，0)，则它的离心率为_答案：解析：依题意得a214，
2、a23，故e.4. (选修11P39习题2(2)改编)双曲线的焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为，则双曲线的标准方程为_. 答案：1解析：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为1.由题意，得解得 焦点在x轴上的双曲线方程为1.5. 设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF14PF2，则PF1F2的面积等于_答案：24解析：由P是双曲线上的一点和3PF14PF2可知，PF1PF22，解得PF18，PF26.又F1F22c10，所以PF1F2为直角三角形，所以PF1F2的面积S6824.1. 双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的
3、正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2. 双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：x轴，y轴_对称中心：(0，0)对称轴：x轴，y轴_对称中心：(0，0)顶点顶点坐标：A1(a，0)，A2(a，0)顶点坐标：A1(0，a)，A20，a渐近线yxyx离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A22a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B22b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长.a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0
4、)3. 等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2y2(0)，离心率e，渐近线方程为yx备课札记题型1求双曲线方程 例1已知双曲线的离心率等于2，且经过点M(2，3)，求双曲线的标准方程解：若双曲线方程为1(a0，b0)，由已知可得2，即c2a.又M(2，3)在双曲线上， 1, 4b29a2a2b2. c2a， b23a2，代入得a21，b23. 双曲线方程为x21.同理，若双曲线方程为1，则双曲线方程为1.已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，求双曲线方程解：由题意知：右顶点坐标为(a，0)，其到渐近线的距离为d1，故a2.又渐近线
5、方程为yx，所以b，所以双曲线方程为1.题型2求双曲线的基本量例2已知双曲线的焦点在x轴上，两个顶点间的距离为2，焦点到渐近线的距离为.(1) 求双曲线的标准方程；(2) 写出双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程解：(1) 依题意可设双曲线的方程为1(a0, b0)，则2a2, 所以a1.设双曲线的一个焦点为(c, 0), 一条渐近线的方程为bx ay 0，则焦点到渐近线的距离db，所以双曲线的方程为x21.(2) 双曲线的实轴长为2，虚轴长为2，焦点坐标为(， 0), (， 0)，离心率为，渐近线方程为yx.如图，F1、F2分别是双曲线C：1(a，b0)的左、右焦点，B是虚轴
6、的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若MF2F1F2，则C的离心率是_答案：解析：设双曲线的焦点坐标为F1(c，0)，F2(c，0) B(0，b)， F1B所在的直线为1.双曲线渐近线为yx，由得Q.由得P， PQ的中点坐标为.由a2b2c2得，PQ的中点坐标可化为.直线F1B的斜率为k， PQ的垂直平分线为y.令y0，得xc， M， F2M.由MF2F1F2得2c，即3a22c2， e2， e.题型3与椭圆、抛物线有关的基本量例3已知双曲线过点(3，2)，且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1) 求双曲线的标准方程；(2) 求以双曲线的
7、右准线为准线的抛物线的标准方程解：(1) 由题意，椭圆4x29y236的焦点为(，0)，即c， 设所求双曲线的方程为1， 双曲线过点(3，2)， 1, a23或a215(舍去)故所求双曲线的方程为1.(2) 由(1)可知双曲线的右准线为 x. 设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)，则p，故所求抛物线的标准方程为y2x. 双曲线C与椭圆1有相同的焦点，直线yx为C的一条渐近线求双曲线C的方程解：设双曲线的方程为1(a0，b0)，由椭圆方程1，求得两焦点为(2，0)、(2，0)，对于双曲线C：c2.又yx为双曲线C的一条渐近线，解得 a21，b23.双曲线C的方程为x21.1. 已知双曲线C
8、：1的焦距为10，P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为_答案：1解析： 1的焦距为10， c5.又双曲线渐近线方程为yx，且P(2，1)在渐近线上， 1，即a2b.由解得a2，b.2. 若双曲线1的离心率e2，则m_答案：48解析：根据双曲线方程1知a216，b2m，并在双曲线中有a2b2c2， 离心率e24m48.3. 已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则PF1PF2_答案：2解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1PF2，所以(2)2PFPF，又因为PF1PF22，所以(PF1PF2)24，可得2PF1PF24，则(PF1PF2)2
9、PFPF2PF1PF212，所以PF1PF22.4. 已知双曲线1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率为_答案：解析：由题意知c3，故a259，解得a2，故该双曲线的离心率e.5. 已知双曲线1(a0，b0)与抛物线y28x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若PF5，则双曲线的渐近线方程为_答案：yx解析：设点P(m，n)，依题意得，点F(2，0)，由点P在抛物线y28x上，且PF5得由此解得m3，n224.于是有由此解得a21，b23，该双曲线的渐近线方程为yxx.6. 已知椭圆1(abc0，a2b2c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆
10、上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值为(ac)，则椭圆的离心率e的取值范围是_答案：解析：因为PT(bc)，而PF2的最小值为ac，所以PT的最小值为.依题意有，(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac3a20，所以5e22e30.又b0，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21，联立，得e.1. 双曲线1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为_答案：13解析：由a4，b3，得c5.设左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|(acca)c5，由双曲线的定义，得|
11、PF1|2a|PF2|8513.2. 已知ABC外接圆半径R，且ABC120，BC10，边BC在x轴上且y轴垂直平分BC边，则过点A且以B、C为焦点的双曲线方程为_答案：1解析： sinBAC， cosBAC，AC2RsinABC214，sinACBsin(60BAC)sin 60cosBACcos60sinBAC， AB2RsinACB26, 2a|ACAB|1468， a4，又c5， b2c2a225169， 所求双曲线方程为1.3. 根据下列条件，求双曲线方程(1) 与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3，2)；(2) 与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)解：解法1：(1) 设双曲线的方
12、程为1，由题意，得解得a2，b24.所以双曲线的方程为1.(2) 设双曲线方程为1.由题意易求得c2.又双曲线过点(3，2)，1.又a2b2(2) 2，a212，b28.故所求双曲线的方程为1.解法2：(1) 设所求双曲线方程为(0)，将点(3，2)代入得，所以双曲线方程为.(2) 设双曲线方程为1，将点(3，2)代入得k4，所以双曲线方程为1.4. 已知双曲线1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点(1) 求双曲线的方程；(2) 若F1AB的面积等于6，求直线l的方程解：(1) 依题意，b，2a1，c2， 双曲线的方程为：x21.(2)
13、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F2(2，0)，直线l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，k时，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，F1AB的面积S2|k|x1x2|2|k|12|k|6k48k290k21k1，所以直线l的方程为y(x2)1. 应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支2. 区分双曲线与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.双曲线的离心率e1，椭圆的离心率e(0，1)3. 双曲线方程的求法(1) 若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2ny21(mn0)；(2) 与双曲线1有共同渐近线的双曲线方程可设为(0)；(3) 若已知渐近线方程为mxny0，则双曲线方程可设为m2x2n2y2(0)备课札记
